安徽省宿州市宿城一中城南学校2025~2026学年高三上学期开学模拟检测数学试卷(附答案)

安徽省宿州市宿城一中城南学校2025~2026学年高三上学期开学模拟检测数学试卷(附答案)一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|ax2=0\}\)，若\(A\capB=B\)，则实数\(a\)的值为（）A.\(0\)或\(1\)或\(2\)B.\(1\)或\(2\)C.\(0\)D.\(0\)或\(1\)2.函数\(f(x)=\frac{\ln(1x)}{\sqrt{x+1}}\)的定义域为（）A.\((1,1)\)B.\([1,1)\)C.\((1,1]\)D.\([1,1]\)3.设\(a=0.6^{0.6}\)，\(b=0.6^{1.5}\)，\(c=1.5^{0.6}\)，则\(a\)，\(b\)，\(c\)的大小关系是（）A.\(a\ltb\ltc\)B.\(a\ltc\ltb\)C.\(b\lta\ltc\)D.\(b\ltc\lta\)4.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(x,4)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，则\(x\)的值为（）A.\(8\)B.\(2\)C.\(2\)D.\(8\)5.函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的图象的对称轴方程可能是（）A.\(x=\frac{\pi}{6}\)B.\(x=\frac{\pi}{12}\)C.\(x=\frac{\pi}{6}\)D.\(x=\frac{\pi}{12}\)6.已知等差数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(a_3+a_4+a_5=12\)，则\(S_7\)的值为（）A.\(28\)B.\(42\)C.\(56\)D.\(14\)7.已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一条渐近线方程为\(y=\frac{3}{4}x\)，则该双曲线的离心率为（）A.\(\frac{5}{4}\)B.\(\frac{5}{3}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(\frac{\sqrt{7}}{4}\)8.若函数\(f(x)=x^33x+a\)有\(3\)个不同的零点，则实数\(a\)的取值范围是（）A.\((2,2)\)B.\([2,2]\)C.\((\infty,1)\)D.\((1,+\infty)\)二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列命题中，正确的是（）A.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，则\(ac\gtbd\)B.若\(ac\gtbc\)，则\(a\gtb\)C.若\(\frac{a}{c^2}\lt\frac{b}{c^2}\)，则\(a\ltb\)D.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，则\(ac\gtbd\)10.已知函数\(f(x)=\cosx\)，则下列结论正确的是（）A.\(f(x)\)的最小正周期为\(2\pi\)B.\(f(x)\)在\([0,\pi]\)上单调递减C.\(f(x)\)的图象关于直线\(x=\pi\)对称D.\(f(x)\)是奇函数11.已知抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦点为\(F\)，过点\(F\)且斜率为\(1\)的直线交抛物线于\(A\)，\(B\)两点，若\(|AB|=8\)，则\(p\)的值可能为（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(4\)D.\(8\)12.已知函数\(f(x)=\begin{cases}2^x,x\leqslant0\\x^2+1,x\gt0\end{cases}\)，则下列结论正确的是（）A.\(f(x)\)的值域为\((0,+\infty)\)B.\(f(f(1))=\frac{5}{4}\)C.若\(f(x)=1\)，则\(x=0\)或\(x=\pm1\)D.\(f(x)\)是单调函数三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知函数\(f(x)=x^2+mx+1\)，若命题“\(\existsx_0\gt0\)，\(f(x_0)\lt0\)”为真，则\(m\)的取值范围是______。14.已知\(\tan\alpha=2\)，则\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}\)的值为______。15.已知球\(O\)的半径为\(R\)，\(A\)，\(B\)，\(C\)为球面上三点，且\(A\)，\(B\)，\(C\)两两间的球面距离均为\(\frac{\piR}{3}\)，则球心\(O\)到平面\(ABC\)的距离为______。