第4章 平行四边形 单元测试-2025-2026学年浙教版数学八年级下册

浙教版八年级下册第4章平行四边形单元测试

一、选择题

1.四个大小相同的大正方形和一个小正方形的面积之和为260,四个大小相同的长方形的面积

之和为64,将它们无缝隙不重叠地摆成图1所示的正方形.现将这四个长方形再次无缝隙不重

叠地拼成如图2所示的图形，则该图形的周长为（）

图2

A.9B.18C.36D.64

2.下列多边形材料中，不能单独用来铺满地面的是（）

A.三角形B.四边形C.正五边形D.正六边形

3.正十二边形的外角和的度数为（)

A.180°B.360"C.720°D.1800°

4.在平面直角坐标系中，已知点A（3,a）,B（b,2）关于原点对称，则a?-b?的值为（）

A.B.1C.-5D.5

5.如图，在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,BD=2AD,E,F,G分别是0A,OB,CD的中点,EG交FD

于点H,则①ED_LCA;②FH二抑;③$的哆&0。上述结论中正确的有0

A.①②B.①③C.②③D.①②③

6.如图，在口ABCD中，对角线AC、BD交于点0,过点0的直线分别与AB,CD交于点E、F.若

口ABCD的面积为80,则图中阴影部分的面积是（）

AD

A.39B.40C.41D.42

7.下列现象中，不属于旋转变换的是（).

A.钟摆的运动

B.电梯的升降运动

C.方向盘的转动

D.大风车的转动

8.一个多边形的内角和是540。，这个多边形是（）

A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形

9.如图，过口ABCD对角线的交点0的直线交AD于点E,交BC于点F.若。ABCD的周长为18,

)

C.12D.10

10.点P是正方形月58边上一点（不与A、B重合），连接尸。并将线段尸。绕点P顺时针旋

转90。，得线段PE,连接班，则NC5E等于（)

A.75°B.60°C.45°D.30°

11.如图，点E在口ABCD的边CD上，连结BE,作EG-LBE交AB于点G,点F是BE的中点，且

CF±BE,若DE=5,AG=1,则AB的长为（）

12.如图，正方形月58中，E、H分别为边幺。、上的点，连接班、BH、EH,在的延长

线上取一点F,连接EF,ABEF是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，则下列结论：①

EH=AE+CH;②/DEF+ZDFE=45。;③DF=6AE；④当=时，EHIIDF.其中正确结

论有（）

二、填空题

13.将三块边长都相等的正多边形力、板围绕一点拼在一起，既无空隙也无重叠，若其中两块木板

分别为正方形和正六边形，则第三块正多边形木板的边数为.

14.如图，在直角坐标系中，已知点片的坐标为将线段O线按逆时针方向旋转45。，再

将其长度伸长为。”的2倍，得到线段“；又将线段。々按逆时针方向旋转45。，长度伸长为。6

的2倍，得到线段。鸟...........如此下去，得到线段O,OALOKS为正整数），则点Ro.的

坐标为

15.在平面直角坐标系中,若点A(—8,3)与点B(a,b)关于原点中心对称.则a+b=.

16.如图，等边入必。内部一点0,0.4=4,05=3,0C=5,将线段50以点B为旋转中心逆时针

旋转60。得到线段50',连接,4。'，则乙&0B=.

17.如困，在RtZ\P0Q中，0P二0Q二4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为

旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与aPOQ的两直角边分别交于点A、B.连结AB,在

旋转三角尺的过程中，ZXAOB的周长的最小值.

三、解答题

18.如图，在四边形ABCD中，AB/7CD,对角线AC,BD相交于点0,且BO=DO.

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2)过0作线段MN交AD于点M,交BC于点N.若CM=AM,NACB=3NMCD,ZABC=40°,

求NMCD的度数.

19.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF.求证：ZEBF

=ZEDF.

20.如图①是公园跷跷板的示意图，立柱0C与地面垂直，点C为横板AB的中点.小明和小聪去

玩跷跷板，小明最高能将小聪翘到1米高(如图②).

(1)求立柱0C的高度;

(2)小明想要把小聪最高翘到1.25米高，请你帮他找出一种方法，并解答.

c

AB

o

图①

21.如图,在口ABCD中，E,F是对角线BD上的两点，BE=DF,连结AE,AF,CE,CF.求证：四

边形AECF是平行四边形.

