2026年中考数学二次根式 过关检测

专题04二次根式过关检测

（考试时间：90分钟，试卷满分：100分）

一.选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）。

1.下列根式中，最简二次根式是（）

A.y/25aB.Va2+b2C.电D.V0.5

【答案】B

【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键：最简二次根

式应满足两个条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数

或因式.

按照最简二次根式的定义逐项分析判断即可.

【详解】解：A.遮茄，被开方数25。含有能开得尽方的因数25,不是最简二次根式，故选项A不符合

题意；

B.历不笆，被开方数的字母因式是整式，且被开方数不含能开得尽方的因式，是最简二次根式，故

选项B符合题意；

c.J1,被开方数的因数;不是整数，不是最简二次根式，故选项C不符合题意；

D.V05,被开方数的因数0.5不是整数，不是最简二次根式，故选项D不符合题意；

故选:B.

2.下列计算正确的是（）

A.V2+V3=V5B.4V3-3V3=1C.V2xV3=V6D.xV14=7

【答案】D

【分析】本题主要考查二次根式的加法，减法，乘法运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法

则.根据二次根式的运算法则逐一计算即可.

【详解】解：A.&与g不是同类二次根式，不能合并，选项错误，不符合题意；

B.4V3-3V3=V3,选项错误，不符合题意；

C.V2xV3=V6,选项错误，不符合题意；

D.x-/14=7,选项正确，符合题意；

故选：D.

3.已知际是整数，则满足条件的最小正整数"为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简，热练掌握二次根式的性质是解题的关键.

先变形得到M石=》22・3・n,根据题意九必须是3的正奇数次方，所以满足条件的最小正整数〃为3.

【详解】解：v=V4-3-n=V22-3-n,而是整数，

.••最小正整数〃为3,

故选：B.

4.若2<aV3,则一屋―4a+4-J(Q-3产等于()

A.2a—5B.1—2aC.5—2aD.2a—1

【答案】A

【分析】本题考杳了利用二次根式的性质进行化简，由题意可得Q-2>0,。一3<0,再利用二次根

式的性质化简即可得解.

【详解】解：02<a<3,

>.Q-2>0，Q—3<0>

iVa2-4a+4—y/(a—3)2=y/(a—2)2—yj(a—3)2=a-2—(3—a)=a-2-3+a=2a-5,

故选：A.

5.估计(2V5+a)xV5的值应在()

A.7与8之间B.8与9之间C.9与10之间D.10与11之间

【答案】B

【分析】本题主要考查二次根式的运算及无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算及无理数的估算是

解题的关键；由题意可得出(275+口)乂6=6+逐，然后问题可求解.

【详解】解：由题意得：(2g+&)xg=6+VS,

02<V6<3,

E8<6+V6<9；

故选B.

6.等腰三角形的底角是30。，腰长为26，它的周长为()

A.4百+6B.2V3+4C.475+4D.273+6

【答案】A

【分析】过顶点4作4E1BC于点E,由垂线的性质可得乙4£8=UEC=90。,解线合一可得BE=

CE=|B<?,即3C=25E,由含30度角的直角三角形的性质可得=\AB=百，由勾股定理可得BE=

y/AB2-AE2=3,进而可得8c=2B£=6,根据△A8C的周长=A8+8C+AC即可求出答案.

【详解】解：如图，过顶点A作4E1BC于点E,

ALAEB=乙AEC=90°,

AB=AC,AE±BC,

ABE=CE=-BC,即：BC=2BE,

2

•••乙B=30°,

•••AE=^AB=|x2V3=>/3,

22

:.BE=>/AB-AE=J(2⑹2_(⑹2=3

:.BC=2BE=2x3=6.

力8c的周长=48+8C+AC=2百+6+2百=4百+6,

故选：A.

【点睛】本题主要考查了垂线的性质，三线合一，等式的性质2,含30度角的直角三角形，勾股定理,

二次根式的加减运算，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的

关键.

