三角函数与解三角形跨模块综合卷-2026届高三数学二轮复习

专题2.6三角函数与解三角形跨模块综合卷-2026届高三数学二轮复习

一、选择题

1.（2024高三上•桃源月考）已知向量d=（cose,sin。），方=（2,-1），若万1B，则垓嘿当当的值为

ol11C7IOCUoCz

（）

A-IB-IC-tD.|

2.（2019高三上•广东期末）已知函数/（x）=stnx+V3C0SX,x£R,先将/（x）图像上所有点的

横坐标缩短到原来的!（纵坐标不变），再将得到的图像上所有点向右平移0（。＞0）个单位长

度，得到的图像关于y轴对称，则0的最小值为（）

4

3.（2025・湖州模拟）在△ABC中，角48,C所对的边分别为Q也c.已知45。成等差数列，”75b

成等比数列，贝kos4=（）

A.1B.1C.在D.在

4232

4.（2022•马鞍山模拟）法国数学家傅里叶（JeanBaptisteJosephFourier,1768—1830）证明了所有的

乐声数学表达式是一些简单的正弦周期函数y=4sin3%（4,外工0）之和，若某一乐声的数学表达式

为f（x）=|sinx+isin3x,则关于函数/。）有下列四个结论：

①f（x）的一个周期为2兀；②f（x）的最小值为一孝③/（%）图像的一个对称中心为（10）；

④/（%）在区间（方竽）内为增函数.

其中所有正确结论的编号为（）

A.①③B.①②C.②③D.①②④

5.（2023高三下•潮南开学考）已知角A为△ABC中一个内角，如果适当排列sinA,cosA,tanA的

顺序，可使它们成为一个等比数列，那么角A的大小属于区间（）

A.（0＜）B.弓,刍C.殴，为D.第，7T）

6.（2025•枣庄模拟）已知函数f（x）=si/iax—y/3cosa）x+＞0）在区间皆上有且仅有3个零

点，则实数3的取值范围是（）

、厚聋）B.卜,豹C.卜,第D.卜,竽）

7.（2021高三上•深圳月考）将函数/（X）=sin（2x4-的图象向右平移m（m>0）个单位长度,

再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，若对任意的

xwR均有g（x）>g（”成立，则m的最小值为（）

6,2B-3C-4D-6

8.“不以规矩，不能成方圆''出自《孟子・离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直

尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的T-具.敦煌壁画就有伏羲女婿手执规矩的记载（如

图（1））.今有一块圆形木板，以“矩”量之，如图（2）.若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木

板，且这块四边形木板的一个内角a满足cosa=V则这块四边形木板周长的最大值为（）

图(I)图(2)

A.20cmB.20\/2cmC.20V3cmD.30cm

二、多项选择题

2

9.(2023高三下•杭州模拟)已知向量记=(sin%,-1),n=(cosxfcos%),函数/(%)=三•五,则

()

A./（©在（0,五）上有4个零点

B./（%）在（0,，单调递增

C.居+幻+居一幻=_1

D.直线x-y-l=0是曲线y=/（%）的一条切线

10.（2024高三上•四川模拟）△ABC中，角A,B,C的对边分别为Q,b,c,下列结论中正确的是

（）

A.Q2+M+。2V2（ab+be+cd）

B・击，备，据不能构成三角形

C.若Q，十/=<?，则△ABC为锐角三角形

D.若a,b,c均为有理数，则C0SG4-B）为有理数

11.（2021高三上•丹东期末）函数/'（%）=sin（3X-V）（3>0）,已知/（%）在［0,2初有且仅有5个零

点，下面结论正确的是（）

A.3的取值范围是脩,第

B.f（x）在（0，勺单调递增

C./'（%）在（0,2兀）有且仅有3个极大值点

D./'CO在（0,2乃）有且仅有2个极小值点

三、填空题

12.（2023高三上•烟台期末）己知向量方=（sin。，cos。），3=（3,1）,若五|花，则siM®+sin20的值

为.

13.（2024高三上•广东月考）己知a,/?€（0或），且sin（2a+/?）+2sin2acos/?=3sin/?,则cos/7的最

小值为_________

14.（2021高三上•月考）在中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若力一C=?,a,

乙

b,c成等差数列，则cosB的值为.

