核心素养导向下初中八年级数学《提公因式法》大单元教学设计

核心素养导向下初中八年级数学《提公因式法》大单元教学设计

  一、教学设计的指导思想与理论依据

  本教学设计立足于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养要求，以初中八年级学生的认知发展规律和心理特征为基点，深度融合建构主义学习理论、UbD（理解为本）教学设计理念以及“做数学”的实践哲学。我们摒弃传统教学中将“提公因式法”视为孤立技巧训练的窠臼，而是将其置于“代数式恒等变形”这一宏观知识脉络与“化归”这一根本数学思想方法之下进行重构。

  指导思想上，我们强调三点：第一，知识的结构化。将本课内容与已学的乘法分配律、整数因数分解、同类项合并进行深度关联，构建从“数”的分解到“式”的分解的认知桥梁，形成完整的知识网络。第二，思维的可视化与程序化。通过设计层层递进的探究活动，引导学生经历“观察（识别结构）—分析（确定公因式）—操作（提取变形）—验证（逆向检验）”的完整思维过程，将内隐的数学思维外显为可操作、可反思的具体步骤。第三，素养的渗透化。将数学抽象（从具体算例抽象出一般方法）、逻辑推理（提取的合理性证明）、数学运算（恒等变形的精准执行）等核心素养的培养，无缝嵌入每一个教学环节，实现“教书”与“育人”的统一。本设计秉持“以学生为主体，以问题为驱动，以探究为主线”的原则，旨在让学生不仅掌握“如何提”的操作技能，更深刻理解“为何能提”的算理本质，以及“何时提”的应用策略，为其后续学习分式运算、一元二次方程求解乃至高中阶段的因式分解奠定坚实的思维基础。

  二、教学背景与学情分析

  1.教材内容分析：本课选自湘教版初中数学八年级上册第三章“因式分解”的第一节。因式分解是整式乘法的逆运算，是代数恒等变形的重要工具，在代数体系中承前启后。“提公因式法”作为因式分解最基本、最核心的方法，其掌握程度直接关系到后续公式法、分组分解法等学习成效。教材通常从简单实例引入公因式概念，然后阐述提公因式法的步骤。本设计在尊重教材逻辑的基础上进行深化与拓展，着重揭示其与乘法分配律的互逆关系，并引入系数为分数、负号处理、多项式作为公因式等进阶内容，构建更具挑战性和思维含量的学习阶梯。

  2.学生认知基础：八年级学生已经熟练掌握了有理数的运算、整式的概念、单项式与多项式的乘法运算，特别是对乘法分配律a

(

b

+

c

)

=

a

b

+

a

c

a(b+c)=ab+ac

a(b+c)=ab+ac有深刻理解。同时，他们具备了一定的观察、类比和归纳能力。然而，从“正向”的乘法运算切换到“逆向”的分解思维，对部分学生而言存在认知转折的困难。他们可能将“提公因式”机械地理解为“找相同字母”，而忽略数字系数、指数规律以及多项式整体的识别，尤其在处理负号和需要变号的项时容易出错。此外，学生对于“分解到不能再分解为止”的彻底性要求，以及因式分解结果的规范形式（如单项式因式在前、首项系数为正等）缺乏足够的敏感度。

  3.学习心理与可能障碍：八年级学生抽象逻辑思维正在发展，但仍需具体实例支撑。他们乐于挑战，但面对复杂的多项式时可能产生畏难情绪。主要认知障碍可能包括：（1）概念障碍：难以准确把握“公因式”的内涵，特别是“最大公因式”的概念；（2）符号障碍：处理带负号的多项式时，符号规则的混淆；（3）结构识别障碍：当公因式是多项式或需要变形后方能显现时，缺乏有效的识别策略；（4）思维定势障碍：习惯于从左到右的运算顺序，逆向提取的思维模式需要强化训练才能固化。