D

22.综合与实践

问题情境：”综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1,在乙中，乙4DC=90。，点

0是边月。的中点，连接4c.保持CU5CZ)不动，将△4QC从图1的位置开始，绕点0顺时针旋

转得到△EFG,点A,D,C的对应点分别为点E,F,G.当线段48与线段尸G相交于点M(点M

不与点A,B,F,G重合)时，连接。班.老师要求各个小组结合所学的图形变换的知识展开数

学探究.

图1

备用图备用图

(1)初步思考：如图2,连接产。，“勤学”小组在旋转的过程中发现尸Q〃OW,请你证明这一

结论；

⑵操作探究：如图3,连接5G,“善思”小组在旋转的过程中发现。河垂直平分5G,请你证

明这一结论；

⑶拓展延伸：已知㈤)=2"，8=2,在旋转的过程中，当以点F,C,D为顶点的三角形是等腰

三角形时，请直接写出此时线段4M的长度.

浙教版(2024)八年级下册第4章平行四边形单元测试(参考答案)

一、选择题

1.四个大小相同的大正方形和一个小正方形的面积之和为260,四个大小相同的长方形的面积

之和为64,将它们无缝隙不重叠地摆成图1所示的正方形.现将这四个长方形再次无缝隙不重

叠地拼成如图2所示的图形，则该图形的周长为（）

图I图2

A.9B.18C.36D.64

【答案】C

【解析】可设每个小长方形的长为x,宽为y,根据已知得■4x2+y2=260,4xy=64,所以(2x+y)

2=x2+y2+4xy=260+64=324,所以2x+y=18,即可求出图2的周长为4x+2y=2(2x-y)=36.

设每个小长方形的长为x,宽为y,

贝4x2+y2=260,4xy=64,

(2x+y)2=x2+y2+4xy=260+64=324,

,..2x+y=18,

・••图2的周长为4x+2y=2（2x+y）=36.

故选：C.

2.下列多边形材料中，不能单独用来铺满地面的是（）

A.三角形B.四边形C.正五边形D.正六边形

【答案】C

【解析】由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°.

A、三角形内角和为180°,能整除360°,能密铺，故此选项不合题意；

B、四边形内角和为360°,能整除360°,能密铺，故此选项不合题意；

C、正五边形每个内角是180°-360°4-5=108°,不能整除360°,不能密铺，故比选项合题

意；

D、正六边形每个内角为180°-360°4-6=120°,能整除360°,能密铺，故此选项不合题意;

故选：C.

3.正十二边形的外角和的度数为()

A.180°B.360°C.720°D.1800°

【答案】B

【解析】根据多边形的外角和定理即可求解.

正十二边形的外角和的度数为360°.

故选：B.

4.在平面直角坐标系中，已知点A(3,a),B(b,2)关于原点对称，则a?-b?的值为()

A.-1B.1C.-5D.5

【答案】C

【解析】关于原点对称的点，其横纵坐标互为相反数，由此可得出a、b的值，然后代入求解即

可.

♦・•点A(3,a),B(b,2)关于原点对称,

/.a=-2,b=-3,

/.a2—b2=4—9=-5,

故选：C.

5.如图,在口ABCD中，对角线AC,BD相交于点0,BD=2AD,E,F,G分别是0A,OB,CD的中点,EG交FD

于点H,则①ED_LCA；②FH二和;③$的二夕..上述结论中正确的有0

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】A

【解析】,・•四边形ABCD是平行四边形，对角线AC,BD相交于点0,

.".AB/7CD,AB=CD,0D=0B=-BD

2o

VBD=2AD,AAD^D,

'2'

AAD=ODo

又，.，E是OA的中点,

AEDXCA,故①正确;

连结FG,

•・・F,G分别是OB,CD的中点，

，EF〃AB,EF=1AB=1CD,DG=|CD,

・・・EF〃DG,EF=DG,

.四边形DEFG是平行四边形,

,FH=DH="FD,故②正确;

=

,OA=OC=-AC,/.S△A0D=SAC0D-SiAkAC()©

・0E二AE二#，

=

•^△DOES△OAE="SAAOD=-X-SAAC0=-S△ACDo

・0F二BF二如二如，

•^△FOE=2^^DOE=2*=F&CD，

S/iEFD=SaME+S&OE=ZSAACD+ASCACD二0Z\ACD手2^AACD，

故③错误，故选Ao

6.如图，在口ABCD中，对角线AC、BD交于点0,过点0的直线分别与AB,CD交于点E、F.若

口ABCD的面积为80,则图中阴影部分的面积是（）

AD

A.39B.40C.41D.42

【答案】B

【解析】由平行四边形的性质可知阴影部分面积为平行四边形面积的一半，进而可求出结果.