16.已知数列\(\{a_n\}\)满足\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2a_n+1\)，则\(a_5\)的值为______。四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）已知函数\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})+\cos2x\)。（1）求函数\(f(x)\)的最小正周期；（2）求函数\(f(x)\)在区间\([0,\frac{\pi}{2}]\)上的最大值和最小值。18.（12分）已知\(\triangleABC\)的内角\(A\)，\(B\)，\(C\)的对边分别为\(a\)，\(b\)，\(c\)，且\(a\cosB+b\cosA=2c\cosC\)。（1）求角\(C\)的大小；（2）若\(c=\sqrt{3}\)，\(\triangleABC\)的面积为\(\frac{3\sqrt{3}}{4}\)，求\(\triangleABC\)的周长。19.（12分）已知数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(S_n=2a_n2\)。（1）求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；（2）设\(b_n=\log_2a_n\)，求数列\(\{\frac{1}{b_nb_{n+1}}\}\)的前\(n\)项和\(T_n\)。20.（12分）如图，在四棱锥\(PABCD\)中，底面\(ABCD\)是矩形，\(PA\perp\)平面\(ABCD\)，\(PA=AD=2\)，\(AB=1\)，\(E\)是\(PD\)的中点。（1）证明：\(PB\parallel\)平面\(AEC\)；（2）求三棱锥\(EACD\)的体积。21.（12分）已知椭圆\(C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)的离心率为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)，且过点\((1,\frac{\sqrt{2}}{2})\)。（1）求椭圆\(C\)的方程；（2）设直线\(l:y=kx+m\)与椭圆\(C\)交于\(A\)，\(B\)两点，\(M\)是线段\(AB\)的中点，直线\(OM\)与直线\(l\)的斜率分别为\(k_{OM}\)，\(k\)，且\(k_{OM}\cdotk=\frac{1}{2}\)，证明：直线\(l\)过定点。22.（12分）已知函数\(f(x)=x\lnxax+a\)，\(a\inR\)。（1）讨论函数\(f(x)\)的单调性；（2）若\(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上有且仅有一个零点，求\(a\)的取值范围。答案一、选择题1.A【解析】\(A=\{x|x^23x+2=0\}=\{1,2\}\)，因为\(A\capB=B\)，所以\(B\subseteqA\)。当\(B=\varnothing\)时，\(a=0\)；当\(B\neq\varnothing\)时，\(x=\frac{2}{a}\)，若\(\frac{2}{a}=1\)，则\(a=2\)；若\(\frac{2}{a}=2\)，则\(a=1\)。所以实数\(a\)的值为\(0\)或\(1\)或\(2\)。2.A【解析】要使函数\(f(x)=\frac{\ln(1x)}{\sqrt{x+1}}\)有意义，则\(\begin{cases}1x\gt0\\x+1\gt0\end{cases}\)，解得\(1\ltx\lt1\)，所以函数的定义域为\((1,1)\)。3.C【解析】对于指数函数\(y=0.6^x\)，因为\(0\lt0.6\lt1\)，所以函数在\(R\)上单调递减，所以\(0.6^{1.5}\lt0.6^{0.6}\)，即\(b\lta\)；又因为幂函数\(y=x^{0.6}\)在\((0,+\infty)\)上单调递增，所以\(1.5^{0.6}\gt0.6^{0.6}\)，即\(c\gta\)，所以\(b\lta\ltc\)。4.B【解析】因为\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow{b}\)，所以\(1\times(4)2x=0\)，解得\(x=2\)。5.D【解析】令\(2x+\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{2}(k\inZ)\)，解得\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}(k\inZ)\)，当\(k=0\)时，\(x=\frac{\pi}{12}\)，所以函数\(y=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的图象的对称轴方程可能是\(x=\frac{\pi}{12}\)。6.A【解析】因为\(\{a_n\}\)是等差数列，\(a_3+a_4+a_5=12\)，所以\(3a_4=12\)，即\(a_4=4\)。