7.如图，将面积分别为20和12的正方形力BCD和正方形CE”按如图方式放置，延长力D,Er交于点H,则

图中阴影部分的面积为()

A.24B.“15-12C.16>/15-48D.60

【答案】B

【分析】本题考查的是二次根式的应用，二次根式的乘法运算，先求解CD=720=25/5,CG=>/12=

2百，可得DG=2花-26，再利用面积公式计算即可.

【详解】解：回正方形力BCD和正方形CE/G的面积分别为20和12；

0CD=V20=2V5,CG=GF=V12=2>/3,

0DG=2V5-2V3,

国阴影部分的面积为：26x[2>/5-2旧）=4同一12.

故选：B

8.如图，在中，FC=V3+1,48=45。，ZC=30°,则△/18C的面积为（）

AA.-\々--+1CB.百—I4-11Cc.-V-3--1-cD.V/3X+I1

222

【答案】A

【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，含30。角直角三角形的性质，勾股定理等知识.过点A作

AD1BC,垂足为。.在Rtd/IBD中和RtaACD中，分别用4。表示出BD、CD,根据8GI勺长求出;4D,

再求三角形的面积.

【详解】解：如图，过点人作｛0_L8C,垂足为/X

在中，48=45。，

^BAD=45°

PBD=AD.

在RtzMCO中，ZC=30°,

(L4c=240,

ECD=y/AC2-AD2=yJ(2AD)2-AD2=依AD,

◎BD+CD=BC,

04D+V3i4D=V34-l,

即力。=1,

团SMBC=3x(b+1)x1=等.

故选：A.

9.已知一列数据为0,鱼，2,显,2a,JIU,2V3,...,若第10个数据用字母。表示，则下列各数中,

与(3+Q)的积为有理数的是()

A.2a一1B.2V5+2C.V5-1D.V2-1

【答案】D

【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的性质等知识点.由题干中数据总结规律求得Q=3V2,

再根据有理化因式计算即可.

【详解】解：第1个数据为0=VI可，

第2个数据为VI=V2V1,

第3个数据为2=V4=V23<2,

第4个数据为乃=V2V3,

则第10个数据为Q=V2V9=3V2,

0(3+a)为(3+3x^2)=3(1+V2),

回与(3+a)的积为有理数的是/-1，

故选：D.

10.已知71=Jl+P+3=|=《Tz=J1+*+卜=册=%73=J1+H+A尼7…，

T〃=J1+小岛其中"为正整数•设％=71+72+/3+-+〃，则52024值是()

A.2024貌B.2025黑C.2024募D.2025募

【答案】A

【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及实数数字类的规律探索；探索规律，准确计算是解题关

键.根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案.

【详解】解：由题意，可得

'$2024=7\+72+丁3T---------72024

1111111

=14-(1--)+l+(---)+l+(--5)+...+l+(---)

1111111

=1x2024+(1--+---+--^+-+—-—)

1

=2024+(1-

i2025，

故选：A.

二、填空题（本题共6题，每小题2分，共12分）

11.化简：J（-3尸=.

【答案】3

【分析】本题考查二次根式化简.根据题意直接计算即可得到本题答案.

【详解】解：团匹③7=8=3,

故答案为：3.

12.代数式13-2”有意义,则x的取值范围为.

【答案】又转

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握被开方数非负是解题的关键.根掂被开方数是

非负数，可得答案.

【详解】解：依题意，3—2zN0,

解得％<

故答案为：x<l，

13.若x,y满足忱+1|+J2-y=0,则％，=.

【答案】1

【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0,则这几个非负数分别等于

0,并正确得出未知数的值是解题的关键.根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代

数式计算即可.

［详解】解：以+1|+y/2-y=0,

二%+1=0,2—y=0,

•••x=-1,y=2,

.・.”=(-i)2=i,

故答案为：1.

14.已知直角三角形的周长为5+尺，斜边长为旧，则这个直角三角形的面积为.

【答案】3

【分析】本题考杳了勾股定理，完全平方公式，熟练掌握勾股定理，并能进行推理计算是解决问题的

关键.

