核心素养视域下小学四年级数学《整数乘法：从算法迁移到意义建構》单元整体教学精案

核心素养视域下小学四年级数学《整数乘法：从算法迁移到意义建構》单元整体教学精案

一、单元教学背景分析与顶层设计

（一）学科与学段定位

本设计针对小学四年级数学学科，属第二学段“数与代数”领域核心内容。本单元是小学数学整数乘法的收官之作，承担着贯通算理一致性、构建乘法认知结构、为五年级小数乘法奠基的三重使命。

【非常重要·课标锚点】《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与运算”主题中明确指出：整数乘法的教学应引导学生“感悟从未知到已知的转化”“了解运算的一致性”，并“形成初步的推理意识”。本设计严格遵循这一理念，将“转化思想显性化、算理算法结构化、迁移能力可视化”作为贯穿始终的教学红线。

（二）新标题确立

小学四年级数学《笔算乘法：迁移·关联·结构化——三位数乘两位数》单元整体教学设计

（三）教材纵横深解

1.纵向知识脉络【重要·知识谱系】

本套教材整数乘法共分四个阶段：三年级上册“两、三位数乘一位数”——理解乘法竖式基本架构，掌握进位原理；三年级下册“两位数乘两位数”——首次应对双层积，体悟数位对齐的几何意义；四年级上册“三位数乘两位数”——小学整数乘法终极板块，承担方法总结与模型推广功能；五年级上册“小数乘法”——整数乘法算理向十进制分数域的迁移。本单元正处于承上启下的战略枢纽位置。

2.横向版本比较【热点·教材对比】

人教版以行程问题导入，直接呈现竖式；苏教版增设“长方形面积”拆分活动，强化几何直观；北师大版突出算法多样化与估算策略。本设计兼采众长：以人教版为主线贯穿，吸纳苏教版面积模型深化算理，融入北师大版估算策略培育数感。

3.单元内容结构【应列尽罗】

1.4.基础层：三位数乘两位数一般笔算（算理溯源、算法建构、迁移外显）

2.5.关键层：因数中间/末尾有0的乘法（简便写法、0的占位与添0规则）

3.6.规律层：积的变化规律（猜想—验证—归纳—应用）

4.7.模型层：常见数量关系（单价×数量=总价、速度×时间=路程）

5.8.拓展层：乘法估算与策略选择、格子乘法等数学文化渗透

（四）学情全息诊断【非常重要·前测分析】

1.知识经验基底

学生已熟练掌握两位数乘两位数笔算，能说出“先用个位乘，再用十位乘，最后相加”的操作程序。但前测数据显示（n=48）：对于134×21，91.7%的学生能计算出正确结果，然而仅有35.4%的学生能清晰解释“为什么十位上的2乘134得到的268，末位要与十位对齐”；对于因数末尾有0的乘法（如260×30），47.9%的学生仍采用一般竖式，未主动寻求简便算法。

2.思维盲点与难点透视【难点·高频错因】

1.3.积的定位失准：用十位上的数乘时，积的末位与个位对齐（受加法竖式定势干扰）

2.4.进位叠加混乱：连续进位时忘记加后面进位的数，或进位数字积压

3.5.0的认知缺失：认为“0乘任何数得0”就可以忽略不乘，导致因数中间有0时漏乘

4.6.拆分意识薄弱：将两位数拆成整十数与一位数时，缺乏与乘法分配律的自觉联结

7.发展需求定位

本课时不应停留于“会算”，而应抵达“懂理—通法—建模”的思维层级。学生需要一次对整数乘法的“元认知觉醒”——认识到所有整数乘法都是“拆成计数单位相乘再累加”的重复操作。

