江苏省G4（南师大附中、天一中学、海安中学、海门中学）2026届高三下学期4月联考数学试题+答案

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页江苏省G4（南师大附中、天一中学、海安中学、海门中学）2026届高三下学期4月联考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．空间中两条直线a,b，则“a⊥b”是“a与A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．在集合A=−1,0,1中随机取一个数a，在集合B=0,1A．13 B．14 C．153．函数f(x)A． B．C． D．4．已知直线x=a(a>0)是函数A．π4 B．14 C．345．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，PA，PB为圆锥的母线，PO=3，∠AOA．6π B．12π C．376．记等比数列an的前n项和为Sn，若2S9=S3A．3 B．6 C．9 D．127．一位速算大师事前贴出的广告说，他能当着大家的面在几秒钟之内把一个几十位数的几十次方根迅速算出来.当然，涉及的全体数都是整数.某个观众准备的题目是“计算一个35位正整数的31次方根”，速算大师很快就给出正确答案.事实上速算大师仅用了部分数的常用对数近似值（如下表）.a1112131415161718lg1.041.081.111.151.181.201.231.26那么，观众准备的题目的正确答案为（

）A．13 B．14 C．15 D．168．点P在以F1,F2为焦点的椭圆x2a2A．34 B．23 C．22二、多选题9．下列说法中正确的是（

）A．一组数据1,B．两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数r的绝对值越接近于1C．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到χ2≈8.852，根据小概率值α=0.005的χ2独立性检验：D．若随机变量X服从正态分布N3,σ210．设函数fx=x−12x−4A．x=1是函数fx的极大值点C．ac>b11．已知圆C过抛物线Γ:y2=2A．圆C的面积存在最大值B．若线段AB为圆C的直径，则圆C与抛物线ΓC．若圆C与抛物线Γ还有另外两个交点P,Q，则D．当圆C与抛物线Γ仅有三个公共点时，圆C面积的最大值为125三、填空题12．在3−1xx−13．已知过点1,0的直线l与椭圆C:x216+y214．设f0x=x−1，f1x=f0四、解答题15．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c(1)求角C的大小；(2)已知a=3，b=4，D在AB16．已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球.一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中，当出现第n局得n分（n∈(1)求在一局游戏中得3分的概率；(2)求游戏结束时局数X的分布列和数学期望EX17．如图，已知四棱锥P−ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形，PA=2，P

