2026天域全国名校协作体高三10月联考数学（附答案）

2026天域全国名校协作体高三10月联考数学（附答案）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合\(A=\{x|x^23x+2=0\}\)，\(B=\{x|ax2=0\}\)，若\(A\capB=B\)，则实数\(a\)的值为（）A.\(0\)或\(1\)或\(2\)B.\(1\)或\(2\)C.\(0\)D.\(0\)或\(1\)答案：A解析：先求解集合\(A\)，由\(x^23x+2=0\)，即\((x1)(x2)=0\)，解得\(x=1\)或\(x=2\)，所以\(A=\{1,2\}\)。因为\(A\capB=B\)，所以\(B\subseteqA\)。当\(a=0\)时，\(B=\varnothing\)，满足\(B\subseteqA\)；当\(a\neq0\)时，\(B=\{x|ax2=0\}=\{\frac{2}{a}\}\)，若\(\frac{2}{a}=1\)，则\(a=2\)；若\(\frac{2}{a}=2\)，则\(a=1\)。综上，实数\(a\)的值为\(0\)或\(1\)或\(2\)。2.函数\(y=\frac{\ln(x+1)}{\sqrt{x^23x+4}}\)的定义域为（）A.\((4,1)\)B.\((4,1)\)C.\((1,1)\)D.\((1,1]\)答案：C解析：要使函数有意义，则\(\begin{cases}x+1\gt0\\x^23x+4\gt0\end{cases}\)。由\(x+1\gt0\)得\(x\gt1\)；由\(x^23x+4\gt0\)，即\(x^2+3x4\lt0\)，\((x+4)(x1)\lt0\)，解得\(4\ltx\lt1\)。取交集得\(1\ltx\lt1\)，所以函数的定义域为\((1,1)\)。3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,m)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,2)\)，且\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{b}\)，则\(m=\)（）A.\(8\)B.\(6\)C.\(6\)D.\(8\)答案：D解析：因为\(\overrightarrow{a}=(1,m)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,2)\)，所以\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(4,m2)\)。又因为\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp\overrightarrow{b}\)，所以\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\cdot\overrightarrow{b}=0\)，即\(4\times3+(m2)\times(2)=0\)。\(122m+4=0\)，\(162m=0\)，解得\(m=8\)。4.若\(\tan\alpha=2\)，则\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}+\cos^2\alpha\)的值为（）A.\(\frac{16}{5}\)B.\(\frac{16}{5}\)C.\(\frac{8}{5}\)D.\(\frac{8}{5}\)答案：A解析：\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\frac{\cos\alpha}{\cos\alpha}}=\frac{\tan\alpha+1}{\tan\alpha1}\)，将\(\tan\alpha=2\)代入得\(\frac{2+1}{21}=3\)。\(\cos^2\alpha=\frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}=\frac{1}{\tan^2\alpha+1}\)，将\(\tan\alpha=2\)代入得\(\frac{1}{2^2+1}=\frac{1}{5}\)。所以\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha\cos\alpha}+\cos^2\alpha=3+\frac{1}{5}=\frac{16}{5}\)。5.已知等比数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，若\(S_3=7\)，\(S_6=63\)，则\(a_7+a_8+a_9=\)（）A.\(216\)B.\(217\)C.\(218\)D.\(219\)答案：A解析：由等比数列的性质可知\(S_3\)，\(S_6S_3\)，\(S_9S_6\)仍成等比数列。已知\(S_3=7\)，\(S_6=63\)，则\(S_6S_3=637=56\)。