2025-2026学年广州某中学八年级上学期期末数学试题及答案

广东省广州市南沙区广州外国语学校2025-2026学年八年级上学期

1月期末数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.在下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）

A.3cm,4cm,5cmB.3cm,3cm,7cm

C.2cm,5cm,9cmD.8cm,4cm,4cm

2.如图，AABC^AADE,如果＜8=4,AC=6,BC=7,那么OE的长是（）

A.7B.6C.5D.4

3.如图，&△/IBC中，Z-C=90°,是NB/1C的平分线，DELAB,垂足为£若48=10,BE=4,贝必。

的长度为（）

A.10B.6C.4D.2

4.“白口不到处，青春恰自来，苔花如米小，也学牡丹开.”若苔花的花粉直径约为0.00000837米.则数

据0.00000837用科学记数法表示为（）

A.8.37xIO-7B.8.37x10-6C.-8.37x106D.-8.37x107

5.如图，在正方形方格中，每个小正方形方格的边长都为1,则乙1和乙2的关系是（）

A.zl=z2B.42=2乙1C.42=90°+41D.zl+z2=180°

6.如图，在△4BC中，已知=DE垂直平分力C,乙4=40。，贝1JNDCB=（）

A

A.10°B.15°C.20°D.30°

7.如图，在△48C中，乙A==^MPN,PM=PN.若力M=6,BN=2,则48=(

B.7C.8D.1()

20252026

/3\/4\

8.计算(一*)x(-)的结吴是()

4

A.3c.!D.3

9.如图，在△ABC和△4OE中，/-BAC=/.DAE=90°,AB=AC,AD=AE,C,D,E三点在同一条直

线上，连接BD,BE.以下四个结论：①BO=CE；@Z-ADB=45°；@BD1CEx④力。平分ZE08：其中

正确的为（）

C.①②③D.①②③④

10.如图，在等边三角形48。中，点D,E分别是8C,4B上的点，且=4。与CE相交于点F,连接

BF,延长FE至G,使？G=F4若的面积为16,则面积是（）

A.16B.15C.14D.13

二、填空题

11.分解因式：2a3-2a=.

12.在平面直角坐标系中,如果点4（。-16+2）和B（—3,。-3）关于％轴对称，则3a+8=.

13.若10*=5,10、=3,则10/y=—；

14.若关于％的分式方程嘿+±=1的解为正数，则m的取值范围是—.

15.如图，48c中，^ACB=90%AC=11cm,BC=13cm,点M从4点出发向C以每秒3cm的速度运动;

点N从B点出发向。点以每秒1cm的速度运动.点M在点N出发4s后开始运动，其中一点到达。点时两点都停

止运动，分别过M和N作ME1,于E,NF1，于小设点N的运动时间为t秒，则当t=秒时，以点M£C

为顶点的三角形与以点N,F,C为顶点的三角形全等.

16.如图，在等边△48。中，8F是4。边上的中线，点。在8户上，连接4D,在AD的右侧作等边△力0国

连接当周长最小时，则乙凡4E的大小是.

三、解答题

17.解方程：I力一3二X-匕1.

18.证明题：如图，已知B为线段CO的中点，AB=EB,41=乙2,求证：AC=ED.

19.△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.

(1)作出△48。关于y轴对称的△Ai&Ci,并写出4的坐标;

(2)求△48。的面积；

(3府x轴上画出点P,使尸8+PC最小(不写作法).

20.先化简，再求值：(焉一。+1)+勺产，其中Q是方程/一4=0的解.

21.已知中，48=30。8。=4,。斜边为BC的中点，E为乙84。的平分线上的点，EF1ABT-F,

EG14C交AC的延长线于G,BF=CG,

(1)求证：DELBC.

(2)若4尸=3,求CG的值.

22.如图，在△A8C中，AB=AC.

(1)尺规作图：作48的垂直平分线交8C于点。(不写作法，保留作图痕迹)；

(2)在(1)的条件下，若AD=CD,求NB4D的度数.