(1)求证：MN//平面(2)若AB①求直线PD与平面B②平面BMN将四棱锥18．已知fx=(1)当a=0时，讨论(2)当a=−2,b(3)已知当b=0时，存在a0∈R，使得函数fx有三个零点x119．已知一簇双曲线En:x2−y2=n（n∈N*），当n=1时，双曲线E1右顶点为A1x1,y1.现按如下规则依次构造点An（n∈(1)求点A2(2)双曲线En的左焦点为Fn，右焦点为Gn，记A(3)设αn为射线OAn与x轴正半轴的夹角，已知θ>0，存在实数φ，使得对任意m∈N*，不等式答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页《江苏省G4（南师大附中、天一中学、海安中学、海门中学）2026届高三下学期4月联考数学试题》参考答案题号12345678910答案DABBDAACBCABD题号11答案BCD1．D【详解】空间中两条直线a,b，若a⊥b，a与b相交时，不一定互相垂直，不能得到a⊥所以“a⊥b”是“a与2．A【详解】设事件z为虚数为A，事件z为纯虚数为B，由题知，满足z=a+bi为虚数的a,b满足z=a+bi为纯虚数的a,b所以PB所以在z为虚数的条件下z为纯虚数的概率为133．B【详解】由f(x)所以函数f(由于x足够大时，函数y=3e则x→+∞4．B【分析】化简fx的解析式，根据三角函数的对称性列方程，求得a的表达式，进而求得a【详解】因为f(且直线x=a是f(x)解得a=k+14(k∈5．D【分析】根据题意作出图象，取AB中点为C，连接OC，∠PCO即为二面角P−A【详解】如图，作OC⊥AB，则∵PB＝PA，∴AB∴∠PCO∴∠P在Rt△POC中，∴OC在直角△AOC中，∠∴OB在Rt△PO∴圆锥的侧面积为π×6．A【分析】设等比数列an的公比为q，根据题意，利用等比数列的求和公式，化简求得q3=−1【详解】设等比数列an的公比为q当q=1时，可得S因为a1≠0，所以2S9又因为2S9=所以2(1−令t=q3，可得2t2−t法一：由1a3+1a因为q3=−12，代入化简得1−2法二：由等比数列的通项公式，可得an因为1a3+1a则1q(1因为q3=−12，所以−7．A【分析】根据题意可得1034≤N【详解】设正整数N的31次方是一个35位数，则1034≤N即1.10≤lgN<1.13，对照表格可知只有a8．C【分析】由同角三角函数关系式及两角差的正弦公式，求得△PF1【详解】如图，△PF1F2中，若所以sin∠因为α∈0,因为α,β∈因为tanα+β由sinα+β所以sinβ由正弦定理PF1sin设椭圆的焦距为2c，则椭圆的离心率e9．BC【分析】对于选项A，根据百分位数的计算方法求解；对于选项B，根据线性相关程度与|r|的关系判断；对于选项C，根据独立性检验规则判断即可；对于选项D，利用对称性求出P(【详解】选项A，这组数据共8个，已按从小到大排序，计算百分位数位置：i=i不是整数，向上取整，第60百分位数是第5个数据，为5，A错误；选项B，根据样本相关系数的性质：两个随机变量线性相关程度越强，样本相关系数r的绝对值越接近1，越接近0说明相关程度越弱，B正确；选项C，计算得χ2≈8.852>χ0.0052选项D，正态分布N(3,σ2则P(X>因此P(10．ABD【分析】求导，分析函数的单调性和极值点判断选项A，结合函数图象分析选项B，利用多项式恒等原理分析选项C，结合函数单调性分析选项D．【详解】求导得f'令f'x=0，解得当x<1时，f'当1<x<3时，当x>3时，f'∴x=1x=3是极小值点，极小值选项A：由单调性可知，x=1是函数选项B：方程fx=t有三个不等实根，等价于直线y由上述分析知，fx的极大值为0，极小值为−当t∈当t=0或当t>0或选项C：设a<b<c是则：x=x∴a由a+b+c=b6−bb−当1<b<当b=32当32<b∴a选项D：由a+b+∵c是最大根，且fx在f3∴t∈−4,故2<11．BCD【分析】由抛物线y2=2px过A(2,4)求p，确定抛物线方程，求线段AB的垂直平分线方程，设圆心C的坐标为9+2t,t，对于A，确定【详解】因为抛物线y2=2px过A因此抛物线为y2=8点A2,4,B8,所以线段AB的垂直平分线方程为y+2设圆心C的坐标为9+所以圆C的半径r=所以圆C的方程为x-对于A，由于半径r=所以半径r的取值范围为[3所以圆C的面积不存在最大值，A错误；对于B，若线段AB为圆C的直径，则圆心为5,-此时圆C的方程为x-52+y圆心C到抛物线y2=8x的准线x=所以圆C与抛物线Γ的准线相离，B正确；对于C，圆C与抛物线Γ还有另外两个交点P,所以x-9-故y28-即方程y4-80因为圆C过点A2,4,B所以方程y4-80设点P的纵坐标为y1，点Q的纵坐标为y则y1,y所以y1+y2=对于D，若圆C与抛物线Γ仅有三个公共点时，可得方程y-当方程y2-4y-32t此时r2=5t+当y=4为方程方程y2-4y-此时r2=5t+当y=-8方程y2-4y-此时r2=5t+所以圆C面积的最大值为125π12．25【详解】因为3−1xx−所以3−1x13．±【分析】根据题意设出直线，联立方程得出xA+xB，【详解】根据题意，设过点1,0的直线l:得C:x2设AxA,则xA+x所以yA因为OA⊥OB，所以计算16k即16解得k2=16，故k14．2028【分析】分析fn(x【详解】由定义归纳可得：对任意偶数n，fn(（k为非负整数）上斜率为±1对任意整数k，fn(k)=0（x>n+1时，由n=2026（偶数），x=1处：f2026(1区间(1区间(1,2)：fn(x)从0递增到fn(x)斜率为1大于区间(k,k对任意k<2027，都有若fn(k另一端点fn若fn(k另一端点fn因此共2026−区间(2027,+∞)fn(x)斜率为1远大于y=故存在1个交点,所以总交点数：1+15．(1)π(2)2【分析】（1）利用两角和的余弦公式结合三角形内角和计算求解；（2）根据已知条件，利用余弦定理解三角形．【详解】（1）由3sinBsin即−3−3−cos∴tan又∵C∴C（2）已知a=3，b=4，C=π3c2=∴c∴A在△ABC在△ACD则C=16解得CD16．(1)2(2)337【分析】（1）在一局游戏中得3分只有白球、红球和黄球各1个，结合组合数公式和古典概型概率公式求概率，即可求解；（2）根据题意，先确定随机变量可能取法，求得对应事件概率，得出随机变量的分布列，利用期望的公式，即可求解.【详解】（1）解：由题意，在一局游戏中得3分只有白球、红球和黄球各1个，即0+从5个球中任取3个球，共有C5其中白球、红球和黄球各1个事件数为C2设在一局游戏中得3分为事件A，则PA即在一局游戏中得3分的概率为25（2）解：随机变量X的所有可能取值为1,在一局游戏中得2分的概率为C2则PX=1PX=3=45×所以随机变量X的分布列为：X1234P1562842所以期望为EX17．(1)证明见解析(2)①32；②【分析】（1）要证明线面平行，需通过证明线线平行进而得到线面平行，即证明MN（2）①先建立空间直角坐标系，然后列出各个点的坐标，求出平面BMN的法向量坐标，进而根据向量夹角的余弦公式求出结果；②延长BM交CD的延长线于点E，连接NE【详解】（1）取PB的中点为G，连接AG,GN所以GN因为四边形ABCD又M是AD的中点，所以AM/所以MN//AG，又AG⊂所以MN//（2）①因为PA⊥平面ABCD，A因为AB⊥AD，所以以A为原点，以则A0所以PD设平面BMN的一个法向量为m=即−2x+y=0−所以直线PD与平面BMN