  三、教学目标

  基于以上分析，确立如下三维教学目标：

  1.知识与技能目标：

   •准确理解公因式及提公因式法的概念，能识别给定多项式各项的公因式（包括数字系数、相同字母及其最低次幂）。

   •掌握提公因式法分解因式的基本步骤，能熟练运用该方法对简单的多项式（公因式为单项式）进行因式分解，并能通过整式乘法验证结果的正确性。

   •初步掌握当多项式第一项系数为负，或公因式为多项式时的提公因式方法，理解提取公因式后括号内各项符号变化的规律。

   •了解提公因式法在简化计算、解决简单代数问题中的初步应用。

  2.过程与方法目标：

   •经历从具体数字运算到字母表示，从简单实例到一般法则的抽象概括过程，发展数学抽象和归纳能力。

   •通过对比、观察、猜想、验证、表达等一系列数学活动，探索提公因式法的本质，体会“化归”（将多项式化为积的形式）和“逆向思维”（乘法分配律的逆用）的数学思想方法。

   •在小组合作探究与辨析错例的过程中，提升发现问题、分析问题和解决问题的能力，锻炼数学语言表达的准确性和逻辑性。

  3.情感、态度与价值观目标：

   •在探究因式分解与乘法运算互逆关系的过程中，感受数学知识间的内在联系与对称之美，增强学习数学的兴趣和信心。

   •通过克服提取公因式过程中的难点（如负号处理），培养不畏艰难、严谨细致、步步有据的科学态度和思维品质。

   •体会因式分解作为数学工具在简化复杂问题中的价值，初步形成应用数学的意识。

  四、教学重点与难点

  教学重点：提公因式法的概念、本质（乘法分配律的逆运算）及其基本应用步骤。

  教学难点：1.准确、迅速地确定多项式的最大公因式（特别是系数为分数或多项式的情况）。2.当多项式首项系数为负时，正确提取负公因式并处理括号内各项的符号。3.理解因式分解的彻底性要求。

  五、教学准备与资源

  教师准备：

   1.精心设计的多媒体课件，包含动画演示（展示乘法分配律与提公因式的互逆过程）、探究活动指引、阶梯式例题与变式、典型错例分析等。

   2.设计并印制《课堂探究学习单》，包含“温故知新”、“概念生成”、“探究活动”、“巩固提升”、“反思小结”等模块。

   3.准备实物教具或几何画板动态演示，用以直观展示面积、体积等背景下的因式分解意义。

   4.预设课堂提问链、学生可能出现的思维障碍及应对策略。

  学生准备：

   1.复习整式乘法，特别是乘法分配律。

   2.预习教材相关内容，对“因式分解”和“公因式”有初步的感性认识。

   3.准备课堂练习本、彩色笔（用于标注公因式）。

  六、教学过程设计

  第一阶段：创设情境，温故孕新（预计用时：8分钟）

  1.情境导入，感知需求：

   师：同学们，我们之前学习过“因数分解”，比如把整数12分解为3

×

4

3\times4

3×4或2

×

2

×

3

2\times2\times3

2×2×3。在代数中，我们研究“式”。请大家计算这个简单的面积问题：一个长方形，长是(

a

+

b

)

(a+b)

(a+b)，宽是m

m

m，它的面积可以表示为m

(

a

+

b

)

m(a+b)

m(a+b)；如果这个长方形是由两个小长方形拼成，一个面积为m

a

ma

ma，另一个为m

b

mb

mb，那么总面积就是m

a

+

m

b

ma+mb

ma+mb。显然，m

(

a

+

b

)

=

m

a

+

m

b

m(a+b)=ma+mb

m(a+b)=ma+mb。

   （教师用图形动画展示这一过程）那么，反过来，如果给你m

a

+

m

b

ma+mb

ma+mb这个“和”的形式，你能将它表示成一个“乘积”的形式吗？

   生：可以，是m

(

a

+

b

)

m(a+b)

m(a+b)。

   师：很好！这种把一个多项式化成几个整式乘积的形式，就是我们本章要学习的“因式分解”。刚才的变形，就是我们今天要深入探究的——“提公因式法”。（板书课题）

  2.温故知新，建立联系：

   师：请大家回忆，我们非常熟悉的一个运算律——乘法分配律：a

(

b

+

c

)