♦・•平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0,

AAB/7CD,A0=C0,

AZ0AE=Z0CF.Z0EA=Z0FC,

又•・・A0=C0,

AAAOE^ACOF(AAS),

,,SaAOE=^ACOF，

;平行四边形ABCD中，AB=CD,AD=CB,

又BD二DB,

.,.△ABDE^ACDB(SSS),

,阴影部分面积等于ABCD的面积，即为。ABCD面积的一半，

・•・阴影部分面积为技义80=40,

故选：B.

7.下列现象中，不属于旋转变换的是().

A.钟摆的运动

B.电梯的升降运动

C.方向盘的转动

D.大风车的转动

【答案】B

【解析】A.钟摆的运动属于旋转变换，故不符合题意；

B.电梯的升降运动不属于旋转变换，故符合题意；

C.方向盘的转动属于旋转变换，故不符合题意；

D.大风车的转动属于旋转变换，故不符合题意.

故选：B.

8.一个多边形的内角和是540。，这个多边形是（）

A.五边形B.六边形C.七边形D.八边形

【答案】A

【解析】根据多边形的内角和公式求出边数即可.

设多边形的边数是n,则

（n-2）•180°=540°,

解得n=5,

・••这个多边形是五边形，

故选：A.

9.如图，过口ABCD对角线的交点。的直线交AD于点E,交BC于点F.若口ABCD的周长为18,

0E=1.5,则四边形EFCD的周长为（）

A.14B.13C.12D.10

【答案】C

10.点P是正方形月58边,43上一点（不与A、B重合），连接尸。并将线段尸。绕点P顺时针旋

转90。，得线段PE,连接班，则NC5E等于（）

DC

E

APB

A.75°B.60°C.45°D.30°

【答案】C

【解析】过点E作交幺8的延长线于点F,则NF=90。,

•・•四边形45CQ为正方形，

AD=AB,ZA=ZABC=90°,

/.AADP+Z.4PD=90°f

由旋转可得PD=PE,则ZDPE=90°,

/.AAPD+ZEPF=90°f

，ADP=NEPF,

在△,!?£)和△FE尸中，

ZDAP=NPFE=90。

«ZADP=Z.FPE,

PD=EP

.-.AJPD^AF£P(AAS),

/.AP=EF,AD=PFt

大：AD=AB,

：.PF=AD=AB,即,4P+PB=PB+BF,

：.AP=BF=EFy

大：NF=90。,

：qBEF为等腰直角三角形，

/.Z£BF=45°,

又「NCB产=90°,

则/C班=45。,

故选：C.

11.如图，点E在。ABCD的边CD上，连结BE,作EG-LBE交AB于点G,点F是BE的中点，且

【答案】B

【解析】延长CF交AB于H,根据平行四边形的性质得到AB〃CD,AB=CD,CE=HG,由点F是

BE的中点，得到GH=BH,CE=BC,设CE=GH=BH=BC=x,根据平行四边形的性质列方程即可

得到结论.

延长CF交AB于H,

•・•四边形ABCD是平行四边形，

AAB//CD,AB=CD,

VEG±BE,CF±BE,

AEG//CH,

・•・四边形EGHC是平行四边形，

ACE=HG,

・・,点F是BE的中点，

AGH=BH,CE=BC,

，CE=GH=BH=BC,

设CE=GH=BH=BC=x,

/.AB=1+2x,CD=5+x,

/.1+2x=5+x,

Ax=4,

AAB=9,

故选：B.

