北师大版九年级上数学期末押题卷02（测试范围：九年级上册+九年级下册）解析版

北师大版九年级上数学期末押题卷02

考试时间：120分钟试卷满分：120分测试范围：九上+九下

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）将一元二次方程5/-1=4X化为一般形式，其中一次项系数是（）

A.5B.-4C.3D.-1

【分析】一元二次方程的一般形式是：加+云+。=0（〃，b,。是常数旦。工0）.在一般形式中⑪2叫二次

项，公叫一次项，c是常数项.其中*b,c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项.

【解答】解：一元二次方程5f_l=4x化为一般形式是5/一标-1=0,一次项系数分别为T.

故选：B.

【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，解答本题要通过移项，转化为•一般形式，注意移项时符号的

变化.

2.（3分）如图是从三个方向看一个几何体所得到的形状图，则这个几何体是（）

【分析】根据三视图的定义判断即可.

【解答】解：观察三视图，可知这个几何体是三棱柱，

故选：C.

【点评】本题考查三视图，解题的关键是理解三视图、看懂三视图，属于中考常考题型.

3.（3分）在一个不透明的袋子中装有2（）个蓝色小球、若干个红色小球和10个黄色小球，这些球除颜色不

同外其余均相同，小李通过多次摸取小球试验后发现，摸取到红色小球的频率稳定在0.4左右，若小明在袋

子中随机摸取一个小球，则摸到黄色小球的概率为（）

【分析】设袋中红色小球有工个，根据“摸取到红色小球的频率稳定在0.4左右”列出关于工的方程，解之

可得袋中红色小球的个数，再根据频率的定义求解可得.

【解答】解：设袋子中红球有1个，

x八.

根据题意，得:--------------=0.4,

20+X+10

解得：x=20»

经检验：x=2O是原分式方程的解，

则小明在袋子中随机摸取一个小球，摸到黄色小球的概率为一--=1

20-20+105

故选：A.

【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验卜频率稳定值即概率.用到的知识点为：频率=

所求情况数与总情况数之比.

4.（3分）已知AABC中，。为8C边上一点，连结4）,E,F分别为A4,AC上的点，且EFI/BC,交

4）于点G,连结8G并延长交AC于点H,若他:AB=2:3,CD:BD=2:3,则G〃：8G的值为（）

A.4:9B.4:11C.2:5D.2:3

【分析】由所//3C,得到AG:AD=AE:AB=2:3,由A4G尸s/vtDC,得到GV:£>C=AG:AD=2:3,由

CD:BD=2:3,得到CD:5C=2:5,推出Gr：8C=4:15，

由,XHGFsAHBC,即可解决问题.

【解答】解：・；EF//BC,

..AG:AD=AE:AB=2:3,

AAGF^/SADC,

.\GF:DC=AG:AD=2:3,

vCD:BD=2:3,

/.CD:BC=2:5♦

:.GF:BC=4:i5,

-FG!IBC,

I.^HGFS^HBC,

:.HG:HB=GF:BC=4.\5,

:.HG:BG=4:\\.

故选：13.

【点评】本题考查平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，关键由以上知识点推出G/:8C=4:15.

5.（3分）如图所示，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169,小正方形的面积为49,则

）

「120

B•瑞C■---

169

【分析】分别求出大正方形和小正方形的边长，再利用勾股定理列式求出AC,然后根据正弦和余弦的定义

即可求sine和cosa的值，进而可求出sin<7cos«的值.

【解答】解:如图,

•.•小正方形面积为49,大正方形面积为169,

二小正方形的边长是7,大正方形的边长是13,

在RtAABC中，AC2+BC-=AB2,

即AC2+（7+4C）2=l32,

整理得，AC2+7AC-O）=0,

解得AC=5,AC=-\2（舍去）,

:.BC=ylAB2-AC2=12,

AC5BC12

/.sma=—=—»cosa=—=一，

AB13AB13

51260

.sinacosa=—x—=—

1313

故选：B.

【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角形函数值，利用勾股定理列式求出直角三角形的较短的直角边是解

题的关键.