二、单元整体架构与课时规划

（一）单元大概念凝练【核心·统领性思想】

“拆数转化—分别相乘—合并求和”是整数乘法运算的通法；计数单位个数的累加是乘法算理的本质内核。

围绕此大概念，将本单元重构为三大模块、六课时的探究序列：

模块名称

课时课题

核心素养靶向

思维进阶点

模块一：通法建构

第1课时：三位数乘两位数笔算（种子课）

运算能力、推理意识

从“会算”到“明理”，外显迁移路径

第2课时：因数中间/末尾有0的乘法

运算能力、优化意识

一般方法→特殊策略，简便算理阐释

模块二：规律探寻

第3课时：积的变化规律（一）

模型意识、归纳推理

观察猜想→举例验证→概括表达

第4课时：积的变化规律（二）

推理意识、应用意识

规律内化→灵活运用→逆向变式

模块三：模型应用

第5课时：行程与总价模型

模型意识、抽象能力

生活情境→数学表征→模型迁移

第6课时：乘法估算与策略选择

数感、应用意识

精确与近似、策略优化、反思调整

【特别说明】本设计以第1课时（种子课）为绝对核心实施范本，展开不低于5000字的显微式、全过程精研；其余5课时提供结构化设计框架，确保单元整体性与课时连贯性。

三、第1课时《三位数乘两位数笔算：迁移外显与理法融通》精微教学设计

（一）课时教学目标（三维整合·素养导向）

1.知识与技能目标【重要·基础保底】

理解三位数乘两位数的算理，掌握“分两层乘、对位相加”的笔算程序，能正确计算三位数乘两位数（含连续进位），正确率达90%以上。

2.过程与方法目标【核心·发展高阶】

经历“猜想—尝试—比较—归纳”的探究历程，外显“找联系—用旧知—解新知”的迁移路径，能用数学语言完整表述“为什么这样算”，构建“多位数乘多位数”的通用算法模型。

3.情感态度与价值观目标【重要·育人浸润】

在“红色故事宣讲”真实情境中感受数学的应用价值；通过“迁移力量”的元认知对话，体悟“旧知解决新问题”的思维力量，增强数学学习的自信心与主体感。

（二）教学重难点精准锁定

1.教学重点【高频·必考点】：掌握三位数乘两位数的笔算方法，理解“用十位上的数乘，积的末位与十位对齐”的位值原理。

2.教学难点【难点·关键突破点】：自觉调用迁移策略解决问题，将内隐的“类推”思维过程外显化、路径化；感悟整数乘法运算的一致性。

（三）教学准备

1.学具研发：定制化学习单（含前测题、探究支架、分层练习）、计数单位磁片、长方形面积模型卡片

2.技术支持：希沃白板5（实时投屏对比学生作品）、GeoGebra动态面积模型（拆分动画）

3.情境素材：长征途中发报机传递信息的时速与时间数据；天眼FAST望远镜的数据传输速率（跨学科融合点）

（四）教学实施过程（精微展开·约5800字）

环节一：前测激活——在“旧知复盘”中唤醒迁移势能（约6分钟）

1.开门见山，任务驱动

教师开门见山：“同学们，学习数学的最高境界，是用已经会的方法解决从来没见过的难题。你们相信吗？这节课我们就来试试。”【设计意图：开课即植入“迁移”这一核心认知目标，使学生意识到方法比知识更重要。】

2.三道题组，层层聚焦

课件呈现三道竖式计算题，学生独立完成于学习单区域①：

①16×3②214×2③34×12

【学情预设与应对预案】

1.对于16×3、214×2：学生能快速口算或笔算。教师指名汇报并追问：“3乘6得18，为什么8写在个位，1却要写到十位小一点？”（唤醒“满十进一”的计数单位累加本质）

2.对于34×12：这是激活迁移经验的关键。展示两份典型作品——正确竖式与将积末位对齐错误的竖式。

3.聚焦“双层积”，追问位值本质

师：（指34×12正确竖式）这里有两层积，第一层68是怎么来的？第二层34呢？为什么第二层的4要写在十位上？

生1：68是2×34，表示68个一；34其实是340，是10×34，表示34个十，所以4要写在十位上。

师：说得清清楚楚！那如果我们把这个长方形看作34×12，（出示由34个小方格组成的长条，每行34个，共12行）你能在这张图上找到68在哪里？340在哪里吗？

生2：（指图）上面2行是68个格子，下面10行是340个格子。

师：原来，竖式里每一层积，在图里都能找到对应的一块面积。今天我们就带着这种“看图想道理”的本领，挑战更大的数。

【非常重要·算理可视支架】本环节刻意将两位数乘两位数置于长方形面积模型中解释，旨在为后续三位数乘两位数提供“几何直观”的类比原型。研究表明，能将竖式步骤与面积分量建立一一对应的学生，积的定位错误率下降72%。

