华北理工刘鸿文材料力学课件第4章 弯曲内力

第四章弯曲内力§4-1弯曲的概念与实例AB以弯曲变形为主的杆件通常称为梁具有纵向对称面外力都作用在此面内(包括支反力)弯曲变形后轴线变成对称面内的平面曲线

对称弯曲(平面弯曲）_____固定铰支座活动铰支座固定端2§4-2受弯杆件的简化一、支座的几种基本形式：简化原则：最后的计算结果尽可能接近实际二、载荷的简化集中载荷分布载荷集中力偶2简支梁外伸梁悬臂梁FAxFAyFByFAxFAyFByFAxFAyMA三、静定梁的基本形式§4-3剪力和弯矩xⅠⅠLBP2aaAP1FAFBFSMP1axFA梁横截面上的内力分量:剪力FS：分布内力系主矢，方向平行于横截面弯矩M：分布内力系主矩，作用在纵向截面内FSaFBP2L—xMFAP2aaxLⅠⅠABP1FBP1axFSFAMFS

：使保留的分离体产生左上右下变形时为正，反之为负。M:

当梁段的弯曲为向下凸时为正,反之为负。FSaFBP2L—xM剪力:使杆件截开部分产生顺时针方向转动者为正,逆时针方向转动者为负。FSMFSM剪力、弯矩符号规定:左：ΣY=0，FA—FP1—FS1=0Σmc=0，M1+FP1（x—a）—FAx=0右：ΣY=0，Σmc=0，MⅠ+FP2（L—x—a）—FB（L—x）=0剪力等于截面以左（或右）所有横向外力的代数和；弯矩等于截面以左（或右）所有外力（包括外力偶）对截面形心力矩的代数和。例、用截面法求图示梁FSⅠ、

MⅠFAFS1M1FS1aFBFP2L—xM1FP2=2FP1aaxLⅠⅠABFP1FByx解：求反力FP1axcFA左：右：FAFP2=2FP1aaxLⅠⅠABFP1FByx无论左侧或右侧，总是向上的外力产生正弯矩。对水平梁某一指定截面而言：在它左侧的向上外力，或右侧的向下外力，将产生正剪力；FS1M1FS1aFBFP2L—xM1FP1axcFA例：求图示梁I—I、Ⅱ—Ⅱ截面剪力、弯矩解：FSⅠ=—qa，2MI=—qa2右:FSⅠ=

—qa，MI=qa2—a22q—qa2=—a22qⅡ—Ⅱ：FSⅡ=—qa，a22qMⅡ=qa2—=a22q左：IIⅡⅡBACaaI—I：求反力q一、剪力、弯矩方程剪力方程FS=FS（x）弯矩方程M=M（x）二、剪力、弯矩图剪力、弯矩沿梁轴变化规律的图线横坐标——表示横截面沿梁轴线的位置纵坐标——表示相应截面上的剪力或弯矩xxFSxM§4—4剪力方程、弯矩方程剪力图、弯矩图三、实例例1、写出图示梁FS

、M方程,并作FS

、M图二、建坐标系解：一、求反力FB=LP

aFA=LPb三、求FS

、M方程四、画FS、M图CB：LP

aLP

bFS（x2）=FA—P

=—P

=—LP

aM（x2）=FB(L—

x2)

=（L—x2）x1x2abPL+PPbLaPLPbL+PaL—AC：LP

bFS（x1）=FA=LP

bM（x1）=FAx1=x1yAabPxBCLFBFAMxxFS+例2、求FS、M方程，画FS、M图解：一、求反力FA=FB=qL

2二、建坐标系FS（x）=FA—qx=qL

2—qxM（x）=FAx

—（qx）x2三、列方程=qLx2—qx22四、作图M（0）=0M（L）=0qL2+qL2FAABCxLqFBML2（）=qL28MxxFS（令M′（x）=0）qL28写FS、M方程、画FS、M图步骤1、求支反力;2、定坐标（注意分段）;3、列内力方程:在集中力作用处;在M作用处;在q作用的起点、终点截面处;4、画图:判断各段图形状;求控制面内力数值：直线首点末点曲线首点末点极点分段根据x1x2yAabPxBCL约定：q（x）向上为正Σ求导再利用①①②③dxFS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)M(x)+dM(x)q(x)dxCyP1M0P2xq(x)x§4—5载荷集度、剪力和弯矩间的关系一、微分关系abPL+PbL+PaL—yAabPxBCLMxxFS+qL2+qL2ABCLqMxxFSqL28q＝0，Fs=常数，剪力图为直线；M(x)为x的一次函数，弯矩图为斜直线。2.q＝常数，Fs(x)为x的一次函数，剪力图为斜直线；M(x)为x的二次函数，弯矩图为抛物线。分布载荷向上（q>0），抛物线呈凹形；分布载荷向下（q<0），抛物线呈凸形。3.

