2027届新高考数学热点精准复习成对数据的统计分析考点分类

2027届新高考数学热点精准复习成对数据的统计分析考点分类1.变量的相关关系(1)两个变量有关系,但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系.

是一种非确定的关系,不是函数关系(2)正相关、负相关从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现

的趋势,我们就称这两个变量正相关;当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现

的趋势,则称这两个变量负相关.

(3)线性相关、非线性相关一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条

附近,我们就称这两个变量线性相关.

一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.增加减小直线微点拨

由散点图判断两个变量正相关、负相关的方法:当散点图中的点散布在平面直角坐标系中从左下角到右上角的区域时,两个变量正相关;当散点图中的点散布在平面直角坐标系中从左上角到右下角的区域时,两个变量负相关.

正相关负相关

4.列联表与独立性检验(1)2×2列联表如表,给出成对分类变量数据的交叉分类频数的数据统计表称为2×2列联表.XY合计Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb+da+b+c+d

常用的小概率值和相应的临界值表

作为判断χ2大小的标准

α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828

×解析

散点图是判断两个变量是否相关的一种重要方法和手段.√√×解析

χ2的值越大,相关性越强,关系越密切.2.(人A选三教材习题改编)下列四个散点图中,变量x与y之间具有负的线性相关关系的是(

)ABCDD解析

观察散点图可知,只有D选项的散点图表示的是变量x与y之间具有负的线性相关关系.故选D.

BC

4.已知变量x和y的统计数据如表:x678910y3.54566.5

-0.1

5.(人A选三教材习题改编)根据分类变量x与y的观测数据,计算得到χ2=3.974.依据α=0.05的独立性检验,结论为x与y

(填独立、不独立),这个结论犯错误的概率不超过

.

附:α0.0500.0100.001xα3.8416.63510.828不独立0.05解析

零假设为H0:分类变量x与y相互独立,因为3.974>3.841,所以假设不成立,即认为x,y不独立,这个结论犯错误的概率不超过0.05.6.(2025·上海长宁模拟)为了研究吸烟习惯与慢性气管炎患病的关系,某疾病预防中心对相关调查数据进行了研究,零假设H0:患慢性气管炎与吸烟没有关系,并通过计算得到统计量χ2≈3.468,则依据小概率值α=0.1的独立性检验,可推断原零假设H0

.(填“成立”或“不成立”,P(χ2≥2.706)≈0.1)

不成立解析

已知小概率值α=0.1,P(χ2≥2.706)≈0.1,即临界值为2.706,因为3.468>2.706,所以可推断原零假设H0不成立.常用结论根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度,若χ2越大,则两个分类变量有关的把握越大.研考点•精准突破考点一成对数据的相关性例1

(1)(2023·天津,7)调查某种群花萼长度和花瓣长度,所得数据如图所示,其中相关系数r=0.8245,下列说法正确的是(

)A.花瓣长度和花萼长度没有相关性B.花瓣长度和花萼长度呈负相关C.花瓣长度和花萼长度呈正相关D.若从样本中抽取一部分,则这部分的相关系数一定是0.8245C解析

因为相关系数r=0.824

5>0.75,所以花瓣长度和花萼长度的相关性较强,并且呈正相关,所以A,B错误,C正确;因为相关系数与样本的数据有关,所以当样本发生变化时,相关系数也会发生变化,所以D错误.