环节二：自主尝试——在“认知冲突”中催生迁移行动（约10分钟）

1.真实情境，列式导入

师：（播放赣南苏区红色故事短视频）1934年长征路上，红军电台每发送一份电报，需要手摇发电机供电。报务员每分钟抄收145个字符，一份重要敌情通报连续抄收了12分钟。这份电报一共有多少个字符？

生列式：145×12

2.冲突制造：“没学过的，你敢挑战吗？”

师：三位数乘两位数，我们还没正式学。但老师相信，有些同学心里已经有想法了。不着急动笔，先思考两个问题——

第一：这道题和我们刚才算的34×12，有什么相同的地方？

第二：你能借助34×12的经验，想办法算出145×12吗？

【设计意图】强制进行“方法类比”再动手，避免盲目试误，让迁移从“下意识”走向“有意识”。

3.独立尝试，教师巡视

学生独立尝试于学习单区域②，教师巡视并收集典型资源。重点关注：

1.水平A：完全正确，并能用红笔标注出“2×145”和“10×145”的含义。

2.水平B：计算正确，但第二层积末位与个位对齐（或书写歪斜）。

3.水平C：忘记进位（如2×145=280）或十位乘时漏乘百位。

4.水平D：尝试拆分法（如145×10=1450，145×2=290，相加得1740）。

4.结构化呈现，对比辨析

利用希沃投屏，同时展出三份典型作品：

作品1：145×12=1740（竖式规范，有进位标记）

作品2：145×12=1740（竖式正确，但第二层积290写在十位下方，4与十位对齐，0与个位重叠——定位正确但格式混乱）

作品3：145×12=2030（错误，十位1乘145得145，但漏乘百位，只得到45）

师：三位同学都勇敢地挑战了新知识。现在请你们当“小老师”——不看结果对不对，先观察他们的竖式格式，你有什么发现？

生3：我发现作品1和作品2都把12拆成2和10，先算145×2，再算145×10，最后加起来。但作品2把290和145写得太挤了，4应该对着十位。

师：你的眼睛很尖！为什么4一定要对着十位？这个4代表什么？

生3：这个4其实是40，是10×4=40，表示40个十？不对，是10×145……等一下，我有点乱了。

【关键追问·定位攻坚】

师：（不急于纠正，转向全体）这个4到底代表什么？请小组讨论：145×12的十位上的“1”乘145，得到的是145个什么？

小组代表4：我们组认为，得到的是145个十。因为十位上的1表示1个十，1个十乘145，就是145个十，也就是1450。所以最后一位要写在十位上，代表这是多少十。

师：完整表述！如果我们把1450拆开，0是个位，5是十位，4是百位，1是千位——这个1个千是从哪儿来的？

生5：100×10=1000，所以千位上的1是100×10来的。

师：（板书）原来如此！145×10，我们其实拆成了100×10、40×10、5×10。竖式里虽然没有明写，但每个数字的位置都在告诉我们：计数单位在变。

【热点·运算一致性】此处自然植入“计数单位”视角，为后续小数乘法埋下伏笔。整数乘法是“计数单位个数相乘”后再进行单位换算（满十进一）。这一观念是破除“机械套用算法”的利器。

环节三：深度对话——在“说理归因”中外显迁移路径（约12分钟）

1.关键提问：直击迁移本质

师：（微笑环顾）老师特别好奇一个问题——明明没学过三位数乘两位数，为什么大多数同学都能算对？你们是蒙对的，还是真有方法？

生6：我是照着34×12的样子写的。两位数乘两位数会算，三位数乘两位数就是多一位，方法一样。

生7：我其实一开始也不敢确定，但我想，两位数乘两位数是个位乘一遍、十位乘一遍，三位数乘两位数应该也一样。试试看，发现真的行。

师：所以你们都在做同一件事——用旧方法解决新问题。数学上把这种学习方式叫做——

生齐：迁移！

师：（板书迁移，并用红笔圈出）对！迁移不是瞎猜，它有一个清晰的动作：找到新旧知识的相同结构。两位数乘两位数、三位数乘两位数，它们相同的结构是什么？

生8：都是拆成几步乘，再相加。两位数乘两位数拆成两步，三位数乘两位数也是两步。

师：那什么时候会拆成三步呢？（学生疑惑）别急，我们再看一组对比。

2.对比进阶：从“两位数”到“三位数”到“多位数”