6.(3分)如图，在A4BC中，A,4两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1,0).以点C为位似中心,

在.v轴的下方作AA4C的位似图形△ABC,使得△ABC的边长是A/WC的边长的2倍.设点B的坐标是

C.(5,-2)D.(6,-1)

【分析】作4。_Lx轴于。，“石_x轴于E,根据位似图形的性质得到夕C=24C,根据相似三角形的性质

定理计算即可.

【解答】解：作轴于O,££_Lx轴于£,

则BD//8E,

由题意得CZ)=2,BC=2BC,

:ZDCs丛REC,

CDBDBC\

~CE~~EB；~'CB；~2,

解得，CE=4,E8=l

贝|JQ£=CE—OC=3,

.•.点4的(3,7).

故选：A.

【点评】本题考查的是位似变换、相似二角形的判定和性质，掌握位似变换的概念是解题的关键.

7.(3分)如图，在平面直角坐标系中，4、8是双曲线,，=七的一个分支上的两点，且点伙a力)在点A的

x

右侧，则〃的取值范围是()

A.0<Z?<1B.0<Z><2C.b>\D.b<2

【分析】根据点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出Z值，再根据点8在该反比例函数图象

上，用〃表示出。，由点区在点A的右侧可得出由此即可得出。的取值范围.

【解答】解：•.•点4(1,2)在双曲线)，=人的一个分支上，

x

:.2=k，

•:点B(a,b)在双曲线y=-的一个分支上，

b,=—k=一2,

aa

•・•点8(a,b)在点A的右侧,

二.a>1，

：.0<b=-<2.

a

故选：B.

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是找出0<工<2.本题属于基础题，难度

a

不大，解决该题型题目时，根据点的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式是

关键.

8.（3分）己知4?是OO的弦，若。4=0,AB=2,则A8所对的圆心角的度数为（）

A.30°B.45°C.60。D.90。

【分析】由图可知，OA=叵，OD=\.根据特殊角的三角函数值求角度即可.

【解答】解：由图可知，OA=>/2»OD=\»

在RtAOAD中，

•：OA=应,OD=\,

八OD\五八

cosZl=-----=—==—,Z1=415CO>

OA412

同理可得N2=45。，

ZAOB=Nl+N2=45°+45°=90°,

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键.

9.（3分）已知抛物线y=o^+〃x+c.在平面直角坐标系中的位置如图所示，则下列结论：（1）〃〃>（）,

(2)2〃一。=0,(3)4ac-b2<0,(4)a—b+c=0.其中正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而

对所得结论进行判断.

【解答】解：抛物线开口方向向下，则avO.

（1）抛物线的对称轴位于），轴的右侧，则〃、〃异号，则必vO,故该结论错误；

（2）由a<0，力>0得至lj：2a-b<0,故该结论错误：

（3）由于该抛物线与x轴有两个交点，所以6-4或>0,则4ac-/『vO,故该结论正确：

（4）如图所示，根据抛物线的对称性知：当x=-l时，”0,即。+c<0,故该结论错误;

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，掌握二次函数），=办2+阮+。系数符号由抛物线开口方

向、对称轴、抛物线与），轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定是解题的关键.

10.（3分）在平面直角坐标系xOy中，如图，四边形是菱形，4X6=60°,点P是边8的中点,

C.(2x/3,1)D.(V3,1)

【分析】根据菱形的性质得出AQ=DC=4,进而利用等边三角形的性质和坐标解答即可.

【解答】解：•.•四边形A6C。是菱形，菱形的周长为16,

..AD=AB=DC=BC=4,

-.­ZZMB=60°，

.•.△4）8是等边三角形,

:.DB=4,

•.•点户是边6的中点，ZX0,2）,CQ拒,0）

点尸的坐标为（有，1）,

【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质得出4。=力C=4解答.

二.填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）

11.（3分）二次函数），二^一以―6的图象的对称轴为直线_%=2_.

【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的对称轴.

【解答】解：•.•二次函数＞=/一4%一6二（工一2）2—10,

.••该函数的对称轴是直线x=2,

故答案为：x=2.

【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答.

12.（3分）直角坐标系内，身高为1.5米的小强面向），轴站在工釉上的点4-10,0）处，他的前方5米处有一

堵墙，已知墙高2米，则站立的小强观察），（），＞0）轴时，盲区（观力达不到的地方）范围是2.5

【分析】如图，本题所求的就是X的值，过。作J.OC于尸，交BE于H,利用三角函数可求出.

