2025-2026学年浙教版八年级数学下册 第2章 一元二次方程 单元测评卷

第2章一元二次方程单元测评卷

一选择题（每题3分，共30分）

1.下列方程中，属于一元二次方程的是（)o

A.『+3七尸2B.x2+|=lC.V.v2+l=3xD.---

2.方程（（»2）2=3&2）的解是（）0

A.x=5B.x=2C.x=5或x=2D.x=l或x=2

3.利用求根公式求5.d+；=6X的根,其中”=5，则b,c的值分比是（）。

A.；,6B.6,1C.-6,1

D.-6,-;

4.下列关于一元二次方程的根的说法，正确的是（）。

A.方程/+x-2=0有一个根为-1

B.方程有一个根为|

C方程/+3x-4=0有两个不相等的实数根

D.方程『+4=0有两个实数根，并且这两个根互为相反数

5.关于x的方程双2+加+彳0有下列说法：①若a/o,则方程必定是一元二次方程；②若a=0,则方程必定是一

元一次方程，那么上述说法中（）。

A.①②均正确B.①②均错误

C.①正确.②错误D.①错误，②正确

6.如图,将一块长为40cm、宽为30cm的长方形硬纸板的四个角各剪去一个相同的小正方形，然后把纸板的四

边沿虚残折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖纸盒。若该无盖线盒的底面积为600cm2,设剪去小正方形的边

长为x（cm）,则可列方程为（）。

A.(30-2x)(40-x)=600B.(30-x)(40-x)=6(X)

C.(30-x)(40-2x尸600D.(30-2x)(40-2x)=600

7.用配方法解一元二次方程/十3=4也下列配方正确的是()。

A.(X+2)2=2B.(#2)2=7C.(X+2)2=1D.(X-2)2=1

8.为了提高社区居民对“垃圾分类，的知晓率，某街道工作人员用了两个月的时间在该社区加强了宣传，若社区

的知晓人数的平均月增长率为m%,两个月前社区对“垃圾分类”的知晓人数为a万人，现在的知晓人数为b万人,

则（）。

A.b=(l+m%x2)aB.b=(l+m%)2a

C.b=(l+m%)2aD.b=m%x2a

9.用配方法解方程3X2+2X-1=0,,配方后的方程是()。

A.3(x-l)2=0B.C(x+,=gD.

10将关于X的一元二次方程/-少+广。变形为x2=px-g,就可以将X?表示为关于X的一次多项式,从而达到“降

次,的目的，又如X3=X*=、3F尸□我们将这种方法称为僻次法、通过这种方法可以化简次数较高的代数式。

根据“降次法”,已知X2*1=0,且x>0,则x4.2?+3x的值为()。

A.1-V5B.3-V5C.I+V5D.3+V5

二填空题(每题3分，共18分)

ll方程x(2x-l尸2x-l的根为o

12.已知关于x的一元二次方程*+61+右0有两个相等的实数根，则实数k的值为。

13.已知m是关于x的方程9207=0的一个根，则2(/〃2-2〃?)=。

14.已知关于x的一元二次方程病_2的+2为+〃尸0有两个不相等的实数根Xi,X2,若勺+工2=2私，则m的值

是

15.若关于x的一元二次方程(。+1)『+4/42_]=()的一个根是o,则a=。

16如果关于x的一元二次方程。/+儿什。=0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，那么称这样的

方程为佶根方程二下列关于“倍根方程”的说法：①方程『*2=0是“倍根方程”；②若(x-2)(mx+n)=0是“倍根方程”,

则4m2+5/〃〃+〃2=0；③若p,q满足pq=2,则关于x的方程px2+3x+q=0是“倍根方程”；④若方程加+而+(=0是“倍根方

2

程”，财必有2b=9ac0其中正确的有(填序号)。

三解答题(共72分)

17.(8分)解方程：

(1)2X2-4X+1=0。(2)(x-2)(x-3)=12。

18.(8分)如图，依靠一面长18m的墙，用34m长的篱笆围成f长方形花圃ABCD,AB边上留有一扇2m宽

的小门EF(用其他材料做，不用篱笆围)。

(I)设花圃的一边AD的长为x(m),用含x的代数式表示另一边CD的长为m。

(2)当花圃的面积为160m2时，求AD的长。

（第18题）

19.（8分）小明同学用配方法推导一元二次方程江+瓜+《=0〃#0）的求根公式时，对于〃心心。的情况，他是这

样做的:

由于a翔，方程加+反+片0变形为.........................................第一步

2

/+*（9三+（3............................................................第二步

心看丫=答.....................................................................第三步

户（=亨22-4"月）.............................................................第四步

•b+S)'<ac

Xla-..........................................................第五步

（Iy」\明的解法从第步开始出现错误。

⑵当尸4ac>0时，方程aF+bx+cuOG#）为勺求根公式为,

⑶用配方法解方程：2/一6.什4=0。

20（8分）阅读下面的例题：

解方程：f-EULI-2=0。

解：当x沙时,原方程化为一“2=0,解得X]=2K2="（不合题意，舍去）。、

当x<0时，原方程化为.f+x-ZR,解得阳=1（不合题意，舍去）,、2=-2。

・••原方程的根是修=2/2=-2。

请参照例题解方程：/.□*1口-5=0。

21（8分）某服装厂生产一批服装，2022年该类服装的出厂价是200元/件，2023年、2024年连续两年改进技术,

降低成本，2024年该类服装的出厂价调整为162元/件。

（I诺这两年此类服装的出厂价下降的百分比相同，求平均下降率。

⑵2024年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装,以200元/件销售时，平均每天可销售20件。为了