A.这10名男大学生的身高的平均值为176.75B.由残差图可判定儿子身高与父亲身高的关系不符合上述回归模型C.数据(182,185)对应的残差为3.7D.去掉数据(182,185)后,重新求得的回归直线的决定系数R2变小AC

规律方法

判断成对数据的相关关系的三种方法

[对点训练1](1)(2024·天津,3)下列图中,相关系数最大的是(

)ABCDA解析

观察4个选项可知,选项A中的散点分布比较集中,且基本接近某一条直线,线性回归模型拟合效果比较好,呈现明显的正相关.故选A.(2)(多选题)(2025·江苏南京二模)某研究所研究耕种深度x(单位:cm)与水稻每公顷产量y(单位:t)的关系,所得数据资料如下表:耕种深度x/cm810121416每公顷产量y/t6.07.57.89.29.5

BD

考点二回归模型考向1

一元线性回归模型例2

[一题多变](2025·江西吉安模拟预测)某种昆虫的产卵数y(单位:个)与一定范围内的温度x(单位:℃)有关;科研人员随机挑选了5个不同的温度进行研究,观测得到样本数据如下:温度x810111214产卵数y61114mn

AI变式[变式](变条件与结论)本例的表格变为:其余条件不变,温度x810111214产卵数y611142529

规律方法

求经验回归方程的步骤

ACD

考向2

非线性回归模型例3

(2025·福建泉州模拟)某团队从2024年10月份以来,通过深度整合AI算法、大数据分析和自动化技术,不断优化产品与服务,显著提升了运营效率和市场竞争力,推动团队收入持续攀升.该团队在近7个月的经济收入(单位:百万元)的数据如下表:月份编号x1234567收入y/百万元611213466101196(1)根据以上数据绘制散点图,并根据散点图判断,y=ax+b与y=c·dx(a,b,c,d均为大于零的常数)哪一个适宜作为该团队经济收入y关于月份编号x的回归方程模型,(给出判断即可,不必说明理由)并根据你的判断结果及表中的数据,求出y关于x的回归方程;(2)请你根据所求的回归方程,预测该团队下一个月的经济收入;(3)试从统计学角度分析,如果用所求的回归方程预测该团队接下来1年的经济收入情况是否合理.参考数据:100.45100.5443510.79253550.122.823.47

解

(1)散点图如图所示,根据散点图判断,y=c·dx适宜作为该团队经济收入y关于月份编号x的回归方程类型.

规律方法

非线性回归问题的求解步骤(1)作出散点图或利用已知散点图;(2)根据散点图选择恰当的拟合函数;(3)作恰当变换,将其化成线性函数,求回归方程;(4)在(3)的基础上通过变换,可得非线性回归方程.[对点训练3]某大型现代化农场在种植某种大棚有机无公害的蔬菜时,为创造更大价值,提高亩产量,积极开展技术创新活动.该农场采用了延长光照时间的方案,该农场选取了20间大棚(每间一亩)进行试点,得到各间大棚产量数据并绘制成散点图.光照时长为x(单位:h),大棚蔬菜产量为y(单位:吨/亩),记w=lnx.参考数据:290102.4524870540.281371578.2272.1

(1)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+dlnx哪一个适宜作为大棚蔬菜产量y关于光照时长x的经验回归方程类型(给出判断即可,不必说明理由);(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y关于x的经验回归方程(结果保留小数点后两位);(3)根据实际种植情况,发现上述回归方程在光照时长位于6~14h内拟合程度良好,利用(2)中所求方程估计当光照时长为e2h时(e为自然对数的底数),大棚蔬菜的亩产量.

考点三列联表与独立性检验例4

(2025·全国1,15)为研究某疾病与超声波检查结果的关系,从做过的超声波检查的人群中随机调查了1000人,得到如下列联表:组别检查结果合计正常不正常患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000(1)记超声波检查结果不正常者患病的概率为p,求p的估计值;(2)根据小概率值α=0.001的独立性检验,分析样本数据中超声波检查结果是否与患该疾病有关.

α0.0500.0100.001χα3.8416.63510.828

教考衔接(人A选三教材例题)为研究吸烟是否与肺癌有关,某肿瘤研究所采取有放回简单随机抽样的方法,调查了9965人,得到成对样本观测数据的分类统计结果,如下表所示.依据小概率值α=0.001的独立性检验,分析吸烟是否会增加患肺癌的风险.单位:人

吸烟肺癌合计非肺癌患者肺癌患者非吸烟者7775427817吸烟者2099