初中八年级数学上册第12章《全等三角形》单元检测（二）

全等三角形单元检测（二）

一、单选题

1.如图，在AABC与ZkDEF中，给出以下六个条件：①AB二DE：②BC=EF；®AC=DF；®ZA=ZD；⑤

ZB=ZE：©ZC=ZF,以其中三个作为已知条件，不能判断^ABC与aDEF全等的是（）

A.①②⑤B.①②③C.®@@D.®@®

【答案】D

【解析】

在A选项中，根据SAS可证明△ABCgZ\DEF；

在B选项中，根据SSS可证明△ABCgZ\DEF；

在C选项中，根据AAS可证明AABC丝ZXDEF；

在D选项中，只满足SSA,而SSA不能判定两个三角形全等，所以以D选项中的三个已知条件，不能判定

△ABC和ZkDEF全等，

故选D.

2.两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ARCD是一个筝形，其中AD=CD,AB=CB,小

明在探究筝形的性质时，得到如下结论：

①AC_LBD；②AO=CO=1AC：©AABD^ACBD,其中正确的结论有()

2

A.①②B.@@C.②③D.®®®

【答案】D

【解析】

试题解析：在AABD与4CBD中,

AD=CD

AB=BC'

DB=DB

AAABD^ACBD(SSS),

故③正确；

r.ZADB=ZCDB,

在AAOD与aCOD中，

AD=CD

<NADS=ZCDB，

OD=OD

•••△AOD丝△COD(SAS),

/.ZAOD=ZCOD=90°,AO=OC,

/.AC±DB,

故①②正确；故选D.

3.如图，AB/7CD,AC/7BD,AD与BC交于O,AEJLBC于E,DF_LBC于F,那么图中全等的三角形

有()

A.5对B.6对C.7对D.8对

【答案】C.

【解析】

试题解析：VAB/7CD,AC/7BD,

AZABC=ZDCB,ZACB=ZDBC.

VBC=CB,

AACAB^ACDB,

・・.AB;CD,AC=BD.

VAB/7CD,AC〃BD,

AZBAO=ZCDO,ZOBA=ZOCD,ZOBD=ZOCA,ZOAC=ZODB.

/.△AOB^ACOD,AAOC^ABOD.

AOA=OD,OC=OB.

VAE1BC,DF±BC,ZAOE=ZDOF,

/.△AOE^ADOF.

.\OE=OF.

ACE=BF.

VAE=DF,AC=BD,

/.△AEC^ABFD.

VAE=DF,AB=CD,BE=CF,

AAAEB^ADFC.

还有△ACDgWBA.

故选C.

考点：1.全等三角形的判定；2.平行线的性质.

4.如图，在等腰AABC中，AB=AC,ZA=20°,AB上一点D,且AD=BC,过点D作DE〃BC且DE

=AB,连接EC,则NDCE的度数为（）

A.80。B.70°C.60°D.45°

【答案】B

【解析】

【分析】

连接AE.根据ASA可证aADE0/XCBA,根据全等三角形的性质可得AE=AC,ZAED=ZBAC=20°,根

据等边三角形的判定可得AACE是等边三角形，根据等腰三角形的判定可得aDCE是等腰二角形，再根据

三角形内角和定理和角的和差关系即可求解.

【详解】

如图所示，连接AE.

A

RC

VAB=DE,AD=BC

VDE/7BC,

AZADE=ZB,可得AE=DE

VAB=AC,ZBAC=20°,

・•・ZDAE=ZADE=ZB=ZACB=80°,

在AADE与ACBA中，

/DAE=NACB

■AD=BC,

NADE=NB

/.△ADE^ACBA(ASA),

/.AE=AC,ZAED=ZBAC=20°,

ZCAE=ZDAE-ZBAC=80°-20°=60°,

•••△ACE是等边三角形，

CE=AC=AE=DE,ZAEC=ZACE=60°,

•••△DCE是等腰三角形，

AZCDE=ZDCE,

ZDEC=ZAEC-ZAED=40°,

AZDCE=ZCDE=(180-40°)+2=70。.

故选B.

【点睛】

考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性

质，三角形内角和定理，平行线的性质，综合性较强，有一定的难度.