设两直角边分别为。，b,根据三角形周长得到a+b=5,根据斜边长为g可得。2+/=13,从而可

得面积.

【详解】解：设直角三角形的两直角边为Q、b,

则a+b+g=5+m,a2+b2=(g)=13,

用Q+b=5,(Q+bp-2ab=13,

解得：ab=6.

所以这个直角三角形的面积为:Qb=3.

故答案为：3.

15.已知％=3忑J=则好+町+、2的值为.

【答案】15

【分析】本题主要考查了分母有理化、完全平方公式等知识点，掌握分母有理化成为解题的关键.

先分母有理化可得％=2-百、y=2+6，则X+y=4、xy=1,再运用完全平方公式可得/+xy+

川二仪+丫尸—孙，然后整体代入即可解答.

【详解】解：歌=„不=2—同y=(靠；一个=2+百,

0x+y=2-V3+2+V3=4.xy=(2-75)(2+V3)=4-3=1,

@x2+xy+y2=(x+y)2—jy=42—1=15.

故答案为：15.

16.若y=-x+Jx-g的最大值为a,最小值为匕，则0?+/的值为.

【答案】|

【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，根据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性，根

据二次根式有意义的条件和二次根式的非负性即可求出x的取值范围和y的取值范围，然后将等式两边

平方得到y2二抖2」—(x—32+卷利用偶次方的非负数和二次根式的非负数求出2j—(x+：

的最大值和最小值，从而求出产的最大值和最小值，即为/、代入即可.

(详解]解：附=V1-X+

fl-%>0

砂NO,[x_l>o

解得：\<x<l,

将等式两边平方，得好=(Vl-x)2+2"1-刃(口习

附2="25一N一打打

=1+2J-X2+|X-1,

旷="2］一。一丁+京,

0(x-^)2>O,

"D-0,

）制+2］一卜一丁+好/2x；=l,

0a2=1.

当X=部=而=0,

又®,_0_丁+320

旷制+21-1-丁+9*,

鼬2+匕2=1+；|

故答案为:I

三、解答题(本题共7题，共58分)。

17.(8分)计算：

(1)N/8-A/27-3X£；

(2)(g-/15)(712+V15)^V3+|V3-V5|.

【答案】(1)2无一4百

(2)-2V3+V5

【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键：

(1)根据二次根式的混合运算法则计算即可；

(2)根据二次根式的混合运算法则计算即可.

【详解】(1)解：V8-VZ7-3xR

=2^2—3y/3—3x--

=2V2-3V3-

-2>/2-4V3

⑵解：(712-<15)(7124-V15)V3+|V3-V5|

=(12-15)^V3+V5-V3

=-y/34-V5—V3

=-2\/3+V5

18­㈠分)己知°=康，b=』.

⑴求a+b的假；

(2)求Q2一3ab4-接的值.

【答案】⑴2百

(2)7

【分析】本题考查了二次根式的化简求值和分母有理化.

(1)先根据分母彳j理化求出a=V5-a，b=V3+V2.即可求出Q+b=2V5；

（2）由a+b=2百，ab=l,将原式整理成（a+b）?-5ab,再整体代入计算即可得解.

【详解】(1)解：a=(后**万、=V3-V2,

(x^3+v2)(v3-v2J

公(最部添甸=百+①

Ea+b=V3-V2+V3+V2=2存

(2)解：0ab=(V3-72)(734-V2)=1,

Ba2-3ab+b2

=(a+b)2-5ab

=(2A/3)2-5X1

=12-5

=7.

19.（8分）如图是学校的•块正方形绿地，其边K为（夙十2）m,现要在正方形绿地内修建四个大小、形

状相同的矩形花坛，每个花坛的长为（n+l）m,宽为（乃-l）m,并将花坛以外的地方全部修建成通

道，且通道上要铺上造价为每平方米8元的地砖.若要铺完整个通道，则购买地砖大约需要多少元？

（参考数据：V2«1.41）

【答案】497.6元

【分析】本题主要考查二次根式的混合运算的实际应用，根据题意求出通道的面积是解题的关键.先

用正方形面积减去4个矩形的面积，计算出通道的面积，再根据“通道上要铺上造价为8元/平方米的地

砖”即可求出购买地砖需要的花费.