23.小张计划购进48两种文创产品，在“文化夜市”上进行销售.已知4种文创产品进价比B种文创产品

进价每件多3元，用140元购进A种文创产品的件数与用80元购进B种文创产品的件数相同.

(1)求48两种文创产品每件的进价；

(2)小张决定购进48两种文创产品共1()0件，且总费用不超过550元，那么小张最多可购进A种文创产品

多少件？

初中

24.如图，为等腰三角形，4B=BC=9cm,点。从B点山发沿Bf4方向在线段84上以acm/s的速

度运动，点E从C点出发沿方向在线段CB上以bcm/s的速度运动.D、E两点同时出发，运动时间为£

s.当点。到达点4后，D、E两点停止运动.

(1)如图1,若28=60。，速度Q=b=l,连接4E、CD相交于点F.在点D到达点｛前，直接写出NE"?的度

数=;

(2)如图2,若48=60。，速度Q=2,b=l,连接AE、CD,相交于点F.当人尸=C/时，求亡的值；

(3)如图3,若48=90。，速度Q=l,b=l,连接AE、CD,当AE+CD取得最小值时，求器的值

25.如图1,在平面直角坐标系xOyH4,4(0,1),灰一2,0),AB=AC,Z.BAC=90°.

(1)求点C的坐标；

(2)如图2,记AC交x轴于点D,BC交y轴于点£连接DE.

①求证：AD=CDx

②求证：LCDE=Z.ADB,

初中

《广东省广州市南沙区广州外国语学校2025-2026学年八年级上学期1月期末数学试题》参考答案

题号12345678910

答案AABBDDCBDA

1.A

【分析】本题考杳了三角形三边关系，三角形中，任意两边之和大于第三边，据此逐一判断即可.

【详解】解:A、•••3+4=7>5,

二长为3cm.4cm,5cm的三条线段能构成三角形，符合题意：

B、与+3=6V7,

长为3cm,3cm,7cm的三条线段不能构成三角形，不符合题意：

C、•••2+5=7<9,

・••长为2cm,5cm,9cm的三条线段不能构成三角形，不符合题意：

D、•.•4+4=8,

・•.长为8cm,4cm,4cm的二.条线段不能构成三角形，不符合题意；

故选：A.

2.A

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质.根据全等三角形的对应边相等解答.

【详解】解：•••△4BC三△ADE,BC=7,

:.DE=BC=7.

故选：A.

3.B

【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据角平分线的性质得出EO=OC,易证

△/^"△ACD（AAS）,得到=再根据线段的和差求解即可.

【详解】解：是乙8力（；的平分线，DELAB,Z-C=90°

'-ED=DC,Z.DAE=Z.DAC,

-£AED=Z.ACD=90°,

.♦.△4E0w^ACD（AAS）,

：.AC=AE,

-BE=4,AB=10,

^AC=AE=AB-BE=10-4=6.

故选：B.

4.B

初中

【分析】本题考查了科学记数法.将0.00000837用科学记数法表示，即写成ax1（）八的形式，其中14⑷

<10,几为整数，即可作答.

【详解】解：依题意，将0.00000837用科学记数法表示为8.37x10-6,

故选：B.

5.D

【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定，证明三角形全等是解题的关键.

如图，证明△A8C三△O£T（SAS）,得到乙1二乙48（7,利用平角的定义：乙A8C+42=180。，即可得到

Z1+Z2=180°.

【详解】解：如图，由方格可得：BC=EF,Z,EFD=Z.BCA=90°,AC=DF,

ADEF(SAS),

••.Zl=乙ABC,

-Z.ABC+Z2=180°,

.-.zl4-z2=180°.

故选；D.

6.D

【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角和三角形内角和定理，由等边对等角和三角

形内角和定理可求出44cB的度数，由线段垂直平分线的性质得到ZM=DC,则4O&4==40。，据此

可得答案.