则\(S_7=\frac{7(a_1+a_7)}{2}=7a_4=28\)。7.A【解析】双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，已知一条渐近线方程为\(y=\frac{3}{4}x\)，所以\(\frac{b}{a}=\frac{3}{4}\)。又因为\(c^2=a^2+b^2\)，离心率\(e=\frac{c}{a}=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+(\frac{3}{4})^2}=\frac{5}{4}\)。8.A【解析】对\(f(x)=x^33x+a\)求导得\(f^\prime(x)=3x^23=3(x+1)(x1)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，得\(x=\pm1\)。当\(x\lt1\)时，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)单调递增；当\(1\ltx\lt1\)时，\(f^\prime(x)\lt0\)，\(f(x)\)单调递减；当\(x\gt1\)时，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)单调递增。所以\(x=1\)为极大值点，\(x=1\)为极小值点。\(f(1)=a+2\)，\(f(1)=a2\)。因为函数\(f(x)\)有\(3\)个不同的零点，所以\(\begin{cases}f(1)=a+2\gt0\\f(1)=a2\lt0\end{cases}\)，解得\(2\lta\lt2\)。二、选择题9.C【解析】A选项，当\(a=1\)，\(b=1\)，\(c=0\)，\(d=2\)时，\(ac=0\)，\(bd=2\)，\(ac\ltbd\)，所以A错误；B选项，当\(c\lt0\)时，若\(ac\gtbc\)，则\(a\ltb\)，所以B错误；C选项，因为\(c^2\gt0\)，由\(\frac{a}{c^2}\lt\frac{b}{c^2}\)，两边同乘\(c^2\)得\(a\ltb\)，所以C正确；D选项，当\(a=1\)，\(b=0\)，\(c=2\)，\(d=1\)时，\(ac=1\)，\(bd=1\)，\(ac\ltbd\)，所以D错误。10.ABC【解析】函数\(f(x)=\cosx\)的最小正周期\(T=2\pi\)，A正确；\(f(x)=\cosx\)在\([0,\pi]\)上单调递减，B正确；\(f(x)=\cosx\)的图象关于直线\(x=k\pi(k\inZ)\)对称，当\(k=1\)时，对称轴为\(x=\pi\)，C正确；\(f(x)=\cosx\)是偶函数，D错误。11.B【解析】抛物线\(y^2=2px(p\gt0)\)的焦点\(F(\frac{p}{2},0)\)，过点\(F\)且斜率为\(1\)的直线方程为\(y=x\frac{p}{2}\)。联立\(\begin{cases}y=x\frac{p}{2}\\y^2=2px\end{cases}\)，消去\(y\)得\((x\frac{p}{2})^2=2px\)，即\(x^23px+\frac{p^2}{4}=0\)。设\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)，则\(x_1+x_2=3p\)。由抛物线的焦点弦长公式\(|AB|=x_1+x_2+p\)，已知\(|AB|=8\)，所以\(3p+p=8\)，解得\(p=2\)。12.B【解析】当\(x\leqslant0\)时，\(f(x)=2^x\in(0,1]\)；当\(x\gt0\)时，\(f(x)=x^2+1\in(1,+\infty)\)，所以\(f(x)\)的值域为\((0,+\infty)\)，A错误；\(f(1)=2^{1}=\frac{1}{2}\)，\(f(f(1))=f(\frac{1}{2})=(\frac{1}{2})^2+1=\frac{5}{4}\)，B正确；当\(x\leqslant0\)时，由\(2^x=1\)得\(x=0\)；当\(x\gt0\)时，由\(x^2+1=1\)得\(x=0\)（舍去），所以若\(f(x)=1\)，则\(x=0\)，C错误；\(f(x)\)在\((\infty,0]\)上单调递增，在\((0,+\infty)\)上也单调递增，但在\(R\)上不是单调函数，D错误。三、填空题13.\((\infty,2)\)【解析】因为命题“\(\existsx_0\gt0\)，\(f(x_0)\lt0\)”为真，即\(x^2+mx+1\lt0\)在\((0,+\infty)\)上有解。由\(x^2+mx+1\lt0\)得\(m\lt(x+\frac{1}{x})\)在\((0,+\infty)\)上有解。因为\(x+\frac{1}{x}\geqslant2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2\)（当且仅当\(x=1\)时取等号），所以\((x+\frac{1}{x})\leqslant2\)，所以\(m\lt2\)，即\(m\)的取值范围是\((\infty,2)\)。