条件概率 高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第七章随机变量及其分布7.1.1

条件概率新知导入某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示，在班级里随机选择一人做代表：团员非团员合计男生16925女生14620合计301545（1）选到男生的概率是多大？分析：随机选择一人做代表，则样本空间Ω包含45个等可能的样本点.B表示事件“选到男生”，由上表可知，n(Ω)=45，n(B)=25

根据古典概型知识可知，选到男生的概率为：导新知导入（2）如果已知选到的是团员，那么选到的是男生的概率是多大？分析：用A表示事件“选到团员”，“在选到团员的条件下，选到男生“的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A).此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数n(AB)=16，根据古典概型知识可知，

导新知导入假设生男孩与生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭，随机选择一个家庭，那么：（1）该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？分析：用b表示男孩，g表示女孩，则样本空间Ω={bb,bg,gb,gg}，且所有样本点是等可能的.用A表示事件“选择的家庭中有女孩”，B表示事件“选择的家庭中两个孩子都是女孩”，则A={bg,gb,gg}，B={gg}（2）如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率有多大？（1）根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率为：

探新知导入（2）”在选择的家庭有女孩的条件下，两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A).此时，A成为样本空间，事件B就是积事件AB.根据古典概型知识可知：

导合作探究在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是

若已知事件A发生，则A成为样本空间，此时，事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值，即：

ΩABAB

则展新知讲解条件概率概率乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)一般地，设A、B为两个随机事件，且P(A)>0，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率.

展新知讲解若事件A与B相互独立，即P(AB)=P(A)P(B)，且P(A)>0，则

反之，若P(B|A)=P(B)，且P(A)>0，则

即事件A与B相互独立.当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)=P(B)展例题讲解例1在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回，求：（1）第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；（2）在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率.

展评例题讲解

展评新知讲解设P(A)>0，则（1）P(Ω|A)=1;（2）如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);（3）设和B互为对立事件，则

条件概率的性质展例2已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次无放回地各抽一张，他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？分析：要知道中奖概率是否与抽奖次序有关，只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等.因为只有1张有奖，所以“乙中奖”等价于“甲没中奖且乙中奖”，“丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖”.因为P(A)=P(B)=P(C)，所以中奖的概率与抽奖的次序无关.

展评例题讲解例3银行储蓄卡的密码由6位数字组成，某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了密码的最后1位数字，求：（1）任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；（2）如果记得密码的最后1位是偶数，不超过2次就按对的概率.分析：最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对，或者第1次按错但第2次按对”.

展评例题讲解（2）设B=”最后1位密码为偶数”，则

1．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲、乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖的条件下，乙没有中奖的概率为（）A．

B．

C．

D．

B2．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为（）

A．0.625

B．0.75

C．0.5

D．0A用课堂练习B用3．把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数均为奇数”，N为“至少有一次点数是5”，则P(N|M)等于（）A． B． C． D．

课堂小结

2、乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)第七章计数原理7.1.1

条件概率（习题课）设P(A)>0，则（1）P(Ω|A)=1;（2）如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A);（3）设和B互为对立事件，则

条件概率的性质求条件概率有两种方法：①是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件概率公式求P(B|A)；

②是根据条件概率的直观意义,增加了“A发生”的条件后,样本空间缩小为A,求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率.

条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.设P(A)>0，则条件概率的性质为：课堂练习1．有20件产品，其中5件是次品，其余都是合格品，现不放回的从中依次抽2件.求:（1）第一次抽到次品的概率；

（2）在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率.解：设第一次抽到次品的事件为A，第二次抽到次品的事件为B.

测课堂练习2．一个盒子中有6个白球、4个黑球，从中不放回地每次任取1个，连取2次.求：（1）第一次取得白球的概率；（2）第一、第二次都取得白球的概率；（3）第一次取得黑球而第二次取得白球的概率.

测例题讲解3.在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第1个球是红球的条件下，第2个球是黄球或黑球的概率．解：设“摸出第1个球为红球”为事件A，“摸出第2个球为黄球”为事件B，“摸出第2个球为黑球”为事件C，则

,,

，所以

测课堂练习4．在100件产品中，有95件合格品，5件不合格品，现从中不放回地取两次，每次任取1件产品.试求：（1）第一次取到不合格品的概率；（2）在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率.解：设第一次取到不合格品为事件A，第二次取到不合格品为事件B，则有：

测拓展提高5．设袋中有5个红球，3个黑球，2个白球，试按：（1）有放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率；（2）不放回摸球三次，每次摸一球，求第三次才摸到白球的概率.解：设A=｛第一次未摸到白球｝，B=｛第二次未摸到白球｝，C=｛第三次摸到白球｝，则事件“第三次才摸到白球”可表示为ABC.(1)有放回时，

,则

(2)不放回时，

,则

测课堂练习解：由此可得，A发生，则B一定发生2.从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回，已知第1次抽到A牌，求第2次抽到A牌的概率.设第1次抽到A牌为事件A，第2次抽到A牌为事件B，则解：∴在第1次抽到A牌的条件下，第2次抽到A牌的概率为3.袋子中有10个大小相同的小球，其中7个白球，3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球，摸出