【详解】解：•.•在中，AB=AC,44=40。,

1800-4

:,/B=Z.ACB==70°,

2

・••DE垂直平分/C,

■-DA=DC,

•.Z.DCA=〃=40°,

“DCB=Z-ACB-LDCA=30°,

故选：D.

7.C

初中

【分析】本题土要考查了全等三的形的性质和判定，

先证明/APM=ZBNP,再根据“角角边”证明△力PM三△BNP,可得8P=6,AP=2,最后根据

AB=8P+RP得出答案.

【详解】解：vz/lPM+乙MPN+乙BPN=1800/BPN+Z.B+乙BNP=180°,且=乙MPN,

：.ZiAPM=乙BNP.

，：PM=PN.Z.A=Z.B,

:.AAPM三ABNP,

"M=BP=6,AP=BN=2,

•••力8=BP+AP=8.

故选：C.

8.B

【分析】本题主要考查了积的乘方的逆运算，同底数累的乘法的逆运算，先把原式变形为（一?202SXG）2025

X3进一步可变形为（一'乂?如"'±据此求解即可.

z4\2O254

f

l-)X-

\373

34\2O254

-X-DX-

43/3

4

z5

X-

3

4

=~3f

故选：B.

9.D

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线和垂直的定义，熟练掌握全等三角形的判定是解题

的关键，根据题意得到4D=/C4E,易证△B/D三从而得到8。=CE,再根据全等三角形的

性质可得48。力=LCEA,可推H亿8ZM=£.CEA=45°,左。平分匕ED8：BD1EC,进而得到答案.

【详解】解：••Zb4C=4ZME=90°,

：.Z.BAC+Z.DAC=乙DAE+Z.DAC,

：.Z.BAD=Z-CAE,

在△BAD和△C4E中,

AB=AC

Z-BAD=/-CAE

AD=AE

三△G4E(SAS),

：.BD=CE,①正确；

•:△BAD=△CAE,

'.Z.BDA=Z.CEA,

'：LDAE=90°,AD=AE,

•••/AED=/-ADE=45°,

：.£BDA=LCEA=45°,②正确：

MD平分“D&④正确；

：.Z.BDE=90°,^BDIEC,③正确，

故选：D.

10.A

【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质等知识点，正确找出两组全等三

角形是解题关键.先根据SAS定理证出△ACD三△CBE,从而可得乙AFG=60。，根据等边三角形的判定可

得△力FG是等边三角形，再根据SAS定理证出△ACF^△ABG,从而可得48GC=/-BAC=60°=乙4FG,

根据平行线的判定可得"IIBG,从而可得So%=SAABF=16.

【详解】解：•••△ABC是等边三角形，

：.BC=AC=AB,Z.ACB=Z-CBA=Z.BAC=60°,

BC=AC

在△ACD和△方£中，^ACD=MBE,

CD=BE

.-.△/ICD^ACFF(SAS),

:.乙CAD=乙BCE,

“BCE+/.ACE=Z.ACB=60°,

：.AAFG=/-CAD+AACE=乙BCE+^ACE=60°,

vFG=FA,

•••△AFG是等边三角形，

：.AF=AG^FAG=60°,

:•乙BAC—乙BAD=LFAG-^BAD,BRzC/lF=乙BAG,

(AC=AB

在△皿和△的中，产成：濯0

初中

三△4，G（SAS）,

:.LACF=Z-ABG,

又•：(AEC=(BEG,

：.LBGC=ABAC=60°f

LBGC=z.AFGt

AF||BG,

•e*S&AFG=5&4BF=16(同底等商).

故选：A.

11.2a(a-l)(a+l)

【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式2a,再运用平方差公式分解因式即可.

【详解】解：2a3-2a=2a(a2-l)=2a(a-l)(a4-1),

故答案为：2a(a-l)(a+l).

12.-3

【分析】本题主要考查了坐标与图形变化一轴对称，代数式求值，关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐

标互为相反数，据此求出。、b的值即可得到答案.