【解答】解：过。作。尸JLOC于尸，交BE于H,。尸=1.5,BH=0.5,

三角形DBH中,tanNBDH=BH:DH=0.5:5,

因此三角形CD尸中，CF=DF.tanZI3DH=\

因此，OC=OF+CF=\+\.5=2.5.因此盲区的范围在0＜），,,2.5.

【点评】利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容.解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上

建立数学模型，把实际问题转化为数学问题.

13.（3分）在一个不透明的盒子里装有4个标有1,2,3,4的小球，它们形状、大小完全相同.小明从盒

子里随机取出一个小球，记下球上的数字，作为点。的横坐标x,放回然后再随机取出一个小球，记下球上

的数字，作为点〃的纵坐标），.则点〃在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率为-.

一8-

【分析】用列表法列举出所有可能出现的情况，找出点?在以原点为圆心，5为半径的圆上的结果有2个,

即（3,4）,（4,3）,然后有概率公式即可得出答案.

【解答】解：根据题意列表如F：

1234

1(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)

2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)

3(1,3)(2⑶(3,3)(4,3)

4(L4)(2,4)(3,4)(4,4)

共有16种等可能的情况数，其中点户在以原点为圆心，5为半径的圆上的有2种,

则点户在以原点为圆心，5为半径的圆上的概率为二=■!■：

168

故答案为：

8

【点评】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，利用这种方法注意每一种情况出现的可能性

是均等的.

14.（3分）如图，四边形458为矩形，AB=遍,3c=2夜，点P是线段8c上一动点，点M为线段"

上一点，始终保持=则8W的最小值为

A

BP

【分析】取AQ的中点O,连接OB,OM,证明NAM力=90。，推出OM=，AO=2及，点加在以。为圆

2

心，我为半径的OO上，利用勾股定理求出08,可得结论.

【解答】解：如图，取4）的中点。，连接08,OM.

•.•四边形ABC。是矩形，

..Z^O=90°,AD=BC=242,

NBAP+/DAM=900,

ZADM=ZBAP,

..."DM+ZDAM=9()。，

/.ZAMD=9()0,

•,­AO=OD=>/2,

：.0M=-AD=42,

2

.•.点M在以O为圆心，血为半径的0O上,

•・•OH=IAO2=2J2,

=242-y/2=y/2,

.•.&W的最小值为友.

故答案为：逝.

【点评】本题考查矩形的性质，轨迹，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添

加常用铺助线，应用直角二角形性质解决问题.

15.（3分）如图，将长方形A4a＞分为4x6的网格，每个小正方形的边长为1,点E、r分别是边8、

居上的一点，且CE=A/，=2.若点尸位于长方形内部（不含边）的网格点上，且当AEQ为直角

三角形时，则尸E的长为_痴或3也或

［分析］根据网格利用勾股定理即可解决问题.

【解答】解：如图，当AEO为直角三角形时，则庄的长为:

E=PE=J?+32=而或P”EJ32+32=3应或尸E=J12+［二夜,

故答案为：加或3/或血.

【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解决本题的关键是准确利用网格.

三.解答题（共9小题，满分75分）

16.（5分）解方程：X2-4=0

【分析】将原方程转化为f=4,然后通过直接开平方求得x的值即可.

【解答】解：由/一4=0,得

x2=4.

则工=±2.

所以％=2,Xj=-2.

【点评】考查了直接开平方法解一元二次方程，形如f=〃或（心+〃?）2=p（p..0）的一元二次方程可采用直

接开平方的方法解一元二次方程.

17.（5分）计算（；尸一（1+及）°一2・8530。+配.

【分析】利用零指数鼎、负整数指数鼎法则，以及特殊角的三角函数值计算即可.

【解答】解：原式=2—1—2x且+

2

=1+6-

【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握实数的运算法则及二次根式的化简是解本题的关键.

18.（9分）如图，是的直径，C、。是0O上的两点，且OD//BC,OQ与AC交于点E,连接4）.

（1）求证：AE=CE；

（2）若4=60°,求NC4Z）的度数；

（3）若AC=4,8C=3,求小的长.