设\(a_7+a_8+a_9=S_9S_6=x\)，那么\(7\)，\(56\)，\(x\)成等比数列，所以\(56^2=7x\)，解得\(x=216\)，即\(a_7+a_8+a_9=216\)。6.函数\(f(x)=x^33x1\)，若对于区间\([3,2]\)上的任意\(x_1\)，\(x_2\)，都有\(|f(x_1)f(x_2)|\leqt\)，则实数\(t\)的最小值是（）A.\(20\)B.\(18\)C.\(3\)D.\(0\)答案：A解析：\(f^\prime(x)=3x^23=3(x+1)(x1)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，得\(x=\pm1\)。当\(x\in(3,1)\)时，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)单调递增；当\(x\in(1,1)\)时，\(f^\prime(x)\lt0\)，\(f(x)\)单调递减；当\(x\in(1,2)\)时，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)单调递增。\(f(3)=(3)^33\times(3)1=27+91=19\)；\(f(1)=(1)^33\times(1)1=1\)；\(f(1)=1^33\times11=3\)；\(f(2)=2^33\times21=1\)。所以\(f(x)_{\max}=1\)，\(f(x)_{\min}=19\)。则\(|f(x_1)f(x_2)|_{\max}=|1(19)|=20\)。因为对于区间\([3,2]\)上的任意\(x_1\)，\(x_2\)，都有\(|f(x_1)f(x_2)|\leqt\)，所以\(t\geq20\)，即实数\(t\)的最小值是\(20\)。7.已知双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一条渐近线方程为\(y=\frac{\sqrt{5}}{2}x\)，且与椭圆\(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1\)有公共焦点，则双曲线的方程为（）A.\(\frac{x^2}{8}\frac{y^2}{10}=1\)B.\(\frac{x^2}{4}\frac{y^2}{5}=1\)C.\(\frac{x^2}{5}\frac{y^2}{4}=1\)D.\(\frac{x^2}{4}\frac{y^2}{3}=1\)答案：B解析：椭圆\(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1\)的焦点坐标为\((\pm3,0)\)，所以双曲线中\(c=3\)，即\(c^2=a^2+b^2=9\)。双曲线\(\frac{x^2}{a^2}\frac{y^2}{b^2}=1\)的渐近线方程为\(y=\pm\frac{b}{a}x\)，已知一条渐近线方程为\(y=\frac{\sqrt{5}}{2}x\)，所以\(\frac{b}{a}=\frac{\sqrt{5}}{2}\)，即\(b=\frac{\sqrt{5}}{2}a\)。将\(b=\frac{\sqrt{5}}{2}a\)代入\(a^2+b^2=9\)，得\(a^2+\frac{5}{4}a^2=9\)，\(\frac{9}{4}a^2=9\)，\(a^2=4\)，则\(b^2=5\)。所以双曲线的方程为\(\frac{x^2}{4}\frac{y^2}{5}=1\)。8.已知函数\(f(x)=e^xax1\)，若\(x\)轴为曲线\(y=f(x)\)的切线，则\(a=\)（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(1\)D.\(2\)答案：A解析：设切点坐标为\((x_0,0)\)，\(f^\prime(x)=e^xa\)。则\(\begin{cases}f(x_0)=e^{x_0}ax_01=0\\f^\prime(x_0)=e^{x_0}a=0\end{cases}\)，由\(e^{x_0}a=0\)得\(e^{x_0}=a\)，代入\(e^{x_0}ax_01=0\)得\(aax_01=0\)，即\(a(1x_0)=1\)。又\(e^{x_0}=a\)，所以\(e^{x_0}(1x_0)=1\)。令\(g(x)=e^x(1x)1\)，\(g^\prime(x)=e^x(1x)e^x=xe^x\)。当\(x\lt0\)时，\(g^\prime(x)\gt0\)，\(g(x)\)单调递增；当\(x\gt0\)时，\(g^\prime(x)\lt0\)，\(g(x)\)单调递减。\(g(0)=e^0(10)1=0\)，所以\(x_0=0\)，则\(a=e^{x_0}=1\)。二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，则\(ac\gtbd\)B.若\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}{b}\)，则\(a\ltb\)C.