四、解答题

15.（2024高三上•东台月考）已知向量沅=（V5sin3%,sin3X）,n=（coscox,sincox）,co>0,函数

fW=inn,且/G）的最小正周期为

（1）若x€［O,修］，求/'（%）的值域；

（2）将/（%）的图象先向下平移④个单位长度，再向左平移m（m>0）个单位长度，最后将横坐

标变为原来的两倍，所得函数图象与函数y=cosx的图象重合，求实数m的最小值.

16.（2026高三上•广东期末）已知角A,6,C是△A8C的内角，电仇c•分别是其对边长，向量记=

（sinacos令，记=（2V5cosa-2cos令，mLn.

（1）求角4的大小；

（2））若Q=2,COSB=£，求b的长和△ABC的面积.

17.（2024高三上•深圳月考）海水受日月引力会产生潮汐.以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退

潮时水面降低.现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分）

时刻：X（时）03.16.29.312.415.518.621.724

水深：y（米）5.07.45.02.65.07.45.()2.64.0

（1）根据以上数据，可以用函数丫二加①（3+0）+乂3>0,|0|<勺来近似描述这一天内港口

水深与时间的关系，求出这个函数的解析式；

（2）某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米.安全条例规定，在本港=1进港和在

港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早

可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长.

18.（2024高三上•乌鲁木齐月考）已知函数f（x）=2^sin2xTcos2x+1.

（1）求f（x）在［0,用上的单调递减区间；

（2）若f（a）=5,一卷器,求sin2a的值.

19.（2024高三上•广州月考）记A4BC是内角4,B,C的对边分别为a,b,c.已知必=点。在边

4C上，BDsinz.ABC=asinC.

（1）证明：BD=b；

（2）若4。=2DC,求cos乙ABC.

答案解析部分

1.【答案】B

【解析】【解答】解：由题设可知，2cos夕一sin。=0=tan。=2,

gj-pisinU+cosJ_tan0+l_2+1_3

切“'sin0+3cos0=tan0+3=2+3=5-

故选：B.

【分析】由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，再结合同角三角函数基本关系

式，从而得出sinU+cos6的值.

sin8+3cos6

2.【答案】C

【解析】【解答】因/(x)=sinx+V3cosx=2sin(x+,将其图像上的点的横坐标缩短到原来的

1后所得函数的解析式为g。)=2sin(3x+刍，y=g⑺图像在y轴左侧的第一条对称轴x=

-需，故至少向右平移需个单位就可以得到关于y轴对称的图像，

故答案为：C.

【分析】根据辅助角公式，写出f(x)的表达式，结合图象变换，即可求出相应的最小值.

3.【答案】D

【解•析】【解答】解：在△力BC中，因为48,C成等差数列，所以28=4+C,

又因为4+8+C=7T,所以8=与，

又因为Q,c,专b成等比数列，设其公比为q,所以c=qa,8=呼电，

由正弦定理可得益7=篇=何¥叫，

整理可得sinA=1，cosA=专伶-.),

乂因为sin??!+cos?4=1,所以与+4(?-当)=1»

整理可得(q-2)(3q3+5Q24-4+(Q-2)2)=0,解得q=2,

贝iJsinA=发即4=莹,故cosA=孕

故答案为：D.

【分析】由成等差数列可得再由Q,c,专b成等比数列，设公比为q,可得c=qa,b=

邙包，由正弦定理可得sin力=翥，cos/l=盍C),结合三角函数的平方关系求得q=2,代入

求得角A,即可得cosA的值.

4.【答案】D

【蟀析】【解答】因为f(x+2TT)=sin(x4-2TT)+彳sm3(x+2兀)=太sinx+彳sin3x=/(%),

所以27r是/(%)的一个周期，①正确；

/(r)=-^sinx+-^sin3x=-^sinx+4(sin2xcosx+cos2xsinx')=-^sinx+彳[2sinxcos2x+(1—

313

2sin2x)sinx]=-^sinx+4[2sinx(l—sin1%)+sinx—2sin3x]=-^sinx—sin3x>

令£=sinx6[—1/1]»PPJ/i(t)=2—’3，h(£)=,—3/,

令h'(t)＞0，解得一苧＜苧令九(t)〈0,解得一1wr〈一挈或乎vtwi，

所以h(t)在区间[-1,-*)和区间(字1]内单调递减，

在区间(一事绐内单调递增,

当"一争寸，h(t)取得极小值九(一易=一孝，又九⑴=|一1=}

故MDmin=九(-孝)=一冬②正确；

由J—x)=-%)+^sin[3(^-—x)]=—%)+SITL(2.H—3x)=^sin(^--

13i

x)--^sin3x0-(^sinx+^sin3x)»