【分析】（1）由相似三角形的判定与性质，线段和差证明得/正=CE；

（2）由圆周角定理，平行线性质，等腰三角形的判定与性质，珀的和差求出NCA。的度数为30。；

（3）由勾股定理，相似三角形的性质，线段的和差，等量代换求出OE的长为1.

【解答】证明：如图所示：

D

(1)'：ODIIBC,

:.AAOE^MBC,

•_A_O___A_E___O_E_

,■~AB~~KC~^C"

又YAB是0。的直径，

..AB=2AO,

二空」，

AC2

又・,・AC=AE+EC,

:.AE=EC;

(2)・.・AB是OO的直径，

/.ZACD=90°,

又•.•8//8C,

:.ZB=ZACE,ZACD=ZAED,

又.•.N8=60。，

」.NAO石=60°,NAEO=90°,

又•.•ZEAO+ZAOE=90°，

.•."40=30°，

又•,・AO=ZX),

二.ZOAD=60°,

又•/ZOAD=ZOAE+ZCAD,

.•.ZC4r>=60o-30°=30o：

(3)在RtAACB中，由勾股定理得:

AB=ylAC2+BC2=>/32+42=5,

0A=-,

2

/.0D=-,

2

又BC=3,

BC2

/.0E=-,

2

乂♦：()»=()£+DE,

：.DE=---=\.

22

【点评】本题综合考查相似三角形的判定与性质，线段的和差，圆周角定理，角的和差，勾股定理等相关知

识，重点掌握相似三角形的判定与性质.

19.(9分)已知关于x的一元二次方程f-(攵+2)x+2A=0有实数根，若等腰三角形的一边长是5,另两边

长恰好足这个方程的两个根，求这个等腰二角形的周长.

【分析】通过解方程求得该三角形的另两边的长度，然后由三角形的三边关系和三角形的周长公式进行解

答.

【解答】解：由f-(A+2)x+2k=0,得：*一2)*—4)=0,

此方程的两根为为=2，x,=2.

若石工工，则玉=5,此等腰三角形的三边分别为5,5,2,周长为12.

若用=毛=2,等腰三角形的三边分别为2,2,5,不存在此三角形，

所以，这个等腰三角形的周长为12.

【点评】此题考查了因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系.此题难度适

中，注意掌握分类讨论思想的应用.

20.(9分)如图，AABO中，71(0,4),仅-3,0),绕点3顺时针旋转与8C重合，点C在x轴上，连接

4C,若反比例函数)，='与直线4c仅有一个公共点E.

x

(1)求直线AC和反比例函数>=‘的解析式；

x

(2)把AAC8沿直线4c翻折到MCD，AQ与反比例函数交于点尸，求AFC。的面枳.

y

【分析】(l)利用勾股定理求得AB=5,根据旋转的性质得出8c=5,即可求得OC=2,即C(2,0),利用

待定系数法即可求得直线4c的解析式为y--2刀+4,令_2x+4=&.整理得2储-4x+Z-0,与反比例函

X

数y='与直线AC仅有一个公共点以则△=(-4)2-4x2x〃?=0,解得"?=2,即可求得反比例函数的解

X

析式为)，=2；

X

⑵由题意可知8C=。=D4,即可得出四边形ABC。是菱形，从而求得点尸的坐标，得到丝=-!■,

AD10

由于SMCD=k48c=；BC・Q4=gx5x4=IO，即可得出AFCD的面积为9.

【解答】解：⑴•••A(0,4),8(-3,0),

.•.3=4,()B=3,

/.4B="F」=5,

•/BC=AB,

.\(9C=5-3=2,

C(2,0),

设直线AC的解析式为)，=依+4,

代入。(2,0)得，0=2攵+4,

解得左=一2,

二.直线4C为y=-2x+4,

令-2x+4整理得2Y_4x+k=0,

X

反比例函数y='与直线AC仅有一个公共点E,

x

.,.△=(),即(一4-一4x2x〃z=0,

解得"7=2,

二反比例函数的解析式为y=2：

x

(2)由题意可知人〃一〃C-CD-DA,

.•・四边形ABC。是菱形,

AD//BC,

.♦.尸点的纵坐标为4,

91

把F=4代入)，=一得，x=-,

x2

吗,4),

AF=~,

2

,/AD=AB=5,

AF

"AD"K)'

S“cD=S型叱=—BC(M=-x5x4=10»

【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，旋转的性质，

轴对称的性质，三角形的面积，证得四边形ABCQ是菱形是解题的关键.