【详解】解：通道的面积为（回+2）2—4（75+1）（75-1）

=50+4同+4-4x（6-1）

=50+20企+4-4x5

=34+20企

«34+20x1.41

=62.2（平方米）,

国购买地砖需要花我62.2X8=497.6元.

20.(8分)通过学习算术平方根，我们知道所有的非负数都可以看作一个正数的平方，如：0=02,2=(V2)2,

3=(V3),4=22,5=(V5),那么我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题：

例：求3+2近的算术平方根.

解：v3+2^2=2+2V2+1=(V2)2+2&+仔=(遮+1)2,

3+2混的算术平方根是a+1.

请根据上面的方法化简下列式子：

(1)/7-475；

(2)J。一4%.

【答案】⑴2-V5

(2)3-V3

【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，读懂题意，将整数分成两个合适的整数

相加是解题的关键.

(1)将7分成4+3,利用完全平方公式即可求出结论；

(2)由(1)可得16。-4/=^6(2-73),整理得J12-66,再将12分成9+3,利用完全平方

公式即可求出结论.

【详解】(1)解：V7-4V3

=、4-4百+3

=卜一4百+(⑹2

=J(2-V3)2

=|2-V3|

=2-\/3；

(2)解:/J7-4痘

=^6(2-V3)

=小一66+3

=^32-6V3+（V3）2

=J（3-V3）2

=|3-V3|

=3—\[3.

21.（8分）【阅读材料】在二次根式的计算中，如：（V3+V2）（V3-V2）=1,（3+V3）（3-73）=6,它

们的积不含根号，我们称这样的两个二次根式互为有理化因式.于是我们可以利用这样的两个二次根式，

进行分母有理化（通过分子、分母同乘一个式子，把分母中的根号转化为有理数的过程），例如：*=

IX百_V3

氏6一3'

]_C_6

75W2-（0+0）（0-0）-2-V乙

【解决问题】

⑴化简合的结果为:

⑵已知。=屋市，力=7^，求/6-血2的值；

⑶计算M+康+焉+…十悬南•

【答案】（1）2+75

（2）473

（3）276-1

【分析】本题考查的是二次根式的混合运算、分母有理化，掌握二次根式的乘法法则、减法法则是解题的

关键.

（1）利用分母有理化、平方差公式计算；

（2）利用分母有理化化简小力，利用提公因式法把原式变形，代入算即可；

（3）根据（1）的结论计算即可.

【详解】（1）解：义=石嚅黑=2+k，

273（273乂2+V3）

故答案为：2+V3；

(2)a=J=“2畲=V13+2V3,

6-2百―(VH-2、夕)(履+2⑸

VH-2於=旧一2百,

(V13+2s^3)(V13-2\^3)

:.a2b-ab2=ab(a-b)=(V13+273)(713-275)(7134-2、与-713+273)=48;

(3)—^—+---+—1—+...+--——

1+V2十V2+V3+V3+2干V23+2V6

=短-1+百-&+2-百+…+2正-后

=276-1.

22.(8分)认识概念:

一、两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么这两个代数式互为有理化

因式；

如：V3xV3=3：(V2+1)x(V2—1)=2—1=1,我们称的一个有理化因式为百，e+1的一

个有理化因式是&-1；

二、如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含

根号，这种变形叫做分母有理化.

如.」_=lx3—=?一回

2+V3(2+V3)(2-V3)V'

理解应用：

(1)填空：花一2的有理化因式是将嘉分母有理化得

(2)化简：肃万+焉一亮；

拓展应用：

(3)利用以上解题方法比较3-2&与5-2遥的大小，并说明理由.