即/浮一乃工一/⑴，所以弓，0)不是f(x)图像的一个对称中心，③错误;

JJ

当工€[0,扪时，由//(£)＞0得owSinx〈冬解得04％4或竽＜工工兀，

由h(t)V0得苧＜sinx41，解之得与VxV竽，

综合复合函数的单调性，所以/。)在区间[0,亨)，(先当)札单调递增，

在区间(£外(第在上单调递减,④正确.

故答案为：D.

【分析】对于①，由周期的定义易判断；

对于②，化简得到/'(X)=-sin?》,通过换元亡=sinx€[-1,1],得到三次函数九«)=

通过求导判断函数单调性即可判断；

乙

对于叵)，由于一/(号—%)=4§讥(4—x)+^si7i[3(-2—x)]H-(不sinx+彳sin3x),即f(7—%)工

-/(x),即可判断:

对于④，由③结合h⑴的单调性即可判断。

5.【答案】A

【解析】【解答】角A为△ABC中一个内角，0</〈人

若sinA是等比中项,即siM'=cos4•tam4=sinA,得sin4=0或sin4=1,不符合要求;

若cosA是等比中项，即cos2/l=sinA-tan/1=cosA-tan2/l,cosA(cos4-tan2i4)=0,

cosA=tan2/l>0,得0<tanA<1,0<^4<?；

若tanA是等比中项，即taMl=sinA♦cos/=cos24♦tarvl,tanA(tanA-cos2/l)=0»

TT

tan/l=cos2/46(0,1)»则0V4V.,

综上有AE(0,£

故答案为：A

【分析】由给定条件分情况建立关系，再结合同角公式及函数值的范围即可作答.

6.【答案】D

【解析】【解答】解：对f(x)=sintox-V3coscox+V5进行亿简,

得出/■(幻=sina)x-75cos3%+V3=2sin(3%-+V5

令f(x)=0,贝Ij2sin(3x—刍+百=0,

则sin(s:-j)=一苧.

根据正弦函数的性质，

所以3K—1=2ku+cox-5=2kli+kWZ,

解得x_啊瑾或X=弛业/eZ,

因为xG[o或]且3>0,

5TT一2

当k=0时，入_工一包，x=—7r;

打_3_332O)

当k=l时，X_2江+竽_孚_11%X2"+2兀=也,

函数y=sin(o)x-刍和y=一学大致图象如图，

乙

y=sin(ft?x-v)

兀\5兀旦2?2兀/---.U2F

因为函数/。)在区间［0,刍上有且仅有3个零点,

/

13173T>7T

_2一

_2

4三

则需满足37-T<

kG-2

解不等式组得到可得44sV等，

所以，实数。的取值范围是［4,四).

故答案为：D.

【分析】先利用辅助角公式将函数f。)化简为4sin3x+0)+々的形式，再根据》的取值范围求出

口工-名的取值范围，再结合正弦型函数的图象与性质，从而得出函数f。)在给定区间上有且仅有3个

零点时3的取值范围.

7.【答案】A

【解析】【解答】将函数/(x)=sin(2x+^)的图象向右平移?n(m>0)个位长度，得到函数y二

sin(2x-2m+^)的图象，

再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数g(x)的图象，

所以9(%)=sin(x-2m4-5).

由对任意的xER均有g(x)>g(^)成立，所以g(x)在"看时取得最小值，

所以有着一2m+3=2而一.(kEZ)=m=—而+*(々E2),而m>0,

所以m的最小值为多o

故答案为：A.

【分析】利用已知条件结合正弦型函数的图象变换，从而得出函数g。)的图象，进而求出函数

g(x)的解析式，由对任意的均有g(x)>g(^)成立，所以g(x)在“看时取得最小值，

进而求出m=—k7r+?(kWZ),再利用m的取值范围，进而求出实数m的最小值。

8.【答案】D

【解析】【解答】由题图（2）得，圆形木板的直径为Ji。？+52=5伤（即>

设截得的四边形木板为ABCO,设乙4=a,AB=c,BD=a,AD=b,BC=n,CD=m»如下图

所不.