【详解】解：•••点4(。-16+2)和B(-3以一3)关于无轴对称,

••.a—1=—3,a—3=—(匕+2),

解得Q=—2,6=3,

•,-3a+匕=3x(-2)+3=—6+3=-3,

故答案为：一3.

13.

15

【分析】本题考查了同底数暴的乘法逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

【详解】解:vlOx=5,10y=3

.-.10x+y=10xxl0y=5x3=15.

故答案为：15.

14.m>l

【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，解一元一次不等式，先化简分式方程，求解得

到x关于血的表达式，然后根据解为正数及分母不为零的条件列不等式求m的取值范围.

【详解】解：嘿+£=1

方程两边同乘％+3(其中工工一3),得mx=%+3,

初中

整理得（加一1氏=3,

当沉一1=0,即m=l时，方程（加-1）%=3无解，即此时原方程无解，不符合题意；

当加一1注0,即771Hl时

解得“行，

•••原方程的解为正数，即％>0,

告>0,

m-1

解得m>1,

...无+3¥0,即％丰-3,

•••告/-3,

m-l

•.m丰0,

综上所述，m的取值范围是m>l.

故答案为：m>l.

15.5

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键.根据题意可得

MC=NC,分别表示出M&NC的代数式，列出方程求解，即可求得,值.

【详解】解：点N从8到C的时间：13+1=13（s）,点N出发4秒后，点M开始运动，则点M到点C

的时间为：ll+3+4=g（s）,

则时，两点停止运动，

如绍,

■：MELl,NFLl,

"MEC=Z.CFN=Z.ACB=90°,

“MCE=90°-zFC/V=乙CNF,

•••以点M,瓦C为顶点的三角形与以点N/,C为顶点的三角形全等,

只存在△MEC三△CFN,

•••MC=NC,

根据题意，得力M=3(t-4)=(3t-12)cm,BN=tcm,

初中

.-.MC=ll-(3t12)=(23-3t)cm,NC=BC-BN=(13t)cm,

•••23—3t=13—3

23

解得t=5<y(符合题意).

则节=5秒时，以点M£C为顶点的三角形与以点N,F,C为顶点的三角形全等.

故答案为：5.

16.30。/30度

【分析】本题主要考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质以及最短路径问题，综合性

较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

首先证明点E在射线CE上运动，Z/1CE=30°,作点力关于直线CE的对称点历，连接FM交CE于『，此时

的值最小，然后判断出△4CM是等边三角形，根据等之三角形三线合一得出FMJ.4C,然后证明

△「4E'三△凡4E'(HL),即可得出答案，

【详解】解：如图,连接CE,

v△ABC,是等边三角形，

：.AB=AC,AD=AE,4BAC=/.DAE=/.ABC=60°,

'./.BAD=Z.CAE,

△8月。三△C力E(SAS),

'-/.ABD=Z.ACE.

•••BF是4c边上的中线，

：.AF=CF,

：.z.ABD=Z-CBD=乙ACE=30°,

•••点七在射线CE上运动(N4CE=30。).

•••△AE"周长=AE+EF+F4且4尸是定值，

•••△AEF周长最小,即4E+EF最小,

作点4关于直线CE的对称点M,连接CM,连接FM交CE于E',此时4E'+FE'=ME'+尸E'=FM最小.

.-.AT=TM=^AM,Z.ATC=90°,

根据对称得C4=CM,匕ACE=/MCE=30。,

初中

・"CM=60°,

••.△ACM是等边三角形，

：.Z.CAM=60°,

•MF=CFf

：.FM1AC,AF=^AC=\AM=AT,

：.Z.CFE'=90°,

:ZCFE'=乙ATC=90°,

'：AE'=AE',

••・△7;4E‘£Z\F/1E'(HL),

：.£TAEl=乙FAE'=\LCAM=30°,

故答案为：30°.

17.x=3

【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案.