延长BM交CD的延长线于点E，连接NE交P易知EF∴V18．(1)b≥0时，fx在R上单调递增；b<0时，f(2)1(3)−【分析】（1）求导，分b≥0、（2）根据题意得b>2x+1x−ex（3）根据题意，分析a=1−exx2【详解】（1）解：a=0，fx当b≥0时，f′x=当b<0时，f′则x<ln−b时，x>ln−b时，综上，b≥0时，fxb<0时，fx在−（2）解：a=−2又∀x>0,f令gx=2令ux=2则u′x=当0<x<ln4时，u′x>0又u0=0，所以u∴存在唯一x0∈ln4,∴e∴当0<x<x0时，ux>x0时，ux<又g1∴=2x又y=2x0−1−∴gxmax∴b的最小值为1；（3）解：b=0，fx当x≠0时，fx令hx=1令vx=2当x∈−∞,0x∈0,1时，v'x>0，又v0=0，v∴x∈−∞,0时，当x∈0,+∞则当x∈0,m时，vx当x∈m,+∞时，v又x∈−∞,0时，h则hx则x≠0时，函数fx有三个零点x1,x2∴x1=∴a整理得e2x2−4∴x∴a19．(1)A2(2)531760(3)θ的最小值为8π【分析】（1）利用第一象限渐近线y=x及点An在双曲线E（2）先求出An的一般坐标，再利用双曲线焦点坐标和向量数量积公式求出a（3）先求出2sinαn的最小值，将原不等式转化为cosmθ【详解】（1）由题意，双曲线En的第一象限渐近线为y当n=1时，双曲线E1过点A1作x轴的垂线，交渐近线y=x于点Q再过点Q2作x轴的平行线，与双曲线E2:故点A2的纵坐标为y2=1.代入双曲线方程，得因为点A2在右支上，所以x2>0（2）由构造知，过点An−1xn−1,y再过点Qn作x轴的平行线与双曲线En的右支交于点An又因为点An在