4

2-

由cosa=且0VaVTT可得sina=V1—cosa5

在A48。中，由正弦定理得NV=5四，解得a=4

在A4BD中，由余弦定理，得a?=必+c?—2bccosa,

22

所以‘80=b2+c2-=(b+c)2-^-bc>(b4-c)2-x，

即3+c)2W400，可得0<b+cW20,当且仅当b=c=10时等号成立.

在ABC。中，乙BCD=n-a,

由余弦定理可得80=a2=m2^n2-2mncos(n—a)=?nz4-n2+几

J

22

44+

--X+4n

=+n)2555

即（m+nfwiOO，即0Vm+九W10,当且仅当m=n=5时等号成立,

因此，这块四边形木板周长的最大值为30cm.

故答案为：D.

【分析】由题图（2）得，圆形木板的直径为5而，设截得的四边形木板为力BCD,设乙4=a,

AB=c>BD=a,AD=b,BC=n,CD=m»在△49。中，由正弦定理得a=4而，在△ABD

中，由余弦定理，得80=b2+c2—9c=（b+C）2—^bc，结合基本不等式即可求得最值.

9.【答案】B,C,D

【解析】【解答】由题知/（%）=沆.云=sinxcosx-cos2x=lsin2x—^cos2x-i=^S-sin（2x—

w乙乙乙

对于A,当工€(0,71)时,2x—彳€(—4，N")'

令f(x)=0,则SE(2X—£=多则2%_今=今或手即％号或“当

故f(x)在(0,乃)上有2个零点，A不符合题意；

对于B,当x£(0,勺时，2%-G(―^»勺，

又丫=血不在区间48」单调递增，故/⑺在(0,今上单调递增，B符合题意；

对于C,/(^+x)+/(^-x)=sin2xsin2x-^=_1,C符合题意;

对于D,/(%)=y/2cos(2x-守)，则f(0)=V2cos(0-^)=1,

又f(0)二孝s讥(0—9一4=—1，

故在(0,-1)处的切线方程为y+1=%-0,即x-y-l=0,D符合题意.

故答案为：BCD.

【分析】利用向量数量积的运算性质、倍角公式、和差公式化简可得/(%)=¥$讥(2%根

据正弦函数的零点可判断A：根据正弦函数的单调性可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；根

据导数的几何意义可判断D.

10.【答案】A,C,D

【解析】【解答】解：对于A,由于Q-b<c,b-cVa,Q-c<匕，

平方可得次+房—2bc<c2,b2+c2—2bc<a2,a2+c2—2ac<b2»

相加化简可得水+b2+c2<2(ab+he+ca)»故A正确；

对于B,取Q=b=c,则其，工,告能构成三角形，故B错误；

l-ru1+DJ•十C

对于C,由〃+/=c3可知C>Q,C>b,故。为最大的内角，

则口2+力2__a2c+/c-c3_a2c+/c--3一/_02("一)十匕2(一一匕)>0,

故C为锐角，可得△48C为锐角三角形，故C正确；

对于D,若Q,b,c均为有理数，则。2,匕2比2好均为有理数，

则cosB="十次-"为有理数,

2ac

不妨设4>8,延长84到0,使得乙0=/8,

过。作CE14B,故40CA=44—乙B,

由于AD=2BE-AB=2BC-cosB—AB—2acosB—c,

故.4。为有理数，所以4。,4。=力工。=。均为有理数，

222

因此cos(4一B)=cosz.DCA=缪为有理数.

故答案为：ACD.

【分析】根据三角形三边的关系，由平方法和不等式的基本性质，从而判断出选项A；利用a=b=

c进而三角形的判断方法，则可判断选项B；利用余弦定理和不等式的基本性质以及三角形中边角关

系，再根据角C是三角形中最大内角，从而判断出三角形的形状，则判断出选项C；利用余弦定理

和有理数的定义，结合图形关系，则判断出选项D,进而找出结论正确的选项.

