高考数学二轮复习：常用逻辑用语（讲义）解析版

第二讲：常用逻辑用语

【考点梳理】

1.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若pnq，则〃是^的充分条件，^是〃的必要条件

〃是^的充分不必要条件pnq且q%p

〃是的必要不充分条件PLq旦qnP

〃是夕的充要

poq

条件

〃是q的既不充分也不必要

PLq且q%p

条件

2.全称命题和特称命题⑴全称量词和存在量词

量词名称常见量词符号表示

全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等V

存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等3

⑵全称命题和特称命题

名称

全称命题特称命题

形式

对M中任意一个x,存在”中的一个飞,

结构

有p(x)成立使〃(%)成立

简记

VXG3x0eM,p(x()

否定V/£M「p")

【典型题型讲解】

考点一：充分条件与必要条件的判断

【典例例题】

例1.（2022・广东・金山中学高三期末）是“点（0,1）在圆f+>2一2火-2），+〃+1=0外”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【详解】将9+）?一20¥—23，+。+1=0化为标准方程，得（工一〃）2+（），-1）2=/一4

4>0

当点（0,1）在圆Y+y?-2or-2y+a+l=0外时，有,，解得

，％>0”是“点（0,1）”在圆Y+y2-2ax-2y+a+1=0外”的必要不充分条件.

故选:B.

【方法技巧与总结】

1.要明确题中题意，找出条件〃和结论必

2.充分必要条件在面对集合问题时，一定是小集合推出大集合，而大集合推不出小集合.

【变式训练】

1.已知〃?，〃是两条不重合的直线，。是一个平面,〃ua,则“Mia”是”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

由线面垂直的性质知,若〃z_La,〃ua,则〃成立，即充分性成立；

根据线面垂直的定义，机必须垂直平面。内的两条相交直线，才有m_La,即必要性不成立.

故选：A.

2.已知〃>0且"1,“函数为增函数”是“函数人尤卜婷在（。,+8）上单调递增”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【详解】

函数/（X）=4、为增函数，则a>1,此时a-1>0,故函数g（x）=在（0,+。）上单调递增;当g⑴=在

(0,2)上单调递增时，“-1>0,所以”>1,故〃x)="为增函数.

故选:C

3.在等比数列｛。"｝中,已知a2O2O>。，则“。2021>。2024”是“a2022>。2023”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】

・公比q。°，•»“2021>%024，,,。202闻>“2020.，

:・q>q*,“(I一夕)0+9+q2)>O，

/.<?(1-<7)>0,/.0<^<1,

又,“2022>“2023'*,。2020夕>^2020^,••9〜>寸,••9(1一4)>O,

，q<1且q工0,

0<9<1="<1且夕工0,

即“。2021>。2024”是“^2022>“2023,、的充分不必要条件.

故选:A.

考点二：充分条件与必要条件的应用

【典例例题】

例1.“〃?<2夜”是“2F一〃a+1>0在xe(l,+8)上恒成立”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

2V-〃ir+l>0在xe(L+8)上恒成立，

即加<2x+~!"在xe(l,+oo)f亘成立，

x

f(x)=2x+-,则/(月=2—一!?二^^>0在工6(1,位)上恒成立，

XXX

故f(x)=2x+L在xe(l,+oo)上单调递增，

-X

所以小)>/⑴=211=3,

所以〃?W3

因为/〃<2a二>m<3,巾：/〃<3产。〃<2,

所以“机v2s/2”是“2x2-ntK+\>0在x€。,+8)上恒成立”的充分不必要条件.

故选：A

【方法技巧与总结】

1.集合中推出一定是小集合推大集合，注意包含关系.

2.在充分必要条件求解参数取值范围时，要注意端点是否能取到问题，容易出错.