=

a

b

+

a

c

a(b+c)=ab+ac

a(b+c)=ab+ac。请观察等式的左右两边，从左到右是什么运算？

   生：整式的乘法。

   师：从右到左呢？

   生：……好像是把a

b

ab

ab和a

c

ac

ac中的共同部分a

a

a拿出来了。

   师：精准地说，是“逆用”乘法分配律。这个共同的“a”，就是我们今天要认识的“公因式”。“提公因式法”的本质，就是乘法分配律的逆向运用。这体现了数学中一种非常重要的思想——化归，即把复杂的形式（多项式之和）转化为我们熟悉的、更简洁的形式（几个整式之积）。

  设计意图：从熟悉的数的分解和几何面积入手，创设真实的问题情境，让学生直观感知“因式分解”的存在与意义。通过复习乘法分配律，并刻意强调其“逆用”，为学生搭建新旧知识之间的坚实桥梁，揭示新知识的本质来源，渗透逆思维和化归思想，为概念的正式引出做好充分的心理与认知铺垫。

  第二阶段：合作探究，建构新知（预计用时：22分钟）

  活动一：概念生成——什么是公因式？（预计用时：10分钟）

  探究任务1：请同学们观察以下多项式，找出它们各项都含有的“共同因子”（公因式）。

   （1）3

x

+

6

3x+6

3x+6（2）2

a

2

b

−

4

a

b

2

2a^2b-4ab^2

2a2b−4ab2（3）−

12

x

3

y

2

+

18

x

2

y

3

−

24

x

2

y

2

-12x^3y^2+18x^2y^3-24x^2y^2

−12x3y2+18x2y3−24x2y2

   学生独立观察，小组内交流。教师巡视，关注学生找公因式的依据。

   小组汇报：

   生1：对于（1），3和6的最大公约数是3，字母部分只有x，但第二项没有x，所以公因式是数字3。

   师：很好！说明找公因式要看两方面：数字系数和字母（或因式）。对于数字系数，我们取各项系数的最大公约数。（板书）

   生2：对于（2），系数2和4的最大公约数是2；字母部分，两项都有a和b。a的指数第一项是2，第二项是1，我们取较低的1次；b的指数第一项是1，第二项是2，取较低的1次。所以公因式是2

a

b

2ab

2ab。

   师：非常精彩！不仅考虑了字母，还考虑了指数。对于相同字母，我们取各项中该字母的最低次幂。（板书）

   生3：对于（3），系数-12，18，-24的最大公约数是6（通常取正数）。字母x，最低次幂是2次（看指数3,2,2）；字母y，最低次幂是2次（看指数2,3,2）。所以公因式是6

x

2

y

2

6x^2y^2

6x2y2。

   师：总结得太棒了！我们把一个多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。确定公因式分两步走：一系数，取最大公约数；二字母（或因式），取相同字母的最低次幂。

  活动二：方法探究——如何提公因式？（预计用时：12分钟）

  探究任务2：我们如何将公因式“提取”出来，完成因式分解呢？以2

a

2

b

−

4

a

b

2

2a^2b-4ab^2

2a2b−4ab2为例，公因式是2

a

b

2ab

2ab。

   师：根据乘法分配律的逆运算，我们可以这样思考：2

a

2

b

−

4

a

b

2

=

2

a

b

⋅

(

?

−

?

)

2a^2b-4ab^2=2ab\cdot(?-?)

2a2b−4ab2=2ab⋅(?−?)括号里应该填什么？如何确定？

   生：用原多项式的每一项除以公因式2

a

b

2ab

2ab。

    第一项2

a

2

b

÷

2

a

b

=

a

2a^2b\div2ab=a

2a2b÷2ab=a；第二项−

4

a

b

2

÷

2

a

b

=

−

2

b

-4ab^2\div2ab=-2b

−4ab2÷2ab=−2b。

   所以结果是2

a

b

(

a

−

2

b

)

2ab(a-2b)