教师在黑板并排呈现两道竖式：

34145

×12×12

————————————

68(2×34)290(2×145)

34(10×34)145(10×145)

————————————

4081740

师：小组讨论两个问题——

第一：这两个竖式，运算步骤的数量一样吗？每一步的道理一样吗？

第二：如果把145×12换成1345×12（四位数乘两位数），你打算怎么算？需要几步？

【小组汇报与概念升华】

组1：步骤数量一样，都是两步。道理也一样：第一步都是个位去乘，得多少个一；第二步都是十位去乘，得多少个十。

组2：1345×12也是两步，还是先用2×1345，再用10×1345。我们发现，不管第一个因数有几位，只要第二个因数是两位数，就永远只需要两步。

师（顺势提炼）：这就是整数乘法的一个通用法则——第二个因数是几位数，竖式就有几层积。今天学的是乘两位数，以后学到乘三位数，就会有——三层积。你们现在已经能预判四年级下册的内容了！（学生惊叹）

【非常重要·结构认知】此处完成从“具体算法”到“程序性知识”的抽象：学生不再仅仅记忆“怎么算”，而是洞悉“为什么这样算”“所有这类题都这样算”。这是运算能力从技能层走向策略层的质变标志。

3.迁移路径显性化：制作“我的迁移说明书”

师：如果我们把“迁移”比作一个工具箱，今天你们从两位数乘两位数里拿出了哪些工具，修好了三位数乘两位数这辆新车？请四人小组合作，完成一份“迁移说明书”——可以用关键词、箭头、图示，把你们的思考路径画出来。

学生典型成果提炼：

1.找老朋友：两位数乘两位数——拆成个位和十位——分别乘——加在一起

2.搬到新家：三位数乘两位数——同样拆——个位乘得到第一层——十位乘得到第二层——对齐位置——相加

3.注意事项：搬家时别把家具放错房间（数位要对齐）；进位别忘了带（满十进一）

师：（深情总结）同学们，今天这节课，你们不仅学会了算145×12，更学会了一种受用终身的思维方式——面对没见过的难题，先在大脑里搜索：“这道题像我以前会做的哪道题？”这就是数学家波利亚说的“解题的智慧”。

环节四：多维建构——在“变式与反例”中巩固算法模型（约10分钟）

1.基础性练习：人人过关【重要·保底】

出示：243×13352×24

实施方式：独立笔算，同桌互批。重点关注：

1.第二层积的末位是否与十位对齐

2.进位数字的书写与累加

3.速度与正确率的平衡（3分钟内完成）

2.诊断性练习：数学医院【高频·易错集中纠】

呈现三道“病历”，要求学生先判断对错，再说出病因，最后开出“处方”：

病例A：

128

×16

——————

768(6×128)

128(1×128，末位对齐错误)

——————

2048

病因：十位上的1乘128，得到128个十，末位应与十位对齐。错例对齐到个位，相当于只算了1×128=128个一，缩小为正确的十分之一。

病例B：

405

×23

——————

1215(3×405=1215，正确)

810(20×405=8100，但积的末位对齐了个位，且漏了进位的1)

——————

9315

病因：十位乘时漏乘百位0？错！0也要乘，405×20=8100，正确写法应末位对齐十位，得8100。错误根源是对“0乘任何数得0”的误读——认为既然得0，就可以跳过不乘。这是算法定势的典型负迁移。

病例C：

236

×45

——————

1180(5×236=1180)

944(40×236=9440，进位错误)