【变式训练】

1.若1+4=40是(x-〃)2<4成立的一个充分不必要条件，则实数〃的取值范围为()

A.(一8,4]B.[1,4]C.(1,4)D.(1,4]

【答案】D

【详解】

由题意可得1+J—K0n(x-a)2<4，而

2-x

13-x(x-2i(x-3)<0

1+——<0<z>^-<0o]v八7o2<x<3

2—x2—xx—2^0

(x-a)"<4<z>-2<x-w<2<=>a-2<x<«+2

a-2<2

则、o，故1<a44,

故选:D

2.1多选)“关于x的不等式/_2依+〃>0对XZxwR恒成立”的一个必要不充分条件是()

A.()<«<!B<0<^/<1

C.0<«<iD.a>()

2

【答案】BD

由题意，关于上的不等式/一2公+4>0对VxwR恒成立，

则A=4a2-4av0,解得

对于选项A中，“0<avl”是“关于x的不等式f_2ar+a>0对VxwR恒成立”的充要条件；

对于选项B中，“OWaWl”是“关于/的不等式/-2如+〃>。对X/xwR恒成立”的必要不充分条件;

对于选项C中，“Ovacg”是“关于x的不等式V—2.r+a>0对VxwR恒成立”的充分不必要条件；

对于选项D中，“a之(T是“关于x的不等式/-2at+〃>0对EreR恒成立”必要不充分条件.

故选：BD.

3.已知集合4=<），及=工2-■|x+l,x€（二］},B={x|A-+/n2>1）.若“工6人”是的充分条件，则实数

"I的取值范围为.

【答案】（f'TU:收）

【详解】

函数），=/—%+1的对称轴为X=；,开门向上，

ar3

所以函数y=f-M+l在72上递增，

37

当羊=7时，％in=77；当x=2时，为”=2.

4IO

所以4=|"乙2.

_10_

B={X|X+M>1}={x|xN1-〃?2},

由于“xeA”是“xe的充分条件，

、72、9

所以1一〃?24一,/n>一,

1616

33

解得m<一一或m>-,

44

所以利的取值范围是（7，-H；，+8）.

故答案为：（—，-10（,+CC）

考点三：全称量词命题与存在量词命题的真假

【典例例题】

xx

例［.已知0<方<。<1,下列四个命题：©Vx€（0,+oo）,a>b»②Vxe（o,l）,\ogax>\ogbxt③王w（0,l）,

x

x">f，®3xe（0,Z?）,a>logax.

其中是真命题的有（）

A.①③B.②④C.®®D.®®

【答案】C

【详解】

对于①，由O〈〃vavl得：y>l,VXG（0,-KO）,《二⑶:仁丫印，则/*,①正确；

bbx\b）\b）

对于②,Vxe(O,l),log«-log/?=log-<log1=0,即0<log,a<log*〃，则log”x>log/,x,②正确;

tvxbv

对于③，函数y=W(0<，"l)在(0,D上为减函数，而则*<“，BpVxe(OJ),y</,③错

误；

x

对于④,当xw(0回时,a'<l,log“x>log*>log"=1,BPa<logax,④错误，

所以所给命题中，真命题的是①②.

故选：C

【方法技巧与总结】

1.全称最词命题与存在量词命题的真假判断既要通过汉字意思，又要通过数学结论.

2.全称量词命题和存在量词命题的真假性判断较为简单，注意细节即可.

【变式训练】

42tnnK

1.已知命题Pl：存在%>0,使得/+一“，命题P2：对任意的XWR,都有lan2x=「':，命题P3：

A*0l-tan~j

存在,使得3sinXo+4cos』=6,其中正确命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【详解】

当了°=2时，显然P1成立；当x=(时，可知〃2不成立；由辅助角得35由%+4侬/=5§由a+9),所以

所以3sinxo+4cos/的最大值为5,所以〃3为假.

故选：B

2.已知函数/(力和g(x)的定义域均为0,记f(x)的最大值为M，g(%)的最大值为场,则使得

成立的充要条件为()

A.Vx,e[ayb]tVx,e[a,b],/(x)>g(w)B.V.r(e[a,b]f切平,句,/&)>g(w)

C.Hr,&[ayh],Vx24a〃],/(々)>g(七)D.句，〃x)>g(x)

【答案】C

【详解】

解：A选项表述的是/(力的最小值大于g(x)的最大值：

B选项表述的是/(A-)的最小值大于g(x)的最小值：

C选项表述的是/（X）的最大值大于g（X）的最大值成立的充要条件;

D选项是＞M2成立的充分不必要条件.