剪力Fs=0处，弯矩取极值。4.

集中力作用处，剪力图突变；集中力偶作用处，弯矩图突变载荷集度、剪力和弯矩关系：FSFBFAFSFSFS二、q（x）、FS

、M之间的积分关系ab同理，由

梁任意两截面间的剪力改变量等于这两截面之间的梁段上的分布载荷之合力；梁任意两截面间的弯矩改变量等于这两截面之间的梁段上的剪力图的面积例：已知梁FS图，求梁上载荷图与M图解：斜率：0—50=+2q∴q=—25kN/m或E、D间：ΔFS=—100kN/m∴4q=—100kN/m,q=—25kN/mMB—0=—50kNmME—（—50）=50kNmME=0∴50kN50kN100kNq=25kN/m50kN50kN50kNABECD1m1m2m2mxFS+50kNm50kNmMx+微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：

根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。

应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。

建立FS一x和M一x坐标系，并将控制面上的剪力和弯矩值标在相应的坐标系中。

应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNEDCFBA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kN例题：简支梁受力的大小和方向如图示。试画出其剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力求得A、B

二处的约束力

FAy＝0.89kN,FBy＝1.11kN

根据力矩平衡方程

2．确定控制面

在集中力和集中力偶作用处的两侧截面以及支座反力内侧截面均为控制面。即A、C、D、E、F、B截面。

EDCF目录(+)(-)BA1.5m1.5m1.5mFAYFBY1kN.m2kNEDCFM(kN.m)xO

3．建立坐标系建立FS－x和M－x坐标系

5．根据微分关系连图线4．应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩值，并将其标在FS－x和M－x坐标系中。0.891.111.3351.67(-)(-)0.335xFS

(kN)O0.89kN=＝1.11kN（-）（+）解法2：1．确定约束力FAy＝0.89kN

FFy＝1.11kN

2．确定控制面为A、C、D、B两侧截面。

FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDC3．从A截面左测开始画剪力图。

Fs（kN）0.891.11做法２．

4．从A截面左测开始画弯矩图。

M（kN.m）从A左到A右从C左到C右从D左到D右从A右到C左1.3300.330从C右到D左1.665（-）（+）FBYBA1.5m1.5m1.5mFAY1kN.m2kNDCFs（kN）0.891.11从D右到B左从B左到B右1.67(-)(-)0.3351.335qBADa4aFAyFBy例题：试画出梁剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力根据梁的整体平衡，由求得A、B二处的约束力qa2．确定控制面

由于AB段上作用有连续分布载荷，故A、B两个截面为控制面，约束力FBy右侧的截面，以及集中力qa左侧的截面，也都是控制面。C（+）（-）（+）qBADa4aFAyFByqaC3．建立坐标系建立FS－x和M－x坐标系OFSxOMx4．确定控制面上的剪力值，并将其标在FS－x中。5．确定控制面上的弯矩值，并将其标在M－x中。

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa解法2：1．确定约束力2．确定控制面，即A、B、D两侧截面。

3．从A截面左测开始画剪力图。

Fs

9qa/4

7qa/4qa（+）M

（+）

（-）qBADa4aFAyFByqa

Fs

9qa/4

7qa/4qa4．求出剪力为零的点到A的距离。

B点的弯矩为

-1/2×7qa/4×7a/4+81qa2/32=qa2AB段为上凸抛物线。且有极大值。该点的弯矩为

1/2×9qa/4×9a/4=81qa2/325．从A截面左测开始画弯矩图

81qa2/32qa2（-）（-）（+）（+）（-）

Fs例题:试画出图示有中间铰梁的剪力图和弯矩图。解：1．确定约束力从铰处将梁截开qFDyFDyqaFAyFByMAFAyFByqa/2qa/2qaMqa2/2qa2/2BAaqaCaaDqMA目录迭加原理：构件上几个载荷同时作用产生的内力（支反力、应力、位移等）等于各个载荷单独作用时产生的内力(支反力、应力、位移)的迭加。迭加原理适用条件：所求量（如内力）是载荷的线形函数。qFxLq=F+

例4.5题：作图示刚架弯矩图。