复数乘、除运算的三角表示及其几何意义（同步练习）-2025-2026学年人教Ａ版高一数学下册必修第二册

7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

一、单选题

1.已知复数z=cosj+(i为虚数单位)，贝Uz3等于()

66

A.1B.-1C.iD.-i

2.复数4=1,在复平面内，z2对应的向量由4对应的向量绕原点。按逆

时针方向旋转7而得到，则arg(zz)()

621

A.-B.-C.-D.-

12643

3.法国数学家棣莫弗(1667T754)发现的公式(cosx+isinx)n=cosnx+isinnx

推动了复数领域的研究.根据该公式，可得(cos^+isin^)5(l-0=()

A.-1+iB.1+iC.l-2iD.-2-i

4.将复数1+i对应的向量OM绕原点按逆时针方向旋转£,得到的向量为

4

0而1,那么丽1对应的复数是()

A.2iB.y/2iC.—+—iD.V2+V2i

22

5.复数cos^+isin^经过n次乘方后，所得的复数等于它的共扰复数，则n

的值等于()

A.3B.12C.6k-l(/cGZ)D.6k+l(/cGZ)

6.复数z=/e(6ER),z的共枕复数是z,在复平面内，复数z对应的点

为Zo,力(-1,0)与8(0,1)为定点，则函数/(z)=|(z+l)(i-i)|取最大值

时，在复平面上以Z。，A,8三点为顶点的图形是()

A.等边三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形

7.若3=—2+遗i,则1+co4-co2+co3=()

22

A.1B.V3iC.-1D.-V3i

8.复数z=cos4-isin是方程x5+a=0的一个根，那么a的值为()

.V3,1.1,73.「V31.口1^3.

A.——F-IBD.-4——IC.-------ID.--------I

22222222

二、多选题

9.设复数z在复平面内对应的点为Z，任意复数z都可以表示为三角形式

r(cos3+isind),其中r为复数z的模，6是以x轴的非负半轴为始边，以

0Z所在的射线为终边的角(也被称为z的辐角).利用复数的三角形式可以进行

复数的指数运算，法国数学家棣莫佛发现[r(cos。+isinO)]11=rn(cosnG+

isinn0)(nGN*),我们称这个结论为棣莫佛定理，根据以上信息，若复数z满足

Z5=32,则z可能的取值为()

A.2fcos—+tsin—)B.2fcos—4-tsin—")

C.2(cos[+isin.)D.2(cos*+isin*)

10.任何一个复数z=a+bi(其中a,bER)都可以表示成：z=r(cos64-

isinO)的形式.法国数学家棣莫佛发现：

zn=[r(cos3+isin0')]n=rn(cosn6+isinn0)(n6N*),我们称这个结论为棣莫

佛定理.根据以上信息，则下列说法正确的是()

A.当r=l,6=巳时，z=-4--i

422

B.当r=l,6=-时，z4=1

4

c.当丁=1,8=:且"为偶数时，z"为实数

4

D.|z|4=|z4|

11.把复数Zi与z2对应的向量0A,0B分别按逆时针方向旋转彳和今后，

重合于向量0M且模相等，已知z2=-1-V3i,则复数Zi的代数形式和它的

辐角分别是()

A.-V2-V2C—B.-V24-V2i,—

44

C.—y/2—D.—V2+V2i,——

44

三、填空题

12.将复数1+i对应的向量顺时针旋转45°,则所得向量对应的复数为.

13.在复平面内，常把复数z=a+bi(a,bGR)和向量OZ进行--对应.现把

复数对应的向量绕原点0按顺时针方向旋转7，所得的向量对应的复

334

数虚部为.

14.任何一个复数z=Q+bi(a,b6R)都可以表示成z=r(cos0+isinJ)(r>

0,8ER)的形式，通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：

\r(cos6+isin6)>]n=rn(cosn6+isinnB)(nEZ),我们称这个结论为棣莫弗定理.

计算(1-V3i)Z°25=—.

四、解答题

15.计算:

⑴3(cos'+isin/)x2(cos'_isin.);

/TCTC\

⑵xIcos——isin—I

\66,

16.在复平面内，把与复数cosl20。-is)120。对应的向量绕原点。按顺时针方

向旋转30°,所得向量对应的复数为z,求复数z(用代数形式表示).

17.在复平面内，把复数-1+i对应的向量绕原点逆时针旋转后所得向量对

4

应的复数为Z1,绕原点顺时针旋转居后所得向量对应的复数为z2

(1)求复数Zltz2;

⑵若复数2=迫，求复数z.