12.如国，正方形月58中，E、H分别为边幺。、CD上的点、,连接班、BH、EH,在的延长

线上取一点F,连接EF,ABEF是以点E为直角顶点的等腰直角三角形，则下列结论：①

EH=AE+CH-②NDEF+ND尸石=45。；③DF=&1E；④当BE=BH时，EHIIDF.其中正确结

论有（)

C.2个D.1个

【答案】A

【解析】••.正方形458,

NABC=NC=Z.WC=/BAD=90°,AD=CD二BC二AB,

将4比才绕点5逆时针旋转90。，得到△B/P,如图，

由旋转可得：BH=BP,CH=AP,ZCBH=NPBA,NBAP=NC=90°,

：.NPAE=ZBAP+NBAD=180°,

/.P,A、左三点、共线，^pP£=PJ+

•.•△BE尸是等腰直角三角形，

ZEBH=45°f

ZPBE=Z.PBA+ZABE=ZABE+ZCBH=45°,

，PBE=NEBH,

在SPBE加dHBE中,

PB=BH

«ZPBE=AEBH,

BE=BE

・•.△P3mj£8E(SAS),

/.EH=PE=PA+AE=CH+AE,

故①正确；

过点F作产ML4。，交功延长线于M,如图,

，4，=90。，

：.ZAfEF+ZMFE=90°f

•.•△3石尸是等腰直角三南形，

:,N5EF=90。,BE=EF,

：.乙4EB+NMEF=90。,

：.NAEB=/MFE,

在-4BE与AMEF中,

ZAEB=Z.MFE

<Z^=ZAf=90°,

BE=EF

.“•43喀」同(AAS),

/.AE=MF,AB=ME,

:.AE+ED=MD+EFfAE=MD,

:,MD=MF,

二.△MO9是等腰直角三角形，

/.NMDF=45。,

ZDEF+ZDFE=NMDF=45°,

故②正确；

•zMDF是等腰直角三角形，

:.MD=MF,

由勾股定理，得DF=8而+MF，=五MF=五AE,

故③正确；

「ZMDF=45°f

Z4DF=135°,

•/BE=BH,

:.工BEH=/BHE,

vZE5F=45°,

，BEH=675。，

•：cPBE人HBE,

，PEB=4BEH=675°,

：.ZAEH=135°,

ZAEH=ZEDF,

:.EH〃DF,

故④正确.

・•・正确结论有①②③④，共4个.

故选：A.

二、填空题

13.将三块边长都相等的正多边形木板围绕一点拼在一起，既无空隙也无重叠，若其中两块木板

分别为正方形和正六边形，则第三块正多边形木板的边数为.

【咨案】见试题解答内容

【解析】先求出正方形、正六边形的每个内角的度数，再根据镶嵌的条件即可求出答案.

正方形每个内角是90°,正六边形的内角是120°,度数之和为：210°,

那么另一个多边形的内角度数为：360°-210°=150°,

相邻的外角为：180°-150°=30°,

・••边数为：360°+30°=12.

・••第三块正多边形木板的边数为12,

故答案为12.

14.如图，在直角坐标系中，已知点片的坐标为将线段O线按逆时针方向旋转45。，再

将其长度伸长为。券的2倍，得到线段“；又将线段。弓按逆时针方向旋转45。，长度伸长为冲

的2倍，得到线段。鸟..........如此下去，得到线段MOALOKS为正整数），则点心H9的

坐标为.

【答案】（-2%0）

【解析】由题意，可得

③=2,

04=2x2=22,

02=2x22=2、

=2x23=24,

4

OP4=2x2=2\

•••

则。笈9=22020,

「每一次都旋转45°,360°4-45°=8,

・••每8次变化为一个循环组，

20194-8=252-3,

A点^oio是第253组的第3次变换对应的点，在x轴的负半轴上,

.二点419的坐标为（-220，。），

故答案为(-220，。).

15.在平面直角坐标系中，若点A(—8,3)与点B(a,b)关于原点中心对称，则a+b=.

【答案】

5

16.如图，等边•43c内部一点0,OA=4,OB=3,OC=5,将线段50以点B为旋转中心逆时针

旋转60。得到线段50、连接则乙4。8=.

【答案】150°

【解析】连接如图,

,・・线段50以点5为旋转中心逆时针旋转60°得到线段5。',

BOf=BO=4,NO'BO=60°,

:.必。。，为等边三角形，

/.乙3。。'=60。，

,?”3C为等边三角形，

ABA=BC,45c=60。，

/.LO'BO-AABO=AABC-ZABO,即AO'BA=NOSC,

在△。知和△05。中，

O'B=OB

\zO'BA=AOBCy

BA=BC

二。历1SAO8c(SAS),

O'A=OC=5,

在ZU。。'中，

,?O/=5：OO'=40=3,

：.OA2+OO'2=OlA2,

.♦/。。'=90。，

ZJ05=60°+90°=150°,

故答案为：150。.