14.\(3\)【解析】\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha1}\)，将\(\tan\alpha=2\)代入得\(\frac{2+1}{21}=3\)。15.\(\frac{\sqrt{6}}{3}R\)【解析】因为\(A\)，\(B\)，\(C\)两两间的球面距离均为\(\frac{\piR}{3}\)，所以\(\angleAOB=\angleBOC=\angleAOC=\frac{\pi}{3}\)。又\(OA=OB=OC=R\)，所以\(AB=BC=AC=R\)。设\(\triangleABC\)外接圆的半径为\(r\)，由正弦定理\(\frac{AB}{\sin\angleAOB}=2r\)，得\(r=\frac{\sqrt{3}}{3}R\)。设球心\(O\)到平面\(ABC\)的距离为\(d\)，根据\(R^2=d^2+r^2\)，可得\(d=\sqrt{R^2r^2}=\frac{\sqrt{6}}{3}R\)。16.\(31\)【解析】由\(a_{n+1}=2a_n+1\)得\(a_{n+1}+1=2(a_n+1)\)，又\(a_1=1\)，所以\(a_1+1=2\)，则数列\(\{a_n+1\}\)是以\(2\)为首项，\(2\)为公比的等比数列。所以\(a_n+1=2\times2^{n1}=2^n\)，即\(a_n=2^n1\)，则\(a_5=2^51=31\)。四、解答题17.（1）【解析】\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})+\cos2x=\sin2x\cos\frac{\pi}{6}+\cos2x\sin\frac{\pi}{6}+\cos2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x+\frac{1}{2}\cos2x+\cos2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin2x+\frac{3}{2}\cos2x=\sqrt{3}(\frac{1}{2}\sin2x+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos2x)=\sqrt{3}\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)。所以函数\(f(x)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)。（2）【解析】因为\(x\in[0,\frac{\pi}{2}]\)，所以\(2x+\frac{\pi}{3}\in[\frac{\pi}{3},\frac{4\pi}{3}]\)。当\(2x+\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2}\)，即\(x=\frac{\pi}{12}\)时，\(f(x)\)取得最大值\(\sqrt{3}\)；当\(2x+\frac{\pi}{3}=\frac{4\pi}{3}\)，即\(x=\frac{\pi}{2}\)时，\(f(x)\)取得最小值\(\frac{3}{2}\)。18.（1）【解析】由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}=\frac{c}{\sinC}=2R\)（\(R\)为\(\triangleABC\)外接圆半径），得\(a=2R\sinA\)，\(b=2R\sinB\)，\(c=2R\sinC\)。将其代入\(a\cosB+b\cosA=2c\cosC\)得：\(2R\sinA\cosB+2R\sinB\cosA=2\times2R\sinC\cosC\)，即\(\sinA\cosB+\sinB\cosA=2\sinC\cosC\)，\(\sin(A+B)=2\sinC\cosC\)。因为\(A+B+C=\pi\)，所以\(A+B=\piC\)，\(\sin(A+B)=\sin(\piC)=\sinC\)。又\(\sinC\neq0\)（\(C\in(0,\pi)\)），所以\(\sinC=2\sinC\cosC\)，解得\(\cosC=\frac{1}{2}\)，因为\(C\in(0,\pi)\)，所以\(C=\frac{\pi}{3}\)。（2）【解析】由余弦定理\(c^2=a^2+b^22ab\cosC\)，得\((\sqrt{3})^2=a^2+b^22ab\cos\frac{\pi}{3}\)，即\(3=a^2+b^2ab=(a+b)^23ab\)。又\(S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}ab\sinC=\frac{1}{2}ab\sin\frac{\pi}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\)，解得\(ab=3\)。将\(ab=3\)代入\((a+b)^23ab=3\)得\((a+b)^2=12\)，所以\(a+b=2\sqrt{3}\)。则\(\triangleABC\)的周长为\(a+b+c=2\sqrt{3}+\s