故选：C

3.下列命题中，真命题为（•

A.存在与wR,使得*KO

B.直线au平面％平面aD"=。，则平面

C.y=sin2x+l4（x^k7r,keZ）4

sin'x

D.a＞\,1是〃力＞1成立的充分不必要条件

【答案】D

【详解】

对于A中，由指数函数），=".的性质，可得，＞0恒成立，

所以不存在x°eR，使得e%«0,所以A为假命题；

对于B中，如图所示，在正方体中，

设平面ABC。为平面a,平面A8C。为平面夕，直线4B为直线。，直线4c为直线人

此时满足：_!.，，且〃＜=平面a,平面=但平面a与平面夕不垂直，

所以C为假命题.

4

当且仅当sin?户一―时，即sin，=2时、等号成立，

sin~x

显然siTx=2不成立，所以C为假命题

对于D中，由。可得面＞1,即充分性成立：

反之：例如：a=；力=4,此时满足必＞1,但。＞1力＞1不成立，即必要性不成立,

所以a>1力>1是ab>1的充分不必要条件、所以D为真命题.

故选:D

4.（多选题）下列命题中的真命题是（）

A.V.rGR,2「>0B.Vx£N\（x-l）2>0

C.3R,lgA<lD.3R,tan.r=2

【答案】ACD

【详解】

对选项A,令/=x-l,y=2',

因为xwR,所以y=2，>。，故A正确；

对选项B,当x=l时，（x-l）2=0,故B错误；

对选项C,当x=l时，lgl=O<l,故存在xeR,lgx<l,C正确；

对选项D,因为尸tanx的值域为R,所以存在xeR,使得tanx=2.

故选：ACD

考点四：全称量词命题与存在量词命题的否定

【典例例题】

例I.（2022•广东佛山•高三期末）设命题〃：大eR,/>21则p的否定为（）

A.<2XB.VXGR,A-2<2AC.BxeR,/<2'D.3XGR,X2<2r

【答案】B

【详解】解：因为存在量词命题的否定为全称量词命题，

所以命题p:BxeR.x2>2"的否定为VxeR,x2<2x.

故选:B.

【方法技巧与总结】

1.全称量词命题与存在量词命题的否定是将条件中的全称量词和存在量词互换，结论变否定.

2.全称量词命题和存在量词命题的否定要注意否定是全否，而不是半否.

【变式训练】

1.已知命题p：V/?GN\1+〃22,则力为（）

A.W〃史N",n2+n<2B.Vz?GN*»n2<2

C.3w0eN",片+〃o<2D.3nQeN*,%<2

【答案】D

【解析】

-P：3^0€N4,片+%<2.

故选：D

2.已知命题〃：VxeR,sinx+8sxN&，则力为（）

A.VXGK,sinx+COS.V<V2B.Hr任R，sinx-cosx<V2

C.VX£R,sia¥+cos.r<\/2D.HreR,sinx+cos.r<V2

【答案】D

【解析】

命题〃：V.vGR,sinx+cosx?0的否定是：土wR，sinv+cosA<V2.

故选：D.

3.命题“抽«0,”），始"与-1”的否定是（）

A.3^e（0,-H»）,lnx（）<x0-iB.右）任（0,+oo）,

C.Vxe（O,-H»）,\nx<x-\D.Vx史（0,+oo）,lnx>x-l

【答案】C

【解析】

由存在量词命题的否定知原命题的否定为：VXG（0,-KO）,lnx<x-l.

故选:C.

考点五：根据全称（特称）命题的真假求参数

【典例例题】

例I.若命题“WxeR，aP+lNO”为真命题，则实数。的取值范围为（）

A.a>0B.6/>0C.<0D.^<1

【答案】B

依题意命题“DxeR，G+INO”为真命题，

当〃=0时，120成立，

当a>0时，a^+lNO成立，

当4<0时，函数,二级2+1开II向下，*+120不恒成立.