5.如图，AABCGAFDE,ZC=40°,ZF=110°,则NB等于()

B

A.20°B.30°C.40°D.150°

【答案】B

【详解】

试题分析：根据aABC丝△尸。石，ZE=40°,N产=110。，再结合三角形的内角和定理即可求得结果.

VZE=40°,ZF=110°

:.ZEDF=18O°-ZE-ZF=3O°

'：MABC94FDE

AZB=ZEDF=30°

故选B.

考点：本题考查的是全等三角形的性质，三角形的内角和

点评：解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的对应角相等，三角形的内角和为180。.

6.根据下列条件，能画出唯一aABC的是（）

A.AB=3,ZA=60°,ZB=40°B.AB=3,BC=4,ZA=40°

C.AB=3,BC=4,AC=8D.AB=3,ZC=9O°

【答案】A

【分析】

根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可

【详解】

A、两角夹边三角形唯一确定.本选项符合题意，

B、边边角三角形不能唯一确定.本选项不符介题意，

C、不满足三边关系，本选项不符合题意，

D、一边一角无法确定三角形.本选项不符合题意，

故选：A.

【点睛】

本题考查全等三角形的判定及三角形的三边关系，全等三角形的判定定理有：SSS、SAS、AAS.ASA和

HL,判定三角形全等，必须有边的参与，自两边参与时，角必须是这两边的夹角，SSA和AAA不能判定

两个三角形全等：任意三角形的两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，熟练掌握全等三角形的

判定定理是解题关键.

7.如图，已知AB=AC,PB=PC,且点A、P、D、E在同一条直线上.下面的结论：®EB=EC；②AD

LBC；③EA平分NBEC；®ZPBC=ZPCB.其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】

对各个选项进行验证从而得出最终答案，做题时，要结合已知条件与全等的判定方法对选项逐一验证.

【详解】

解：VAB=AC,PB=PC,AP=AP

AAABP^AACP（SSS）

NBAP:/CAP

XVAB=AC,AE=AE

AAABE^AACE（SAS）

ABE=CE（第一个正确）

AZBEA=ZCEA,即AE平分NBEC（第三个正确）

VZBAD=ZCAD,AB=AC,AD=AD

AAABD^AACD（SAS）

AZADB=ZADC

VZADB+ZADC=180°

AADIBC（第二个正确）

VPB=PC

AZPBC=ZPCB（第四个正确）

所以正确的有四个，

故选:D.

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL,注

意:AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应

相等时，角必须是两边的夹角.

8.如图，AE_LAB且AE二AB,BC_LCD且BC=CD,请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图

形的面积是()

A.50B.62C.65D.68

【答案】A.

【解析】

试题解析：VAEXABKAE=AB,EF_LFH,BG1FH=>ZFED=ZEFA=ZBGA=90°,

ZEAF+ZBAG=90°,ZABG+ZBAG=90°=>ZEAF=ZABG,

・・・AE=AB,ZEFA=ZAGB,ZEAF=ZABG=>AEFA^AABG

，AF=BG,AG=EF.

同理证得△BGC@Z\DHC得GC二DH,CH=BG.

故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16

故S=_L(6+4)x16-3x4-6x3=50.

2

故选A.

考点：1.全等三角形的判定与性质，2.勾股定理

二、填空题

9.在平面直角坐标系中，已知点A(1,2),B(5,5),C(5,2),存在点E,使AACE和aACB全等,

写出所有满足条件的E点的坐标.

【答案】(1,5),(1,-1).(5,-1)

【解析】

如图所示：有3个点，当E在E、F、N处时，aACE和AACB全等，

点E的坐标是：（1,5）,（1,-1）,（5,-1）,

故答案为（1,5）或（1,-1）或（5,-1）.

AC=4,H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为

【解析】

试题分析：由NABC=45。，AD是高，得出BD=AD后，证AADCQZ\RDH后求解.BH=AC=4.

考点：全等三角形的判定与性质.

11.已知如图，在RSABC中，ZB=90°,AB=BC,AD平分NBAC,DE_LAC于E.若AC=10,可求得ADEC

的周长为

【答案】10

【分析】

根据角平分线的性质可得DB二DE,然后根据HL可证明RsABDgRt^AED,进而可得AB二AE,再根据线

段的和差关系即可得出ADEC的周长=AC,从而可得答案.