若\(b\gtc\)，则\(|a|b\geq|a|c\)D.若\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，则\(ad\gtbc\)答案：CD解析：A.当\(a=1\)，\(b=1\)，\(c=0\)，\(d=2\)时，\(a\gtb\)，\(c\gtd\)，但\(ac=0\)，\(bd=2\)，\(ac\ltbd\)，所以A错误。B.当\(a=1\)，\(b=1\)时，\(\frac{1}{a}=1\)，\(\frac{1}{b}=1\)，\(\frac{1}{a}\gt\frac{1}{b}\)，但\(a\gtb\)，所以B错误。C.因为\(b\gtc\)，\(|a|\geq0\)，根据不等式的性质，不等式两边同时乘一个非负数，不等号方向不变，所以\(|a|b\geq|a|c\)，C正确。D.因为\(c\gtd\)，所以\(d\gtc\)，又\(a\gtb\)，根据不等式的可加性，\(ad\gtbc\)，D正确。10.已知函数\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，则（）A.\(f(x)\)的最小正周期为\(\pi\)B.曲线\(y=f(x)\)关于点\((\frac{\pi}{3},0)\)中心对称C.\(f(x)\)的最大值为\(2\)D.曲线\(y=f(x)\)关于直线\(x=\frac{\pi}{12}\)对称答案：ABD解析：A.根据正弦函数\(y=A\sin(\omegax+\varphi)\)的最小正周期\(T=\frac{2\pi}{\omega}\)，对于\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)，\(\omega=2\)，所以\(T=\frac{2\pi}{2}=\pi\)，A正确。B.令\(2x+\frac{\pi}{3}=k\pi\)，\(k\inZ\)，解得\(x=\frac{k\pi}{2}\frac{\pi}{6}\)，\(k\inZ\)。当\(k=1\)时，\(x=\frac{\pi}{2}\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{3}\)，所以曲线\(y=f(x)\)关于点\((\frac{\pi}{3},0)\)中心对称，B正确。C.因为正弦函数的值域为\([1,1]\)，所以\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最大值为\(1\)，C错误。D.令\(2x+\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)，解得\(x=\frac{k\pi}{2}+\frac{\pi}{12}\)，\(k\inZ\)。当\(k=0\)时，\(x=\frac{\pi}{12}\)，所以曲线\(y=f(x)\)关于直线\(x=\frac{\pi}{12}\)对称，D正确。11.已知抛物线\(y^2=4x\)的焦点为\(F\)，准线为\(l\)，过\(F\)的直线与抛物线交于\(A\)，\(B\)两点，过\(A\)，\(B\)分别作\(l\)的垂线，垂足分别为\(C\)，\(D\)，且\(|AF|=3|BF|\)，\(M\)为\(AB\)中点，则下列结论正确的是（）A.\(\angleCFD=90^{\circ}\)B.\(\triangleCMD\)是等腰直角三角形C.直线\(AB\)的斜率为\(\pm\sqrt{3}\)D.\(S_{\triangleAOB}=S_{\triangleBOC}\)答案：AC解析：抛物线\(y^2=4x\)的焦点\(F(1,0)\)，准线\(l:x=1\)。设直线\(AB\)的方程为\(x=my+1\)，\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)。联立\(\begin{cases}x=my+1\\y^2=4x\end{cases}\)，得\(y^24my4=0\)，则\(y_1+y_2=4m\)，\(y_1y_2=4\)。由抛物线的定义知\(|AF|=x_1+1\)，\(|BF|=x_2+1\)，又\(|AF|=3|BF|\)，即\(x_1+1=3(x_2+1)\)，且\(x_1=\frac{y_1^2}{4}\)，\(x_2=\frac{y_2^2}{4}\)，可得\(\frac{y_1^2}{4}+1=3(\frac{y_2^2}{4}+1)\)。结合\(y_1y_2=4\)，可解得\(y_1=2\sqrt{3}\)，\(y_2=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)或\(y_1=2\sqrt{3}\)，\(y_2=\frac{2\sqrt{3}}{3}\)。则\(m=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}\)，直线\(AB\)的斜率\(k=\frac{1}{m}=\pm\sqrt{3}\)，C正确。