综上所述，a>0.

故选：B

例2.命题〃：为°cR,使得a4-4.%+2<0成立.若〃是假命题，则实数。的取值范围是（）

A.（f,2]B.[2,+oo）C.[-2,2]D.（-OO,-2]J[2,-KO）

【答案】B

命题〃：丸€R,使得竭-4.v0+2<0成立.

因为〃是假命题，则命题〃的否定为：VxeR.使得4/：-4.%+22。成立，为真命题.

。〉0

所以.,解得〃>2,

(-4)--4«-2<0

所以实数〃的取值范围是[2,一）.

故选:B.

【方法技巧与总结】

1.在解决求参数的取值范围问题上，可以先令两个命题都为真命题，如果哪个是假命题，去求真命题的补级

即可.

2.全称量词命题和存在量词命题的求参数问题相对较难，要注重端点出点是否可以取到.

【变式训练】

1.若命题“VxeR,ad+1之0”为真命题，则实数。的取值范围为（）

A.a>0B.“20C.a<0D.a<\

【答案】B

【详解】

依题意命题“Wx€R.ax2+1>0'为真命题，

当4=0时，IN0成立，

当〃>0时，*+120成立，

当”<0时，函数y=♦+1开II向下，a/+]N0不恒成立.

综上所述，a>0.

故选：B

2.若命题“存在xwR,使f+2x+/〃W0”是假命题，则实数切的取值范围是（）

A.(-oo,l]B.(-oo,l)C.(l,+oo)D.[1,-Hx)

【答案】C

【详解】

:命题“存在xeR,14X2+2x+tn<0,是假命题,

则其否定“任意xtR,V+2x+/〃>0”为真命题，

•*-A=22-4m<0，

所以心1.

故选：C.

3.若命题”加《-1,3],加-（加-1）X+3-〃<0”为假命题，则实数x的取值范围为（）

A.[-1,4]B.siC.[-1,O]U「Is，4iD.[-1,O）U八1

【答案】C.

【详解】

解：命题1,3],翻2-（2〃—l）x+3—〃<0"为假命题，其否定为真命题，

g|J-V6FG[-l,3],O¥2-（2«-l）X+3-67>0^X^^.

令?（。）=纨2-2ax+x+3-a=（x2-2x-\）a+x+3>0,

贝俨DM即匕2+4“

]g⑶NO3X2-5X>0

-l<x<4「

解得C<o,所以实数4的取值范围为[7，0]U|，4.

入一产一

故迄C

4.若“Vxc[-g,£],tanx2〃z”是真命题，则实数，〃的最大值为__________.

34

【答案】-73

【详解】

若tanxN/n”是真命题，

34

则实数加小于等于函数y=tanx在的最小值，

因为函数y=tanx在上为增函数，

34

所以函数>力门在[一],白上的最小值为-VL

34

所以机4-6,即实数小的最大值为

故答案为：-8

5.已知定义在火上的函数h（x）满足2Mx）+〃>0且力⑴=4，其中加X）>《的解集为A.函数

fG)=m,g(x)="(a>1),若依”，加eA使得/(xj=g(x,),则实数4的取值范围是

x-\

【答案】(1,3)

【详解】

解：构造函数函(x)=Mx)/*,

所以〃(x)=汇*)•*+2h(x)-e2x=/[4(x)+2/?(x)],

因为定义在R上的函数力(用满足2/?(幻+h(x)>0,

所以，(x)>0,所以〃*)在R上单调递增，且，⑴=〃⑴&2=1,

所以不等式心)>与可化为h(x)e2x>\,即H(x)>H⑴,

e

所以x>l,

所以M")>白的解集A=(1,y0),

函数/“)=v一"+1=("7)十'一[十[=0_]+-^+[22，*_%-^+]=3,当且仅当/一]=々，。=()或

x-1x-1x-\vx-1x-i

x=2时等号成立，在A上仅当x=2时等号成立，

所以八幻在A上的值域为[3,y)，

g(x)="(a>l)为增函数，

所以g(x)在人上的值域为(〃,中»),

若由wA,It?eA使得/(与)=且(马)，

则[3,+co)=(a,4<o),

所以a<3,乂因为。>1

即实数〃的取值范围是(1,3).