11.【答案】A,B.D

【解析】【解答】令5-绊而，kez,解得％=竽，k€Z，

因为f(x)在［0,2网有且仅有5个零点，

解得学工3<耕A符合题意;

因为％6(0,/则5一盘(一看，笫，函数y=sinx在(后，为上递增，B符合题意;

f(x)=sm(a)x-卷)3>0)的大致图象如图所示:

因为/•(%)在［0,28有且仅有5个零点,

所以27T所对应的位置应该在x轴的第5和第6个零点之间,

所以在这段范围内/(x)化(0,20有2或3个极大值点，有且仅有2个极小值点，C不符合题意D符

合题意；

故答案为：ABD

【分析】令的一看="，kez,解得％=竺1,kWZ，再利用已知条件函数/(x)在［0,2和有且

仅有5个零点结合零点存在性定理，得出3的取值范围；再利用(0，今)，则3"一冬6(-3，

瑞)，再利用正弦型函数的图象判断出正弦型函数/'(%)在(0，》单调递增；再利用正弦型函数的单

调性，从而求出正弦型函数的极值点，进而求出正弦型函数的极值点个数，从而找出结论正确的选

项。

12.【答案】|

【解析】【解答】已知向量行=(sin。，cos。)，6=(3,1),若MIIb，则有sin。=3cos。,

sin2e+2sin6cose9cos2。+6cos2g_15_3

*'•sin20+sin20=

sin20+cos209cos2j+cos2。102

故答案为:|

【分析】根据已知条件，结合向量平行的性质，以及三角函数的恒等变换，即可求解出sin204-

sin28的值.

13.【答案】2/34

【解析】【解答】解:sin(2a+夕)+2sin2acos/?=3sin/?,则3sin2acos/?+cos2asin0=3sin/7,

同除以cos/?可得3sin2a+cos2atan/?=3tan/?,

__3sin2a_6sinacosa_3tana_3

则tann"=3^2^=4s«a+2cos2a=2tan2a+l=2tana+儡'

因为aC((),q),所以tanaW(0,、③,则2tana+N2或，

当且仅当tana=孝时等号成立，则tan/?4合=誓

又因为/?6(05)，所以当ta邛取得最大值时，cos/?取得最小值，且最小值为察.

故答案为：2734.

【分析】先利用正弦的和差公式、二倍角公式以及同角三角函数基本关系化简原式得到tan/?=

3

*n31，再利用基本不等式和三角函数的性质求最值即可.

2tana+tana

14.【答案】5

4

【解析】【解答】在△4BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A-C=^,

77

A=n-B—C=n-B—(A-,

・•.4=芋一号

42

1.'a,b,c成等差数列,

/•2b=a+c,

TT

即2sin8=sinA+sinC=sin/l+sin(A—引

=sinA—cosA=&sin(A—=V2sin(^—j)=&cos?,

...BBrrB

•.4sincos=V2cos，

..B&

,，sin2=T'

cosB=1—2sin2=1—2x(辛产=,。

故答案为：!o

【分析】利用已知条件结合三角形内角和为180度的性质，从而得出力=竽-9再利用a，b,c成

等差数列结合等差中项公式，得出2b=Q+c,再结合正弦定理和诱导公式以及二倍用的余弦公

式，从而求出角B的余弦值。

15•【答案】(1)解：f[x)=m-n=V3sin6)xcoso)x+sin2a)x=^ysin2(ox—icos2tox+i

乙乙乙

=sin(2a)x-^)+^因为f⑺最小正周期为凡所以2a「罕「2,解得3=1,所以人工)=sin(2”—

5因为x€[0,爵所以2%-"H图，贝Usin(2x昌,1],所以/(幻二sin(2%一看)+

|e[o,|],所以当％w[o,用时,/(%)的值域为[0,券

(2)解.：向下平移:个单位长度得向左平移m(m>0)个单位长度得y=

sin(2(%+m)—5)=sin(2x+2m—5)，横坐标变为原来的2倍得y=sin(^x+2m-5).因为y=

cosx=sin(x+分所以要使得y=sin(x+2m—着)与、=cosx的图象重合，贝ij2m—3=]+

2kn,k£Z,解得m*+E,keZ,当々=0时，实数m取得最小值至

【解析】【分析】围绕向量数量枳、三角恒等变换以及三角函数的图象变换展开.(1)需先通过向量运算

和三角公式化简函数，再结合周期求出3,最后用整体法确定值域；

⑵要依据三角函数图象的平移、伸缩变换规则，逐步推导变换后的函数，再结合三角函数的等价关

系求解m的最小值.