21.(9分)2021年3月23日苏毋士运河发生阻塞时使用了一种如图1的浮式起重机，它是捞、救援的重

要设备，某数学研究小组为了计算如图2所示浮式起重机悬索4c的长，他们测量了如下数据，Z4=3O0,

N/14C=I()5。，人B=9()/〃，请你帮助他们求出悬索AC的长(结果保留根号).

【分析】过点8作8OJLAC于点。，由含30。甲的直角三角形的性质和锐角三角函数定义求出

BD=LAB=45，〃,AD=45V3(m),再证MCD为等腰直角三角形，得6=80=45/〃，即可求解.

2

【解答】解：过点4作于点。，如图2所示：

在RtAABD中，NADB=90°,NA=30°,人4=90〃?,

：.BD=-AR=45m,AD=S=456(m),ZAK力=600,

2tan300百

T

VZABC=1O5°,

...NCBD=ZABC-ZABD=105°-60。=45°，

\-BDLAC,

.•.MCQ为等腰直角三角形，

.•.CD=BD=45m,

：.AC=AD+CD=(45行+45)(〃?)，

答：悬索AC的长为(456+45)〃?.

【点评】本题考查了解直角三角形的应用、含30。甲的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以

及锐角三角函数定义等知识；求出8、AO的长是解题的关键.

22.（9分）某衬衣店将进价为3（）元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出60（）件，调查表明：这种衬

衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件.

（1）当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润；

（2）写出月销售利润），（单位：元）与售价x（单位：元/件）之间的函数解析式；

（3）衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10000元，销售价应定为多少？

（4）当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润.（提示：将（2）中的解析式配方成

y=a（x-力产+）的形式）

【分析】（1）根据每上涨I元，其销售量将减少10件，可求出销售价定为45元时的销售量，再用每件利润

乘以销售后即得利润；

（2）利用已知表示出每件的利润以及销量进而表示出总利润即可；

（3）当），=10000时.，代人求出即可；

（4）利用配方法求出二次函数最值即可得出答案.

【解答】解：（1）当销售价定为45元时,月销售量为600-（45-40）x10=550（件）,

当销售价定为45元时，销售利润为(45-30)x550=8250(元)；

(2)由题意可得：

y=(x-30)(600-10(x-40)]

=-10.r2+1300^-30000：

(3)当y=10000时，

10000=-10x2+1300x-30000,

解得：=5(),匕=8(),

当工=80时，600-10(80-40)=2i30<300(不合题意舍去)，

故销售价应定为:50元;

(4)y=-10x2+1300x-30000

=-10(x-65)2+12250,

•.•一1()<0,

「.x=65时，y最大值为12250,

当销售价定为65元时会获得最大利润，最大利润是12250元.

【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值，得出y与x的函数关系是解题关键.

23.(10分)“类二次函数”是在二次函数的一般式中把自变量x加上一个绝对值所形成的函数.小明对一个

类二次函数)，二皿2十万|用的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请帮他补充完整.

(1)自变量x的取值范围是全体实数，x与)，的几组对应值列表如下:

X・..-4-3-2-101234•・・

y•••0-3-4-30-3-4-30•••

其中，a=1b=；

(2)根据表中数据，请画出该函数的图象；

(3)观察函数图象，并写出该函数的两条性质;

(4)探究与应用：

①方程^,+川划一2=0有—实数根;

②若有关于x的不等式这2+力|出>文，则x的取值范围是

yjk

【分析】（i）通过待定系数法求解.

（2）通过函数解析式及表格内点坐标作图.

（3）由图象对称性及图象最低点可得函数图象对■称轴及函数最小值.

（4）①用△判断实数根的个数；

②用求出直线），=x与函数图象交点，结合图象求解.

【解答】解：⑴将（T。），。,-3）代入尸八小闱

解得

b=-4

故答案为：1,-4.

（2）如图,

（3）由图象可得函数图象对