故答案为：(1,3).

6.若命题“土。/9,9],出11%>〃?，，是假命题，则实数，〃的取值范围是__________.

_OJ_

【答案】[6+00)

【详解】

由题意得tan心为真命题，故"后（tan/*=ta吟=石，

故答案为：[后,+8）

7.若“3。«-1川，/+2-〃>（）”为假命题，则实数〃的最小值为.

【答案】3

【详解】

“5w[T,l],为+2—。>0"的否定为“Vxe[T,l],都有x+2-4WO”,

因为“*）€[-1,1],用+2-a>0”为假命题，

所以都有x+2—a<0、'为真命题，

所以a-x+2在xe[—Ll]上恒成立，

所以。23,

所以实数。的最小值为3,

故答案为：3

【巩固练习】

一、单选题

1.命题“玉£火，N-2021〈2022*”的否定是（）

A.BXGR,|A-|-2021>2022%B.Vxe/C,|x|-2O21>2（）22x

C.Vxe/?,|A|-2021>2022XD.BxeR,|A|-2O21>2022x

【答案】B

因为存在量词命题的否定为全称量词命题，结合题意可得命题“*eR,凶-2021<2022尸,的否定为X/*wR,

凶-202122022.j

故选：B.

2."%>1”是"■!■<]，，的（）

X

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

11—r

解：因为一V1,所以一^<0,「.就1一幻〈0,，工*-1）>0,「.不〈0或工>1,

XX

当%>1时，x<0或x>l•定成立，所以“x>l”是」V1”的充分条件；

X

当H<0或X>1时，X>1不一定成立，所以“X>1”是“Lvl”的非必要条件.

X

所以"x>1”是V1”的充分非必要条件.

X

故选：A

3.若命题“Dxe[l,4]时，/>〃?，、是假命题，则用的取值范围（）

A.,7/>16B.mN1

C.<16D.m<1

【答案】B

因为/>〃?”是假命题，

则其否定“去<1,4],/4加'为真命题

则卜％，“

而当x=l时，d取得最小值I

所以〃收/

故选：B

4."0<“<4”是“玉“ER使渥-”+14（）成立“为假命题的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

解：“瑞wR使叫;-阴）+1石。成立“为假命题，则”DxeR使or?_奴+1〉0成立"为真命题，当。=（）时成立，

当〃00,则a>（）,A=6Z2-4«<0,/.0<«<4,综合得0Wa<4,则“0vav4”是0与。<4的充分不必要条

件.

故选:B.

5.若不等式卜-“<。的一个充分条件为0<x<l,则实数〃的取值范围是（）

A.a>0B.>0C.a>\D.a>\

【答案】D

由不等式|xT|<〃，可得-a+l<xa+l,（a<0不合题意）

要使得0<x<I是-a+1<x<a+l的一个充分条件，

则满足〈，解得

故选：D.

6.已知函数，（x）=*-3a+8f,则“函数/*）的图象恒在x轴的下方”是“―2</<0"的（）

A.既不必要又不充分条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D,充要条件

【答案】C

因为二次函数/（X）的开口方向向下，

所以有/<0,则9产+32/<0,

即4得,0）,满足函数/（力的图像在x轴的下方.

又因为（一2,0）《一,,0,

所以“函数”X）的图像在x轴的下方”是的必要不充分条件.

故选:C

7.若。>0,6>0,则的一个必要不充分条件是（）

A.—+7<1B.ab<1C.a2+Z?2<2D.y[a<>j2-b

ab

【答案】B

因为a>0,。>0,

对于A,当。+人<2,取。=人=[,明显可见，，+!<1不成立，故必要性不成立，A错误：

2ab

对于B,当a+〃<2,0<b<2-a,得"<。（2-〃）二一（。-1）2+1<1,必要性成立；当而<1,取