2ab(a−2b)。

   师：完全正确！这就是提公因式法的核心操作：用多项式每一项除以公因式，所得的商作为另一个因式。我们可以用以下步骤来规范：（板书或课件展示）

   步骤一：找。找出多项式各项的公因式。

   步骤二：提。将公因式提到括号外面，括号内是原多项式各项除以公因式后的商式。

   步骤三：查。检查括号内的多项式是否还有公因式（分解是否彻底），并用整式乘法验证结果。

  即时演练与辨析（难点突破1）：

   例1：分解因式：（1）8

a

3

b

2

−

12

a

b

3

c

8a^3b^2-12ab^3c

8a3b2−12ab3c（2）−

4

x

2

+

12

x

y

−

8

x

-4x^2+12xy-8x

−4x2+12xy−8x

   学生尝试，教师选取典型解答投影。重点讨论（2）：

   生A解答：−

4

x

2

+

12

x

y

−

8

x

=

−

4

x

(

x

−

3

y

+

2

)

-4x^2+12xy-8x=-4x(x-3y+2)

−4x2+12xy−8x=−4x(x−3y+2)

   生B解答：−

4

x

2

+

12

x

y

−

8

x

=

4

x

(

−

x

+

3

y

−

2

)

-4x^2+12xy-8x=4x(-x+3y-2)

−4x2+12xy−8x=4x(−x+3y−2)

   师：两种结果都对吗？哪种更优？

   引导学生讨论：两种都是正确的，因为−

4

x

(

x

−

3

y

+

2

)

=

4

x

(

−

x

+

3

y

−

2

)

-4x(x-3y+2)=4x(-x+3y-2)

−4x(x−3y+2)=4x(−x+3y−2)。但通常我们约定，当多项式第一项系数为负时，我们倾向于提出负公因式，使括号内多项式的首项系数为正，这样看起来更规整。所以生A的解答是推荐格式。

   师（追问）：提出负公因式时，括号内各项符号如何变化？

   生：要变号。原来是−

4

x

2

-4x^2

−4x2，除以−

4

x

-4x

−4x得x

x

x（正号）；原来是+

12

x

y

+12xy

+12xy，除以−

4

x

-4x

−4x得−

3

y

-3y

−3y；原来是−

8

x

-8x

−8x，除以−

4

x

-4x

−4x得+

2

+2

+2。

   师：总结规律：提取负公因式，括号内各项符号均与原项符号相反。这是符号处理的难点，务必细心。

  设计意图：本阶段是概念与方法形成的核心。通过两个探究活动，让学生亲身经历从具体实例中归纳公因式定义和提公因式步骤的过程，实现知识的主动建构。在即时演练中，特意设置首项为负的例题，引发认知冲突，通过对比辨析，师生共同总结出处理负号的规范，有效突破难点。整个过程强调学生的主体探究与教师的精准点拨相结合。

  第三阶段：深化理解，进阶拓展（预计用时：15分钟）

  活动三：探究特殊形式的公因式（难点突破2）

  探究任务3：观察多项式2

x

(

a

−

b

)

+

3

y

(

b

−

a

)

2x(a-b)+3y(b-a)

2x(a−b)+3y(b−a)，它们有公因式吗？

   学生观察发现，(

a

−

b

)

(a-b)

(a−b)和(

b

−

a

)

(b-a)

(b−a)看似不同。

   师：(

a

−

b

)

(a-b)

(a−b)和(

b

−

a

)

(b-a)

(b−a)是什么关系？

   生：互为相反数，b

−

a

=

−

(

a

−

b

)

b-a=-(a-b)

b−a=−(a−b)。

   师：太棒了！那么，我们可以通过提取负号，将其中一项变形，使它们出现相同的多项式因式。请尝试分解。

   生：2

x

(

a

−

b

)

+

3

y

(

b

−

a

)

=

2

x

(

a

−

b

)

−

3

y

(

a

−

b

)

=

(

a

−

b

)

(

2

x

−

3

y

)

2x(a-b)+3y(b-a)=2x(a-b)-3y(a-b)=(a-b)(2x-3y)

2x(a−b)+3y(b−a)=2x(a−b)−3y(a−b)=(a−b)(2x−3y)。

   师：这里，公因式是多项式(

a

−

b

)