2\/3.1.1.3Q1

(।)fM=m-n=V3sino>xcoso)x+sincox=-^-sino2o)x-2cos2ocox4-=sin\2cox-6)+2f

因为/•(%)最小正周期为TT，所以23=竿=2,解得3=1，

所以/(x)=sin(2x一着)+/，

因为xw[0居卜所以2》一看£卜看，羽,

RlJsin(2x-f)€[-2>4

所以/(x)=sin(2x—看)+*W0,|j»

3

所以当％c[o,驾]时，/(%)的值或为[o,

2-

(2)向下平移扑单位长度得丫=sin(2%—前

向左平移m(m>0)个单位长度得y=sin(2(%+m)—=sin(2x+2m-看),

横坐标变为原来的2倍得y=sin(x+2m-1).

因为y=cosx=sin(%+%)，

所以要使得y=sin(x+2m-看)与丫=cosx的图象重合，

则2m—z=5+kEZ解得m=5+kn,kE.Z

OL2/CTT,5

当k=0时，实数m取得最小值多

16.【答案】(1)解：由沅1元，

可得:mn=275cos,sin及一2cos,cos,=V3sin?l-cos/l-1=0,

则遮sin4—cosA=1,所以sin(4—1)=4,

由OvAvm可得_髀4_标浮

则.4一a=卷所以A=不

oo3

(2)解：在△4"中，4=以a=2,cosB=1,

OO

则sinB-V1—cos2fi=^

由正弦定理知号=&,

sinAsinZ?

得竺呼=号1=皑，

sinzl439

T

1

贝H

Jn4Bc-absinf—ubsin—8)=；x2x—x(.2n027r

2(sin《-cos8-cosq-sin8)

8v6ZV31,12vz2\24、泛+32点

=_x^_x_+_x__J=___.

【解析】【分析】(1)由向量垂直的数量积表示，从而可得7^由/1一85力一1=0，再利用辅助角公

式和三角形中角A的取值范围，从而得出角力的值.

(2)利用止弦定理求出b的值，再结合两角差的止弦公式和三角形的面积公式求解.

(1)由布J•元可得：

m-n=275cos知n母一2cos,cos[=VSsinA-cosA-1=0,

即QsinA-cos/l=1,所以sin(4—=2，

由0V4<7T可得一I<4一JV.：

ooo

因此可得力—[=%

oo

所以4=提

(2)在^ABC中，A=^,a=2,cosB=sinB=V1-cos2B=

由正弦定理知益7=岛,可得力=需=等=竽

1,1L27r187627r271

S^ABC=Q-aosinC=«-absinB=X2XXsincosB-cossinF

乙乙~3~2-9-

8s/6/乃1.12>/2\24/2+32/3

=_X(_X_+_X__J=___.

17.【答案】(1)解：由表格可知y的最大值为7.4,最小值为2.6,

4=2.4/=

则用红=等空5,

由表格可知T=12.4-0=12.4,

所以"A色有，

所以y=2.4sin（|yx+@）+5，

将点（3.1,74）代入可得:7.4=2.4sin（|yx3.1+@）+5，

所以符x3.1+w=§+2kmkwZ,解得g=04-2/cir,k6Z,

因为|0|<所以3=0,

所以y=2.4sin^j%4-5,0<x<24：

（2）解.：货船需要的安全水深为4.2+2=6.2米，所以进港条件为y26.2,

令2.4sin1^x+5N6.2，BPsin^x>

OX。工乙

所以孩+2knM+2ki\,/c6Z»

62k--31,62k.„

解得而十-r*x、T+-r，&ez，

因为0Wx<24,所以k=0时，<X<

k=1时，-30--X-30-

因为瑞（时•）=1时2分，养（时）=5时10分.

警（时）=13时26分，（时）=17时34分.

Ov

因此，货船可以在1时2分进港，早晨5时10分出港；或在下午13时26分进港，下午17时

34分出港.

则该货船最早进港时间为I时2分，停靠总时长为8小时16分钟.