7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义标准答案

一、单选题

1.答案：C

解析：由棣莫佛定理，z，=cos(3x+isin(3X2)=cos]+isin]=i。

2.答案：B

解析：z=1=cosO4-isinO,z2由z1逆时针旋转巴得,故z2=cos±+isinA

1666

Z2Z1=z?，则arg(Z2Z1)=arg(z)=70

2o

3.答案：B

解析：根据棣莫弗公式：

/TCn\5/7T\/7T\7T71

[cos—4-isin—J=cos(5x元)+isin\5x—)=cos-+isin-=i

因此：

(C0STU+"讥白)(1-0="1-"='-i?=i+1=1+'

4.答案：B

解析：复数1+i的三角形式是V2(cos^+isin£),向量两对应的复数为:

加(cosq+isin^)x(cosg+isinJ=&&。s弓+*)+ising+*))

=V2(cosg+is沆=V2i

故选：Bo

5.答案：C

解析：原复数z=cosg+ising,其共轲复数5=cos三一isin=cos(-+

isin(—§=cos卜/czr—§+isin(2/CTT—(k€Z)；由棣莫佛定理，zn=

cos詈+isin詈,故半=2/CTT—解得九=6k—l(k€Z)。

6.答案：D

解析：vz=e10=cosO+isin仇

(z+l)(z—i)=(cos。+1+isin0)(cosO-isin。-i)

=cos26-isin3cos0-icosO+cosO-isinO-i+isindcosO+sin20+sin。

=(cos。+sinO+1)—i(cos0+sin。+1).

•・・f(z)=|(z+l)Q-i)|,

:.f[z)=y/(cos6+sin0+l)24-[—(cos0+sinO4-1)]2

=J2(cose+sin。+I))

当sin®+斗=1时，f(z)取得最大值，即当8+g=W+2k7T,/cGZ,即。=

\4/42

-+2kn,keZ时，f⑵取最大值,此时z=¥+争，z=y-yu

又•・•4(-1,0),8(0,1),

22

•••阂川2=俘+1)+(

=2+V2,

2

48|2=停一0)+(

=2+y/2,

又依02=(-1-0)2+(0-1)2=2,

22

••\ZQA\=\Z0B\,且|Z°A|2+\Z0B\H\AB\,

该图形为等腰三角形，

7.答案：A

解析：a=—1+=cosg+ising,由棣莫佛定理，w3=COS2TT+tsin27T=1：

且32+3+1=0(三次单位根性质，教材拓展结论)，故1+3+0)2+侬3=0+

1=lo

8.答案：D

解析：z=cosR+isin2是好+。=o的根，故/=-a；由棣莫佛定理，z5=

57r...STTJT**7T1.5/3.111Ji,c1^3.

cos—Fisin—=cos—isin-=—I—i；因此a=—z=----------io

1515332222

二、多选题

9.答案：BD

解析：z5=32=32（cos0+isinO）,设z=r（cos。+isin。），由棣莫佛定理：

r“cos564-isin5。）=32（cosO+isinO）,故r，=32=r=2,56=2krc=9=

等（kEZ）。

A：0=\不满足6=等，排除；

B：k=l,符合；

C：6=\不满足，排除：

D：8=当，k=3,符合。

10.答案：ACD

解析：逐一验证：

A：r=1,0=-H't,z=cos-+isin-=-4--i,正确；

44422

B：=cos（4x：）+isin（4xg=COSTT+isin/r=-101,错误；

C：ri为偶数，设n=2/c,则z"=cos等+isin等=cos筝+isinT，当々为整数时,

siny=0（k偶）或cos筝=0（k奇），均为实数，正确；

I）：|z|4=r4,|z4|=|r4（cos40+isin40）|=r4,故|z/=正确（复数模的性

质，教材基础结论）。

11.答案：BD

解析：由题意可知：

/nTT\/5TT5TT\

ZI（cos—+isin—J=z2（cos—+isin—j

又z2——\[3i=2（cosf+isin

（5TT,..cos等+isin竽）（cos竽+isin竽）

z2（cos-5-+isin

n,..n

cos彳+isin-^cos彳7T+,i.si.n.7T

/37r3TT\

=21os彳+is/彳)=-V2+V2i

可知Z］对应的坐标为(-V2,V2),它的辐角主值为子，故可以作为复数

—y/2+V2i的辐角的是?+2kn,kE.Z(,

当k=1时:

37rUTT

—+2TT=

44

故选：BDo

三、填空题

12.答案：V2

解析：l+i=&(cos?+isin£),顺时针旋转45。(即»,辐角减?，得：

V2(cos0+isinO)=V2x1=&。

13.答案：4

o

解析：设原复数z=，+苧i,模丁==1，故Z=cos。+isin。

(cos0=sin3=—)；顺时针旋转H新复数z=cos(0--14-isin(0--

334\4/\4>

由两角差公式，虚部为：sin(8-彳)=sinScosg-cosSsin2=葭(乎—；)=?x

4-1V2

14.答案：-22025

解析：因为

1一百i=2Q一曰i)=2cos(一g)+isin(一g)],

所以

t-.(2025TT\/2025TT\1

(1-遍1)2025=292n07(25《os(-------)+isin(-------jj

=22025[COS(—675TT)+isin(—675TT)]

=22025(COSTT+isinn)=-22025.

四、解答题

15.解：

(1)将cos,-is呜化为cos+isin(-)由三角形式乘法法则：原式二

3x2[cos(，一，)+3in(看—*)]=6(cos0+isinO)=6x1=6。

(2)i+--4-isin-,cos--isin-=cosf--)+tsinf-;由

223366\6/\6/

乘法法则：原式=cos(4一匀+isin(耳-'