(a-b)

(a−b)。这说明，公因式既可以是一个单项式，也可以是一个多项式。当公因式是多项式时，我们把它看作一个整体来提取。

  探究任务4：分解因式：(

x

−

y

)

3

−

(

y

−

x

)

2

(x-y)^3-(y-x)^2

(x−y)3−(y−x)2

   引导学生发现(

y

−

x

)

2

=

[

−

(

x

−

y

)

]

2

=

(

x

−

y

)

2

(y-x)^2=[-(x-y)]^2=(x-y)^2

(y−x)2=[−(x−y)]2=(x−y)2。所以公因式是(

x

−

y

)

2

(x-y)^2

(x−y)2。

   解：原式=

(

x

−

y

)

3

−

(

x

−

y

)

2

=

(

x

−

y

)

2

[

(

x

−

y

)

−

1

]

=

(

x

−

y

)

2

(

x

−

y

−

1

)

=(x-y)^3-(x-y)^2=(x-y)^2[(x-y)-1]=(x-y)^2(x-y-1)

=(x−y)3−(x−y)2=(x−y)2[(x−y)−1]=(x−y)2(x−y−1)。

   师：注意，这里涉及了幂的运算性质。当互为相反数的多项式出现偶次幂时，它们相等；出现奇次幂时，它们仍为相反数。这是识别此类公因式的关键。

  设计意图：将公因式从单项式拓展到多项式，是学生思维的一次飞跃。通过设计“相反数关系”的典型例题，引导学生学会观察代数式的结构特征，灵活运用“添括号法则”或“幂的运算性质”进行恒等变形，从而“创造”出公因式。这深化了学生对公因式内涵的理解，培养了其观察的敏锐性和代数变形的灵活性。

  第四阶段：巩固应用，分层训练（预计用时：15分钟）

  本环节设计三个层次的练习，满足不同层次学生的学习需求。

  层次一：基础巩固（面向全体）

   1.找出下列多项式的公因式：

    (1)15

a

2

+

10

a

15a^2+10a

15a2+10a(2)−

6

x

2

y

+

9

x

y

2

−

3

x

y

-6x^2y+9xy^2-3xy

−6x2y+9xy2−3xy(3)m

(

x

−

2

)

+

n

(

2

−

x

)

m(x-2)+n(2-x)

m(x−2)+n(2−x)

   2.分解因式：

    (1)12

x

2

y

3

−

18

x

3

y

2

12x^2y^3-18x^3y^2

12x2y3−18x3y2(2)−

5

a

2

+

25

a

-5a^2+25a

−5a2+25a(3)4

x

(

x

−

y

)

−

8

y

(

y

−

x

)

4x(x-y)-8y(y-x)

4x(x−y)−8y(y−x)

  层次二：能力提升（面向大多数）

   3.分解因式：

    (1)2

(

a

−

3

)

2

−

a

+

3

2(a-3)^2-a+3

2(a−3)2−a+3（提示：将−

a

+

3

-a+3

−a+3变形为−

(

a

−

3

)

-(a-3)

−(a−3)）

    (2)3

x

(

x

−

2

)

−

(

2

−

x

)

2

3x(x-2)-(2-x)^2

3x(x−2)−(2−x)2

   4.简便计算：123

×

0.45

+

12.3

×

5.5

123\times0.45+12.3\times5.5

123×0.45+12.3×5.5。（体会提公因式在数值计算中的应用）

  层次三：思维拓展（面向学有余力者）

   5.求证：8

2023

−

8

2022

−

8

2021

8^{2023}-8^{2022}-8^{2021}

82023−82022−82021能被56整除。（提示：先提取公因式8

2020

8^{2020}

82020进行因式分解）

   6.若x

2

+

5

x

+

6

=

(

x

+

2

)