【详解】

解：•••AD平分NBAC,ZB=90°,DEJ_AC于E,

•••DB=DE,

在RtAABD和RtAAED中，

VAD=AD,DB=DE,

•••RsABDgRlAAED(HL),

AB=AE,

VAB=BC,

.*.BC=AE,

・••ADEC的周长=DE+DC+EC=DB+DC+EC=BC+EC=AE+EC=AC=10.

故答案为：10.

【点睛】

本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定和性质以及三角形的周长计算等知识，属于常考题型,

熟练掌握上述知识是解题的关键.

12.如图，已知：ZA=ZD,Z1=Z2,下列条件中能使△ABC@Z\DEF的有.

®ZE=ZB；②ED=BC；®AB=EF：®AF=CD.

【分析】

全等三角形的判定定理有SAS/SAA4SSSS,根据定理和已知条件逐个判断即可.

【详解】

①NE=NB,不符合全等三角形的判定定理，不能推出所以①错误；②ED=BC,不符合

全等三角形的判定定理，不能推出所以②错误：③符合全等三角形的判定定理，

不能推出A4BC也△/)£：/,所以③错误；@AF=CD,-：AF=CD,：.AF-\-FC=CD-\~FC,：.AC=DF,在AABC

ZA=ZD

和尸中，V«AC=DF,・•・△ABC丝△£>£/,・••④正确，故答案为④.

Z1=Z2

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意:全等三角形的判定定理有S4S/SAA4S,SSS.

13.AA8C中，点。是AA8C内一点且到AA8C三边的距离相等，ZA=40°,则N8OC=.

【答案】110°

【解析】

试题解析：如图，

：0到三角形三边距离相等，

.,.O是内心，

AAO,BO,CO都是角平分线，

.-.ZCBO=ZABO=-ZABC,ZBCO=ZACO=-ZACB,

22

ZABC+ZACB=180°-40°=140°,

ZOBC+ZOCB=70°,

ZBOC=180°-70o=110°.

14.如图，BAVAC,CD//AB.BC=DE,且8C_LOE,若AB=2,CD=6,则AE=

【答案】4

【分析】

先根据B/1_LAC,CO〃/W证明NDCA=NBAC=90。，再根据等角的余角相等证明NACB=ND,然后通过

AAS可证明AABC丝ZXECD从而得出AC=CD=6,利川线段的和差可解.

【详解】

•••8AJ_AC,CD//AB

AZDCA=ZBAC=90°,ZB=ZBCD

AZB+ZACB=90o

,：BC1.DE

•:ND+NBCD=90。，

/.ZACB=ZD.

在AABC和AECD中

NQC4=N8AC

丁ZACB=ZD

BC=DE

AAABC^AECD

AAC=CD=6.

VAB=2

AAE=AC-AB=4.

故填：4.

【点睛】

本题考查全等三角形的性质与判定，平行线的性质定理，等角的余角相等.在本题中掌握三角形全等的几种

判定定理，并能根据题意筛选出合适的定理去证明是解决此题的关键.

15.如图，点B的坐标为（4,4）,作BAJ_x轴，BC_Ly轴，垂足分别为A,C,点D为线段0A的中点,

点P从点A出发，在线段AB、BC上沿A—B—C运动，当OP=CD时，点P的坐标为

【答案】（2,4）或（4,2）.

【详解】

试题分析：①当点P在正方形的边AB上时，在RsOCD和RtvOAP中，•••OC=OA,CD=OPfARIAOCD

gRtAOAP,AOD=AP,,・,点D是OA中点，.\OD=AD=yOA,.\AP=|AB=2,AP（4,2；；

②当点P在正方形的边BC上时，同①的方法，得出CP〈BC=2,・・.P（2,4）.

综上所述：P（2,4）或（4,2）.故答案为（2,4）或（4,2）.

考点：全等三角形的判定与性质；坐标与图形性质：分类讨论.