【解析】【分析】Q）由表数据，根据公式A=为吗”血,2m迫，求得周期丁=12.4-0=

12.4,从而求3,代入最高点（3,1,7.4）求9的值即可；

（2）由题意可知进港条件为yN6.2,解不等式即可.

（1）由表格可知y的最大值为7.4,最小值为2.6,

rrpj.74—2.6„..7.4+2.6_

r）\以4=——2——=24,b=——Q——=5,

由表格可知T=12.4-0=12.4,

2n_2n_5n

所以3=T=TZ4=ST)

所以y=2.4sin(^y-x+(/?)+5»

将点（3.1,74）代入可得：7.4=2.4sin（|yX3.1+卬）+5,

所以磨x3.1+0=为+2kgk€Z,

。JL乙

解得0=0+2/CTT,/C6Z,

因为131V*，所以@=0,

所以y=2.4sin^-j-x+5,0<x<24.

OJL

（2）货船需要的安全水深为4.2+2=6.2米，

所以进港条件为y>6.2.

令2.4sin|^x+5>6.2，

Wsin|y%>I，

所以5+2/CTT<|yx<^+2E,k€Z,

例徨3162k^3162k.„

解得宽+于4x4丁+丁，AWZ,

因为0WxV24,

所以k=0时，<x<

,4031,527

因为髭（时）=1时2分，每（时）=5时10分.

器（时）=13时26分,（时）=17时34分.

因此，货船可以在1时2分进港，早晨5时10分出港：或在下午13时26分进港，下午17时

34分出港.

则该货船最早进港时间为1时2分，停靠总时长为8小时16分钟.

18.【答案】解：（1）取）=争亩2x—|cos2x+l=sin（2x—卷）+1,由*+2k7&x—患竽+21<兀，

kez,解得等+k点x要+k兀，k£Z,又因为x£[0,7t],所以函数f（x）在[0,句上的单调递减区间为

JO

生部

（2）由（1）知f（x）=sin（2x-5）+1,

又因为f(a)=.,所以sinQa

因为代隽用，所以25泻傍券,

因为sin（2a-^）=—1<0,

所以cos（2a—^）=—J1—sin2（2a—=一去

所以sin2a=sin［（2a—1）+^］=sin（2a—2cos看+cos（2a—5）峙=—|x空+（一

【解析】【分析】（1）根据两角差的正弦公式sin（a-/?）=sinacos^-cosasin/?化简三角函数解析式

f（x）,再根据正弦函数的单调性建立不等式*+2k7E2x一看厚+2k兀，k£Z,解之可得答案.

（2）由⑴求得sin^a-看）=一。，再由角的范围求得cos伽一看），观察角之间的关系凑角sin

2a=sin［（2a-^）+^］,再运用正弦的和角公式可得答案.

19.【答案】（1）证明：设△48。的外接圆半径为R,由正弦定理，得sin乙4BC=4,sinC=%，因

所以如余=°喘,

为BDS'MABC—asinC»即8。-b—ac又因为M=ac，所以60-6

（2）解：［方法一］【最优解】：两次应用余弦定理：因为A0=20C,如图，在△A8C中，cosC=

*，①

在△BCD中，cosC二」+1）-庐②由①②得。2+d一好=312+《）2一62］,整理得2a2一

2若

y-b2+c2=0.又因为户=。5所以6a2—iiac+3c2=0,解得。=钝。=等当。=肄2=

3232

ac=3■时，。+8二卷+衅1<c（舍去）.当。=当,川=QC=等_时，COSZTIBC=（2）---2_=

JJ3''2•芋式

77

所以cos乙48C=诵.

［方法二］:等面积法和三角形相似：如图，已知AO=2OC,贝瓦加=枭M叱即品

2a21

ijbsinZ.ADB=xacxsinz.4SC»

A

W=QC，即sin〃DB=sin^ABC,故有24DB=/-ABC,从而〃BD=zC.由必=ac,即2=

ab

即卷=箭，即△A。。AB。，故器=器，即亘=£，又//=QC，所以c=《a,贝Ucos乙48C=

C0

c2+a2-b2=7

~~2ac—-12'

［方法三］:正弦定理、余弦定理相结合：由（1）知8。=b=AC,再由=2DC得AD=/CO=