【详解】解：£-3=W

方程两边同时乘以%-2得1-3(%-2)=-(x-1),

化笥得2x=6,

解得％=3,

检验：当％=3时，x-20,

.•.%=3是原方程的解.

18.见解析

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，可利用SAS证明△48c三△EB。，则由全等三角形的

性质可证明力C=ED.

【详解】证明：•.力为线段CO的中点，

:.BC=BD,

vzl=42,

•••Zl+Z.ABE=z2+Z.ABE,

­•Z.ABC=Z.EBD,

又必8=EB,

△48C三△EBO(SAS),

•-AC=ED.

初中

19.(I)%的坐标为(-1,2),图见解析

(2)5

(3)见解析

【分析】本题考查坐标与图形变换——轴对称，利用割补法求三角形面积，线段最值问题，掌握轴而称的

性质是解题的关键.

(I)作出△ABC各顶点关于y轴的对称点，顺次连接即可，根据当的位置可写出坐标；

<2)利用割补法求解；

(3)作点8关于x轴的对称点"，连接B'C交x轴于点P,由BP+PC=B'P+PCZB'C,可得点尸即为

所求.

【详解】(1)解：如图，△4名的即为所求，

必

IIIII.aIIII

、一一i.一—J一1一一1，一一J—-l一一

则%的坐标为(-1,2)；

(2)解：依题意，S^ABC=4x3-1x2x2-1x2x3-1x4x1

=12-2-3-2

=5；

(3)解：如图，点夕即为所求.

20,一小，0

初中

【分析】本题主要考查了分式的化简求值，求平方根的方法解方程，先把小括号内的式子通分化简，再把

除法变成乘法后约分化简，根据分式有意义的条件得到。的取值范围，再解方程确定。的值，最后代入计

算即可得到答案.

【详解】解：(言一。+1)+胃产

3—。2一。+。+1a2—4a+4

a+1丁-a+1

4-a2a2—4a+4

-a+1pa+1

(2+a)(2-a)(a-2)2

a+1a+1

(2+a)(2.-(1)a+1

a+1(a-2)2

a+2

=~a^2,

•••分式要有意义，

[a+1*0

‘Ia—2H0，

•••Q工一1且QH2,

解方程/-4=0得3=±2,

••,a是方程/-4=0的解，

•••a=-2,

二原式=一子|=一子|=0.

21.(1)见解析

(2)2百一3

【分析】本题考杳了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一，勾股定理，直

角三角形的性质，通过全等得到等腰三角形是解题的关键.

(I)如图，连接8E、CE,由角平分线性质可得£T=EG,可证△BFEw△CGE(SAS),得8E=CE,由。

为3c的中点，三线合一即可得出DEJL8C；

(2)由直角三角形的性质可求4。=号8。=2,利用勾股定理求出48=NBC?-AC?=2百,进而求出

BF=AB-AF=26一3,由8尸=CG即可求解.

【详解】(1)证明：如图，连接BE、CE,

•••E为4871c的平分线上的点，EFLAB,EG1AC.

初中

:・EF=EG,乙BPE=^CGE=90°,

在△8FE和△而£"中，

EF=EG

乙BFE=Z.CGE

BF=CG

••.△BFEwACGE(SAS),

:.BE=CE,

又丁。为8C的中点，

:.DE1BC；

(2)解:Rtz^ABC中，4ABe=30°,8c=4,

••AC-2,

"8=y)BC2-AC2=2V3,

又MF=3,

.'.BF=AB-AF=2y/3-3,

-BF=CG,

•••CG=2V3-3.

22.⑴见解析

（2）45°

【分析】本题考查了作图-复杂信图，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的

基本性质把曼杂作图拆解成基本作图，逐步操作.也考查了三角形内角和、线段垂直平分线的性质和等腰

三角形的性质.