【答案】(1)通+2,4；(2)|ViO-2；(3)3-2V2>5-2V6,理由见解析

【分析】本题主要考杳二次根式的性质，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题

的关键.

(1)根据材料提示的分母有理化方法，二次根式的性质，二次根式的乘法运算法则即可求解：

(2)根据二次根式的混合运算法则，二次根式的性质化简即可求解；

(3)根据题意可得3-2/=康，5-2乃=/，再根据实数比较大小的方法即可求解.

【详解】解：(1)0(V5—2)x(V5+2)=(V5)2—22=5-4=1,

□V5-2的有理化因式是y+2,

-2X72v12

3\^2x5/23

即悔品分母有理化得当，

故答案为:V5+2,金

3

(2)L

T10+V7V7+2Vio

3(710-V7)3(夕-2)5-VTo

-----------------------------------------------------------------

(7104-V7)(710-V7)(V7+2)(V7-2)•同

3(V10-V7)3(V7-2)5-Vlo

=------------------h-------------------------

3310

]

=(V10-V7)+(V7-2)--V10

]

=710-V7+V7-2--V10

=|V10-2；

(3)3-2V2>5-2V6,理由如卜•：

由题意得：3—2四=康，5—2通=嬴，

E3+2加<54-2V6,

E3-2V2>5-2V6.

23.(10分)我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离

分家万事休数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件

下，数和形之间可以相互转亿，相互渗透.某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了

如下的问题探索与分析.

【提出问题】已知0<%<1,求，TTF++(1-%〈的最小值.

【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和

Jl+(l—x)2的线段,将代数求和转化为线段求和问题.

(1)如图，我们可以构造边长为1的正方形力8C0,尸为6(边上的动点.设A"=X,则/^二1-X.则

VF二记+Jl+(l-X)2的最小值等于.

(2)运用以上数形结合的方法，求亚中+J1+(6-％)2的最小值;

(3)运用以上数形结合的方法，求7^^-3-i2x+37的最大值.

【答案】(1)V5；(2)2m；(3)2as

【分析】本题考查勾股定理，正方形，矩形的性质综合问题，解题的关键是对数形结合的灵活运用.

(1)构造边长为1的正方形ABC。，P为8c边上的动点，设8P=x,则PC=l-x,AP=7AB?+BP?=

dl+/,DP=7CD?+CP2=+(1-j)2,Ml+/+Jp+(i一幻2=+DP,延长AB至点A,

使==L当点P在〃。与8c的交点处时，4P+DP的长最短，从而4P+DP的长最短，最小

值为线段4D的长，A'D=>jAAl2+AD2=V224-12=^5,即可求得+Jl+(1-工产的最小

值；

(2)构造两个边长为3的正方形和CMP为BC边上的动点，CO=1..设BP=x.^CP=6-x,

DP=+cp2+Ji+(6一%)2,,9+产+Ji+(6-x)2=4P+DP,点尸在AD与8C的交点处

时，AP+DP的长最短，从而AP+DP的长最短，最小值为线段A0的长，过点。作。G||BC交48于点

G,A'D=^DG2+ArG2=Vo2+42=2/13,进而求出回GM+J1+(6-)+的最小值;

(3)收+9-Vx2-12x+37=Vx2+9-，+(X-6)2,设48=x，点、E在上，Z.ABC=Z.AED=

90°,=3,DE=1,BE=6,过点。作DF1BC于点F,由勾股定理可知：9。=7AB?+BC?=

4产+32,AD=7AH+DE?=Jl+(x-6)z,3+9-Vx2-12x+37=AC-AD,证明四边形

8EDF是矩形，

CD=VDF2+CF2=V624-22=2V10,分情况讨论，若点。不在线段4c上则AC-4。VCD,若点。

在线段AC上，则AC-40=C0,进而求得+9--12%+37的最大值.

【详解】(1)已知图中，构造边长为1的正方形A8CD,0为BC边上的动点，

设BP=x,=1-X,

在&△ABP中，

AP=>JAB2+BP2=VlTx7,

在COP中，

DP=VCD2+CP2=J