三、解答题

16.如图所示，已知AD是ZkABC的角平分线，CE是AABC的高，ZBAC=60°,ZBCE=45°,求NADB的

大小.

【解析】试题分析：根据AD是AABC的角平分线，ZBAC=60°,得出NBAD=30。，再利用CE是AABC的

高，ZBCE=45°,得出NB的度数，进而根据三角形的内角和定理得出NADB的度数.

试题解^5•:

TAD是aABC的角平分线，ZBAC=60°,

.,.ZBAD=30°,

又：CE是AABC的高，ZBCE=45°,

工ZBEC=90°

.•.ZB=45°

JZADB=180°-ZB-ZBAD=180°-45°-30°=105°

17.如图，BN为/ABC的平分线，P为BN上一点，且PDJ_BC于点D,AB+BC=2BD.求证：ZBAP

+ZBCP=180°

【解析】

【分析】

过点P作PE1AB于点E.根据角平分线性质得PE=PD,再证RlAPBE^RtAPBD(HL),得BE=BD.由AB

+BC=2BD,BC=BD+CD,AB=BE-AE,得BE—AE+BD+CD=2BD,故AE=CD：再证APEAg4

PDC(SAS),得NPAE=NBCP,[t|ZBAP+ZPAE=180°,得NBAP+BCP=180°.

【详解】

证明：过点P作PE_LAB于点E.

•「BN平分NABC,PD_LBC,PE±AB,

.\PE=PD,ZBEP=ZBDP=90c.

在RsPBE和RtaPBD中，

VPB=PB,PE=PD,

・•・RtAPBE^RtAPBD(HL),

Z.BE=BD.

VAB+BC=2BD,BC=BD+CD,AB=BE-AE,

ABE-AE+BD+CD=2BD,

・・・AE=CD.在aPEA和aPDC中，

VPE=PD,NPEA=NPDC,AE=CD,

.•.△PEA^APDC(SAS)

AZPAE=ZPCD,即/PAE=NBCP.

VZBAP+ZPAE=I8O°,

・・・NBAP+BCP=180°.

【点睛】

本题考核知识点：角平分线性质定理，全等三角形判定和性质.解题关键点：熟记角平分线性质定理，全等

三角形判定和性质.

18.如图A。是三角形4BC的中线，反厂分别在AZMC上，且_LO£求证：BE+CF>EF

【答案】证明见解析.

【分析】

延长尸。至G,使得GO=O尸，连接BG,EG先证△。/C和COGB全等，得至I]BG=CT,进而证明

EDG,得到E/三EG,最后再运用三角形的三边关系进行证明即可.

【详解】

证明：延长FD至G,使得GO=OF,连接8G,EG

•・•在△OR7和△0G3中，

DF=DG

<NCDF=NBDG

DC=DB

:.〉DFC@4DGB(SAS),

；・BG=CF,

■:在>EDF和AEDG中

DF=DG

«NFDE=NGDE=9。。

DE=DE

尸丝△EOG(SAS),

:,EF=EG

在A/3EG中，两边之和大于第三边，

：.BG+BE>EG

又,：EF二EG,BG=CF,

：.BE+CF>EF,

【点睛】

本题主要考查了三角形全等的判定和性质以及三角形的三边关系，灵活运用全等三角形的性质和判定是解

答本题的关键.

19.如图1,在AABC中，NACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD,以AD为一边且在AD的右

侧作正方形ADEF.

（D如果AB=AC,ZBAC=90°,

①当点D在线段BC上时（与点B不重合）,如图2,线段BD、CF的数量关系为,线段BD、

CF所在直线的位置关系为：

②当点D在线段BC的延长线上时，如图3,①中的结论是否仍然成立?并说明理由；

（2）如果AB¥AC,/BAC是锐隹，点D在线段BC上，当NACB=。时，CF_LBC（点C、F不重合）.

图3

【答案】（1）①BD二CF；BD±CF；②成立，理由见解析；（2）45°.

【分析】

（1）①证明△DABgZ\FAC,可得：BD=CF,ZB=ZACF=45°,贝NBCF=NACB+NACF=90。，所以BD

与CF相等且垂直；

②当点D在BC的延长线上时①的结论仍成立.由正方形ADEF的性质可推出^D