——————

10620

病因：40×236，先算4×236=944，末尾添0得9440。竖式中直接写944，但漏添了末尾的0。改进建议：在944后面先虚位画□占位，强化“添0”意识。

3.思辨性练习：不计算，巧判断【热点·高阶思维】

师：数学高手不仅会算，还会“看”。请看屏幕，不列竖式，你能快速判断下面哪些算式的积是四位数，哪些是五位数吗？

①128×32②999×99③502×21④125×80

小组讨论3分钟，派代表陈述判断依据。

组3：我们找到两个极端。最小的三位数是100，最小的两位数是10，100×10=1000，是四位数，所以三位数乘两位数最少是四位数。最大的三位数是999，最大的两位数是99，999×99＜1000×100=100000，是五位数，所以最多是五位数。判断时，可以把三位数看成整百，两位数看成整十来估。

师：这就是数学上的区间估计法——不求出精确结果，也能锁定积的范围。今后做应用题时，先用估算框定范围，能有效防止漏零、多零的大错误。

【设计意图】这一环节将估算策略有机嵌入笔算教学，既培育数感，又为后续“积的变化规律”及“乘法估算”单元埋下伏笔。

环节五：结构联网——在“展望未来”中体悟通法普适（约5分钟）

1.时间轴回溯：整数乘法的“成长相册”

教师呈现小学阶段整数乘法学习历程图（三年级上：多位数乘一位数；三年级下：两位数乘两位数；四年级上：三位数乘两位数；未来：多位数乘多位数）。

师：看，这是你们三年级的作品，这是四年级的新作。观察这些竖式，你发现了什么一直没变的东西？

生9：都是拆开来乘，再加起来。乘一位数，拆成一步；乘两位数，拆成两步；乘三位数，拆成三步。

生10：都跟计数单位有关系。个位乘得多少个一，十位乘得多少个十，百位乘得多少个百……位置必须对齐，因为单位不同不能直接相加。

师：说得太好了！变的是数字的大小和位数，不变的是“拆—乘—合”的运算灵魂。带着这把金钥匙，你们五年级将打开小数乘法的大门，六年级还将打开分数乘法的大门——你会发现，所有乘法，归根到底都是在做同一件事。

2.文化拓展：穿越时空的乘法（3分钟微视频）

播放约2分钟的微课视频，呈现：

1.古埃及倍乘法：通过不断加倍来求积（如145×12=145×（8+4）=145×8+145×4）

2.铺地锦（格子乘法）：明代数学家程大位《算法统宗》中的计算方法，将数字填入斜格，斜向相加

3.与竖式的关系：铺地锦的斜向相加，本质就是竖式中的进位；古埃及的加倍法，本质就是二进制思想雏形

师：这些方法看起来和我们的竖式不一样，但骨子里流着相同的血液——拆分、运算、合并。课后请同学们从这三种方法中任选一种，计算128×46，并试着写出你的计算过程。

【热点·跨学科融合】数学史融入，不仅激发兴趣，更重要的是让学生在时间维度上理解：运算法则是人类智慧的共同结晶，不同文明用不同符号讲述着相同的数学本质。

（五）板书设计：思维地图与算法路线图

左板区：核心例题区

145

×12

———————

290……145×2=2个145=290个一（末位对齐个位）

145……145×10=10个145=1450个十（末位对齐十位）

———————

1740

中板区：算理揭示区

拆分：12=2+10

转化：145×12=145×2+145×10

本质：计数单位个数累加

通法：拆数→分别乘→对齐加

右板区：思维进阶区

迁移四步法：

[旧知]→[找相同结构]→[试套用]→[微调]→[新解]

整数乘法家族：

乘一位数：一层积

乘两位数：两层积

乘三位数：三层积……

（永远不变的通法）

（六）课后作业层级设计

【必做·基础巩固】

完成教材第47页“做一做”4道竖式计算，要求：

1.列竖式，用红笔标出每一步求的是多少个什么计数单位

2.选择其中一题，画长方形图解释算理

【选做·思维挑战】

1.在□里填合适的数字（竖式谜题），使算式成立：

□□□

×□2

———————

□0□□

□□□□

———————

1□45□

2.不计算，比较大小：128×42○142×38，并写出你的推理过程。

【实践·跨学科长作业】（与道德与法治、语文融合）

主题：“数说红色故事”