17.如图，在RtZ^POQ中，OP二0Q=4,M是PQ中点，把一三角尺的直角顶点放在点M处，以M为

旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与aPOQ的两直角边分别交于点A、B.连结AB,在

旋转三角尺的过程中，AAOB的周长的最小值.

【答案】4+20

【解析】如图，过点M作MEJLOP于点E,作MF_LOQ于点F,

〈NO=90°,NMEO=90°,Z0FM=90°,

.••四边形OEMF是矩形，

•JA是PQ的中点，0P=0Q=4,NO=90°,

AME=10Q=2,MFMOP=2,

.ME二MF,

・•・四边形OEMF是正方形，

VZAME+ZAMF=90°,ZBMF+ZAMF=90°,

AZAME=ZBMF,

在AAME和△BMF中，

ZAME=ZBAIF

{MF=MF,

ZAEM=ZBFM

/.△AME^ABMF(ASA),

/.AE=BF,

设0A二x,则AE=2-x,

・・・0B=OF+BF=2+(2-x)=4-x,

在RtZ\AME中，AM=4AE2+ME?="(2-x)?+*,

VZAMB=90°,MA=MB,

JAB二8AM=J(2-x>+2y2(2-x)?+8,

△AOB的周长二OA+OB+AB=x+(4-x)+.2(2-+8=4+,2(2-x)?+8,

所以，当x=2,即点A为OP的中点时，ZiAOB的周长有最小值，最小值为4+&=4+2

三、解答题

18.如图，在四边形ABCD中，AB/7CD,对角线AC,BD相交于点0,且B0=D0.

(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；

(2)过0作线段MN交AD于点M,交BC于点N.若CM=AM,ZACB=3ZMCD,ZABC=40°,

【答案】

解:(1)证明：VAB/7CD,

ZBA0=ZDC0,NAB0=ZCD0,

VB0=D0,

AAABO^ACDO(AAS),

AAB=CD,

VAB//CD,

・•.四边形ABCD为平行四边形；

(2)四边形ABCD是平行四边形，

.,.AD//BC,AB〃CD,

AZMAC=ZACB,ZABC+ZBCD=180°,

VZABC=40°,

AZBCD=180°-40°=140°,

VCM=AM,

AZMAC=ZACM,

AZACB=ZACM,

VZACB=3ZMCD,

JZBCD=ZACB+ZACM+ZMCD=7ZMCD=140°,

AZMCD=20°.

19.已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE=CF.求证：ZEBF

=ZEDF.

【答案】

证明：连接BD,交AC于点0.

:四边形ABCD是平行四边形，

.\0B=0D,0A=0C.

VAE-CF,

JOE二OF,

J四边形BFDE是平行四边形，

AZEBF=ZEDF.

20.如图①是公园跷跷板的示意图，立柱0C与地面垂直，点C为横板AB的中点.小明彳口小联1•去

玩跷跷板，小明最高能将小聪翘到1米高(如图②).

(1)求立柱0C的高度；

(2)小明想要把小聪最高翘到1.25米高，请你帮他找出一种方法，并解答.

【答案】

解：(1)由题意得：0C/7AD,

•・•点C为AB的中点,

A0C为4ABD的中位线，

.,.OC=4AD,

VAD=1米，

・・・0C=4米；

(2)要把小聪最高翘到1.25米高，立柱0C的高度要升高为0.625米.

当AD=1.25米时，00=0.625米,

所以要把小聪最高翘到1.25米高，立柱0C的高度要升高为0.625米.

图②

21.如图，在。ABCD中，E,F是对角线BD上的两点，BE=DF,连结AE,AF,CE,CF.求证：四

【答案】证明：如答图，连结AC,交BD于点0.

答图

丁四边形ABCD是平行四边形，

.\A0=C0,B0=D0.

又；BE=DF,

AB0-BE=D0-DF,即E0=F0,

・•.四边形AECF是平行四边形.

22.综合与实践

问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1,在£745。。中，乙4DC=90。，点

0是边幺。的中点，连接力C.保持CU3C。不动，将△HOC从图1的位置开始，绕点0顺时针旋

转得到△石产G,点A,D,C的对应点分别为点E,F,G,当线段与线段尸G相交于点M(点M

不与点A,B,F,G重合)时，连接。老师要求各个