减少库存，商场决定降价销售。经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10件，如果每天盈利1150元，单价

应降低多少元？

22.（10分）【综合与实践】

【问题情境】对于关于x的一元二次方程aF+bx+LO（a,b,c为常数，且a/））,求方程的根的实质是找到一个x

的具体的值，代入之后等式成立。一般情况下，如果有两个不同的x的具体的值都满足，这就说明这个方程有两个

不同的根，且两根与a,b,c之间具有一定的关系。

【操作判断】项目研究小组经过讨论得到两个结论：

（1）当a+b+c=O时.一元二次方程“r+Ax+cuO必有一根是10

⑵当a+c=b时,一元二次方程苏+区+“。必有一根是-1。

请判断两个结论的真假，并说明原因。

【实践探究】项目研究小组经过讨论编制了以下问题，请帮助解决：

方程（2025x）2-2024x2026x-l=0的较大的根为p,方程，+2025六2026=0的较小的根为q,求p-q的值。

23.(10分)已知关于x的一元二次方程d_(2〃?+4)X+〃/+4〃?=0。

(1成证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根。

(2)设方程的两个实数根分别为AA2O

①求代数式彳+x：-4x]X2的最大值。

②若方程的一个根是6,X]和x2是一个等腰三角形的两条边的长，求该等腰三角形的周长。

24(12分)如图，在C"C中,AB=AC=13cm,BC=IOcm,AD_LBC于点D动点P从点A出发以lcm/s的速度沿线段

AD向终点D运动。设动点运动时间为t(s)o

(1)求AD的长。

(2)当□产。说)面积为15皿2时,求t的值。

(3励点M从点C出发以2cm/s的速度在射线CB上运动。点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，

点M也停止运动。是否存在t,使得SPMD=^S/8C?若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由。

(第24题)

1.D2.C3.C4.C5.C6.D7.D8.B

9.D10.C11f=卜丫2=112.913.14

14215.116.②③④

17.(1)勺=竽用=邛。

(2)h=69=・1。

18⑴设AD=x(m),则BC=AD=x(m),/.CD=34+2-2AD=34+2-2x=(36-2x)m<,

(2你题意得x(36-2x)=160,化简得，_18工+80=0,解得》］=8力2=1。。

当x=8时,36-2x=36-2x8=20>18,不合题意，舍去:当x=l0时,36-2x=36-2x10=16<18,符合题意。AD的长为10m。

19.⑴四

-ft+Vh2-4ac

⑵尸

2a

(3)2好6+4=0*・3--2,

配方得X2-3X+^=-2+^,BP=：,开方得工［=±：，解得町=2司=1。

2().当x>l时，原方程化为f-x+l-5=0,即『-『4=0.解得町=等问=手(不合题意，舍去)。

当x<l时，原方程化为*+片1-5=0,即F+x-6=0,解得町=2(不合题意,舍去)，必=-3。

・•・原方程的根是修=等用=・3。

21.(1)设平均下降率为X。

依题意得200(l-x)2=162,解得占=0.1=10%,冷=1.9(不合题意，舍去)。，平均下降率为1。％。

(2改单价应降低m元，则每件的销售利润为200-m-162=(38-m)元，每天可售出20+］xio=(2O+2m)件。依题意

得(38-m)(20+2m)=l150.整理得〃，-28"什195=0,解得叫=15,g=130・•・考虑到减少库存，单价应降低15元。

22.【操作判断】两个结论是真命题。

(1照x=1代入方程a-+bx+c=0,得a+b+c=0,故当a+b+c=0时,一元二次方程ax2+bx+c=()必有一根是1。

(2潟x=-l代入方程ad+〃x+c=0”得a-b+c=0.即a+c=b,故当a+c=b时,一元二次方程加+瓜+片0必有一根是-1。

［实践探究】：(2025x)2-2024x2G26x-l=0,

2

/.i：2025x+l)(x-l)=0o

匚勺=-/42=1。匚片1。

『+2()25片2026=0,匚(x+2026)(x-1)=0。

EX|=-2026^2=lo□g=-2026。

Ap-q=l+2026=2027.

23.⑴口匚=(2w+4)2-4(m2+4w)=16>0,

・•・比方程总有两个不相等的实数根。

(2)xf+角-4X]X2=(X1+X2)2-6X[X2，

匚Aj+M=-=2次+4内工2=加2+46，

匚Gi+x2)2-6xM2=(2〃?+4)2-6(〃，+4〃?)

=-2〃/-8〃?+16=-2(〃?+2)2+24。

•••当m=-2时，其+与-4工1必的最大值为24。

②把x=6代入原方程可得〃产-86+12=0,解得m=2或m=6o

当m=2时，原方程化简为/&+12=0解得x=2或x=6,

三龟形三边长为6,6,2时，三