\(\overrightarrow{FC}=(2,y_1)\)，\(\overrightarrow{FD}=(2,y_2)\)，\(\overrightarrow{FC}\cdot\overrightarrow{FD}=4+y_1y_2=44=0\)，所以\(\angleCFD=90^{\circ}\)，A正确。\(M\)为\(AB\)中点，\(M\)到\(CD\)的距离为\(\frac{1}{2}(|AC|+|BD|)=\frac{1}{2}(|AF|+|BF|)=\frac{1}{2}|AB|\)，但\(|CM|\neq|DM|\)，所以\(\triangleCMD\)不是等腰直角三角形，B错误。\(S_{\triangleAOB}=\frac{1}{2}|OF|\cdot|y_1y_2|=\frac{1}{2}\times1\times|2\sqrt{3}+\frac{2\sqrt{3}}{3}|=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)，\(S_{\triangleBOC}=\frac{1}{2}|OC|\cdot|y_2|=\frac{1}{2}\times(\frac{y_2^2}{4}+1)\cdot|y_2|\neqS_{\triangleAOB}\)，D错误。12.已知函数\(f(x)=\frac{\lnx}{x}\)，\(g(x)=xe^{x}\)，若存在\(x_1\in(0,+\infty)\)，\(x_2\inR\)，使得\(f(x_1)=g(x_2)=k(k\lt0)\)成立，则下列结论正确的是（）A.\(x_1e^{x_1}=\frac{1}{k}\)B.\(x_2=\lnx_1\)C.\((x_1+x_2)_{\min}=2\sqrt{e}\)D.\(k\)的取值范围是\((\frac{1}{e},0)\)答案：ABD解析：对于\(f(x)=\frac{\lnx}{x}\)，\(f^\prime(x)=\frac{1\lnx}{x^2}\)，当\(0\ltx\lte\)时，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)单调递增；当\(x\gte\)时，\(f^\prime(x)\lt0\)，\(f(x)\)单调递减，\(f(x)_{\max}=f(e)=\frac{1}{e}\)，且当\(x\to0^+\)时，\(f(x)\to\infty\)，当\(x\to+\infty\)时，\(f(x)\to0\)。对于\(g(x)=xe^{x}=\frac{x}{e^x}\)，\(g^\prime(x)=\frac{1x}{e^x}\)，当\(x\lt1\)时，\(g^\prime(x)\gt0\)，\(g(x)\)单调递增；当\(x\gt1\)时，\(g^\prime(x)\lt0\)，\(g(x)\)单调递减，\(g(x)_{\max}=g(1)=\frac{1}{e}\)，且当\(x\to\infty\)时，\(g(x)\to\infty\)，当\(x\to+\infty\)时，\(g(x)\to0\)。因为\(f(x_1)=g(x_2)=k(k\lt0)\)，\(\frac{\lnx_1}{x_1}=k\)，则\(\lnx_1=kx_1\)；\(x_2e^{x_2}=k\)，即\(\frac{x_2}{e^{x_2}}=k\)，\(\lnx_2x_2=\lnk\)。由\(\frac{\lnx_1}{x_1}=\frac{x_2}{e^{x_2}}\)，\(\lnx_1=kx_1\)，\(x_2e^{x_2}=k\)可得\(x_2=\lnx_1\)，B正确。\(\frac{\lnx_1}{x_1}=k\)，则\(\frac{1}{k}=\frac{x_1}{\lnx_1}\)，\(x_1e^{x_1}=\frac{1}{k}\)，A正确。\(x_1+x_2=x_1\lnx_1\)，令\(h(x)=x\lnx\)，\(h^\prime(x)=1\frac{1}{x}=\frac{x1}{x}\)，当\(0\ltx\lt1\)时，\(h^\prime(x)\lt0\)，\(h(x)\)单调递减；当\(x\gt1\)时，\(h^\prime(x)\gt0\)，\(h(x)\)单调递增，\(h(x)_{\min}=h(1)=1\)，C错误。因为\(k\lt0\)，结合\(f(x)\)和\(g(x)\)的图象，\(k\)的取值范围是\((\frac{1}{e},0)\)，D正确。三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知复数\(z=(a^2a2)+(a^23a+2)i\)（\(a\inR\)），若\(z\)是纯虚数，则\(a=\)______。答案：\(1\)解析：因为\(z\)是纯虚数，则\(\begin{cases}a^2a2=0\\a^23a+2\neq0\end{cases}\)。由\(a^2a2=0\)，即\((a2)(a+1)=0\)，解得\(a=2\)或\(a=1\)；由\(a^23a+2\neq0\)，即\((a1)(a2)\neq0\)，解得\(a\neq1