（I）利用基本作图作力B的垂直平分线即可；

（2）先根据线段垂直平分线的性质得到AC=8D,由于4D=CD,所以BD=CD,再根据等腰三角形的性

质得到4D1BC,所以△ABD为等腰直角三角形，从而得到的度数.

【详解】（1）解：如图，点。为所作；

（2）解：・••/B的垂直平分线交5C于点D,

/.AD=BD,

vAD=CD,

初中

3D=CD,

-AB=AC,

/.AD1BC,

ALADB=90°,

.•.△ABD为等腰直角三角形，

LBAD=45°.

23.(1)/1种文创产品每件的进价为7元，B种文创产品每件的进价为4元

(2)小张最多可购进4种文创产品50件

【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不

等式是解题的关键.

(I)设4种文创产品每件的进价为x元，则8种文创产品每件的进价为。-3)元，根据用14。元购进4种

文创产品的件数与用80元购进B种文创产品的件数相同建立方程求解即可；

(2)设小张购进A种文创产品〃，件，则购进8种文创产品(100-加)件，根据总费用不超过550元建立不

等式求解即可.

【详解】(1)解：设力种文创产品每件的进价为x元，则4种文创产品每件的进价为(%-3)元，

由割意得，岑=昌，

解得％=7,

经检验，％=7是原方程的解，且符合题意，

•••x-3=4,

答：力种文创产品每件的进价为7元，6种文创产品每件的进价为4元；

(2)解：设小张购进A种文创产品加件，则购进8种文创产品(100-m)件，

由题意得，7zn+4(100-m)<550,

解得mW50,

••・〃；的最大值为50,

答：小张最多可购进4种文创产品50件.

24.(1)60°

(2)£=3

喝

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质与

判定定埋，全等三角形的性质与判定定埋是解题的关键.

初中

(1)证明是等边三角形，得到乙。=乙优。=60。，DC=AC,再证明得到

^CAE=乙BCD,再由三角形外角的性质可得答案；

(2)证明△4BC是等边三角形，得至1叱84。=N8C4=60。，再证明△4DF三△CEF(ASA),得到

AD=CE,根据题意可得80=2tcm,CE=AD=tern,据此建立方程求解即可；

(3)过点。作61CE,且CF=4B,连接E尸，AF,证明△BCD三△CFE(SAS),得到CD=£凡则当力、

E、/三点共线时，/E+CD有最小值，最小值为力F的长，证明△ABE三△rCE(AAS),得到CE=BE=g

BC,据此可得答案.

【详解】(1)解：-AB=BC=9cm,zS=60°,

•••△ABC是等边三角形，

:zB=Z.ACB=60°,BC=AC,

-.-a=b=1,

:.BD=at=tem,CE=bt=tern,

:.BD=CE,

•••△8DC三△CEA(SAS),

'./.CAE=乙BCD,

:"FC=Z.CAE+Z-ACF=(BCD4-LACF=LACB=60°；

(2)解：•:AB=BC=9cm,48=60。，

.•.△48。是等边三角形，

：.Z.BAC=乙BCA=60°,

-AF=CF,

'-Z.FAC=Z.FCAt

：.ABAC-/LFAC=乙BCA一乙FCA,即4ZX4F=乙ECF,

又4FD=乙CFE,AF=CF,

△40/三△CEF(ASA),

•■AD=CE,

当Q=2,b=1时，BD=2tcm,CE=AD=tcm>

,-AB=9cm,

：.2t+t=9,

解得t=3；

(3)解：如图所示，过点。作CFICE,目CF=48,连接EF.AF,

初中

A

6

\\:

\\:

W!

'：、；

3r

当Q=1,b=1时，BD=at=tcm,CE=bt=tcm,

；.BD=CE；

vCF1CE,

:ZECF=90°=乙ABC,

-CF=AB,AB=BC,

:.BC=CF,

△BCD三△CFE(SAS),

:.CD=EF,

.-.AE+CD=AE+EF>AF,

••・当力、E、尸三点共线时，4E+CD有最小值，最小值为4尸的长,

.