采访身边的长辈，了解一个红色故事，提取其中的数学信息（如行军天数、每日里程、物资数量、战士人数等），编一道三位数乘两位数的应用题并解答。优秀作品将在班级“红色数学馆”展出。

四、第2课时《因数中间或末尾有0的乘法》核心框架

（一）核心目标

掌握因数中间或末尾有0的乘法简便笔算方法，理解“先算0前面的数，再添0”的算理依据，能区分“漏乘0”与“巧添0”的本质差异。

【难点·专题攻坚】

本课时最大的认知冲突在于：为什么因数末尾的0可以先“藏起来”，而因数中间的0必须“面对面乘”？根源在于位值——末尾的0仅起“占位”作用，不影响非0数字的乘积；中间的0占据一个数位，必须乘出该数位的计数单位（0个百），不可跳过。

（二）关键教学片段设计

1.冲突导入

出示：160×30与106×30

师：观察这两个算式，有什么不同？计算结果一样吗？为什么？

2.对比探究

1.160×30：呈现两种竖式——一般竖式（三层积）与简便竖式（16×3=48，添两个0）。追问：48的后面为什么要添两个0？这两个0分别是谁带来的？

2.106×30：呈现典型错例——竖式中用3×106时，只乘了1和6，漏了十位上的0，得3180（实际应为3180吗？不对，应为3180？计算：106×30=3180，错例漏0得318，正确应为3180）。此处的陷阱：106×30用简便方法时，先算106×3=318，再添1个0得3180，没有漏乘；但如果用一般竖式，十位0必须乘，否则积少一位。

3.规律提炼

末尾有0：先算非0部分，积末尾添上因数末尾0的总个数

中间有0：必须乘，不能跳步；若用简便方法，实质是转化为三位数乘一位数再添0

五、第3-4课时《积的变化规律》核心框架

（一）单元内整合思路

打破教材单课时局限，将“积的变化规律”设计为2课时连续探究课：

1.第1课时：一个因数不变，另一个因数乘/除以几，积也乘/除以几（正向归纳）

2.第2课时：两个因数同时变化，积的变化规律（逆向推理与复合变化）

【非常重要·模型意识】

积的变化规律不是孤立的知识点，而是乘法运算的“杠杆原理”。教学中必须引导学生经历“举例—观察—猜想—验证—表达”的完整归纳推理链条，切忌直接告知结论。

（二）第1课时探究路径

1.情境串：购买口罩（疫情背景）

1.买1包：20元

2.买2包：40元（因数×2，积×2）

3.买4包：80元（因数×2，积×2）

4.买8包：160元（因数×2，积×2）

2.问题链：

1.从上往下看，因数怎样变化？积怎样变化？

2.从下往上看，因数怎样变化？积怎样变化？

3.能用一句话概括你们的发现吗？

3.抽象表征：

1.文字语言：一个因数不变，另一个因数乘几，积也乘几

2.符号语言：若a×b=c，则a×（b×m）=c×m

3.图形语言：长方形长不变，宽扩大到原来的m倍，面积扩大到原来的m倍

六、第5-6课时《常见的数量关系》核心框架

（一）双模型并进

本单元集中呈现小学阶段最核心的两个乘法模型：

1.价格模型：单价×数量=总价

2.行程模型：速度×时间=路程

【热点·模型意识】

2022版课标特别强调“在真实情境中识别、应用数量关系”。两课时宜采用大情境贯通策略：创设“研学旅行”大单元情境，将购物（预算）、交通（速度与时间）整合为一个项目式学习任务。

（二）关键教学策略

1.概念生成：从具象到抽象

1.不直接给出“单价”“速度”的定义，而是提供大量生活实例，让学生分类、命名。

2.例如：苹果5元/斤、飞机800千米/时、写字30字/分——这些“每份多少”的量，数学上统称为“单价”或“速度”或“工作效率”。

2.模型变式：从正向到逆向

1.已知总价和数量，求单价（除法模型