A

x^2+5x+6=(x+2)A

x2+5x+6=(x+2)A，其中A是一个多项式，求多项式A。（逆向思考，理解因式分解与乘法的关系）

  学生独立或小组合作完成。教师巡视，个别辅导，收集典型错误和优秀解法。完成后，针对共性问题（如分解不彻底、符号错误、变形不熟练等）进行集中评讲。

  设计意图：通过分层练习，实现“保底不封顶”。基础题确保所有学生掌握核心方法与步骤。提升题引入需要变形后才能发现公因式的情况，锻炼学生的结构洞察力和变形能力。拓展题链接数的整除性和逆向问题，开阔学生视野，感受数学方法的威力和知识的内在统一性，满足高层次思维发展的需求。

  第五阶段：反思总结，构建体系（预计用时：5分钟）

  1.知识梳理：

   师：请同学们用自己的话说说，这节课你学到了什么？

   引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结：

   •知识：公因式（系数取最大公约数，字母取最低次幂）；提公因式法的步骤（找、提、查）。

   •方法：如何确定公因式；如何处理首项为负的情况；如何将多项式看作整体提取。

   •思想：逆向思维（乘法分配律的逆用）、化归思想（和差化积）、整体思想。

  2.体系构建：

   教师用思维导图进行课堂小结（板书或课件展示）：

   中心主题：提公因式法

   分支一：概念本源（乘法分配律的逆运算）

   分支二：关键步骤（找、提、查）

   分支三：公因式类型（单项式公因式、多项式公因式）

   分支四：注意事项（首项负号要提负、分解彻底要检查）

   分支五：应用价值（简化运算、解决问题）

  3.布置作业：

   •必做题：教材课后练习A组全部，B组第1-3题。

   •选做题：1.探究：如何对多项式a

(

x

−

y

)

+

b

(

y

−

z

)

−

c

(

x

−

z

)

a(x-y)+b(y-z)-c(x-z)

a(x−y)+b(y−z)−c(x−z)进行因式分解？2.搜集生活中或其它学科中可以用提公因式法简化的问题实例。

   •预习任务：阅读教材下一节“公式法”第一部分，思考：平方差公式与因式分解有何联系？

  设计意图：引导学生进行自主反思与总结，是知识内化、能力升华的关键环节。通过学生自述和教师的结构化梳理，将零散的知识点整合成有序的认知结构。作业布置体现分层与开放性，既巩固基础，又激发探究兴趣，并为下一节课的学习埋下伏笔。

  七、教学评价设计

  本课教学评价贯穿始终，采用多元、过程性评价方式。

  1.课堂观察评价：教师通过巡视，观察学生在探究活动中的参与度、合作交流的积极性、提出问题的深度，及时给予口头鼓励和指导。

  2.学习单评价：《课堂探究学习单》是记录学生思维过程的重要载体。教师通过批阅学习单，评估学生对概念的理解程度、探究过程的逻辑性、练习的准确率与规范性。

  3.练习反馈评价：课堂分层练习的完成情况是即时评价教学效果的重要依据。通过对典型正确解法的展示和共性错误的分析，实现评价的反馈与矫正功能。

  4.总结性评价：通过课后作业的完成质量，以及后续单元测验中相关题目的表现，进行阶段性学习成果的总结性评价。

  评价不仅关注结果的对错，更关注思维的过程、数学语言的表达、学习习惯的养成以及克服困难的态度。

  八、板书设计（纲要）

  左侧主板书区：

  核心素养导向：提公因式法

  一、本质：乘法分配律的逆运算

    m

a

+

m

b

=

m

(

a

+

b

)

ma+mb=m(a+b)

ma+mb=m(a+b)

  二、公因式

    1.定义：多项式各项都含有的公共因式。

    2.确定：（1）系数：取最大公约数。

       （2）字母：取相同字母的最低次幂。

  三、步骤（口诀：找、提、查）

    例：−

4

x

2

+

12

x

y

−

8

x

-4x^2+12xy-8x

−4x2+12xy−8x

    找：公因式=

−

4

x

=-4x

=−4x（首项为负提负号）

    提：=

−

4

x

⋅

x

+

(

−

4

x

)

⋅

(

−

3

y

)

+

(

−

4

x

)

⋅

2

=-4x\cdotx+(-4x)\cdot(-3y)+(-4x)\cdot2