【8数期中】安徽合肥市第四十五中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

八年级期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1.下列是最简二次根式的是（）A. B. C. D.2.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是A.x≥3 B.x≤3 C.x＞3 D.x＜33.下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（）A.（a﹣1）x2﹣2x＝0 B.x2+＝﹣1C.x2﹣4＝2y D.﹣2x2+3＝04.下面计算正确的是（）A. B.C. D.5.用配方法将方程x2-6x=1转化为(x+a)2=b的形式，则a，b的值分别为（）A.a=3，b=1 B.a=-3，b=1 C.a=3，b=10 D.a=-3，b=106.如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为，，，，则正方形的面积为（）．A. B. C. D.7.已知，则的平方根是（）A. B. C. D.8.已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B.C.且 D.且9.我国政府越来越关注民生问题，按相关部门要求，某种药品连续两次降价，每盒售价由原来的元降到元，平均降价率为（）．A. B. C. D.10.如图，三角板中，，，A、C在数轴上对应的数分别是1和，现将三角板先绕点A顺时针旋转，使边与数轴重合，再将三角板绕点B顺时针旋转，使与数轴重合，最后一直到边与数轴重合，我们称完成了一次“华丽翻转”．依次操作，则三角板从原始位置开始完成2027次“华丽翻转”时，顶点A在数轴上对应的数为（）A. B.C. D.二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11.已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____．12.在直角三角形中，两条直角边的长分别为9和12，则斜边的长为______．13.已知，则的值为___________．14.如图，在三角形纸片中，，，．（1）如图，在中，斜边长为_____．（2）如图，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是_____．三、解答题（本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.计算：（1）；（2）．16.解方程：（1）（2）17.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．（1）在网格图中，以格点为顶点画一个，使三边长，，；（2）求出图中的面积．18.先观察下列各式，然后回答问题．第一个，第二个，第三个，……（1）请写出第4个式子_______．（2）请你将猜测到的规律用含有的代数式表示出来_________．19.如图，是四根长度均为的火柴棒，点A、C、E共线．，，求线段的长度是多少？20.已知中，cm，cm，边上的高是，请画出图形并求出边的长．21.已知关于x的一元二次方程．（1）若方程有实数根，求k的取值范围；（2）若方程有两个实数根为和，且，求k的值．22.直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？23.已知，如图①，在中，，，点D、E分别为线段上两动点，在点D、E运动过程中，始终是．探究线段、、三条线段之间的数量关系．（1）请猜想、、三条线段之间的数量关系，直接写出结果．（2）深入思考：当动点E在线段上，动点D运动到线段的延长线上时，如图②，其它条件不变，（1）中的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．（3）结论应用：若；①在图1中，，求出和的长．②在图2中，若，直接写出：，．八年级期中数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1.下列是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据最简二次根式的定义逐一判断即可．【详解】解：A：，不是最简二次根式，故该选项不合题意；B：的被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意；C：的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，是最简二次根式，故该选项符合题意；D：，被开方数含分母，不是最简二次根式，故该选项不合题意．2.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是A.x≥3 B.x≤3 C.x＞3 D.x＜3【答案】A【解析】【详解】解：由题意得．解得x≥3，故选：A．3.下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（）A.（a﹣1）x2﹣2x＝0 B.x2+＝﹣1C.x2﹣4＝2y D.﹣2x2+3＝0【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．【详解】A.（a﹣1）x2﹣2x＝0，当，原方程为一元一次方程，故该选项不正确，不符合题意；B.x2+＝﹣1，是分式方程，故该选项不正确，不符合题意；C.，是二元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；D.﹣2x2+3＝0，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意．故选D【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握定义是解题的关键．4.下面计算正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二次根式加减乘除的运算法则，分别计算各选项即可．【详解】解：选项A：，∴A错误，该选项不符合题意；选项B：，计算正确，∴B正确，该选项符合题意；选项C：与不是同类二次根式，不能合并，∴C错误，该选项不符合题意；选项D：，∴D错误，该选项不符合题意．5.用配方法将方程x2-6x=1转化为(x+a)2=b的形式，则a，b的值分别为（）A.a=3，b=1 B.a=-3，b=1 C.a=3，b=10 D.a=-3，b=10【答案】D【解析】【分析】已知方程利用完全平方公式配方后，确定出a与b的值即可．【详解】解：方程x2-6x=1，配方得：x2-6x+9=1+9，即（x-3）2=10，则a，b的值分别为-3，10．故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．6.如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，，，的面积分别为，，，，则正方形的面积为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由勾股定理可得，相邻两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积，依次相加即可．【详解】解：如图，在中，，∴，同理可得，，∴．7.已知，则的平方根是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据非负性可得到的值，将的值代入已知式子可求得的值，从而根据平方根的定义求解的平方根．【详解】解：，，，，，，，，，，，的平方根是．8.已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. B.C.且 D.且【答案】C【解析】【分析】根据方程有两个不相等的实数根，说明该方程为一元二次方程，因此需满足二次项系数不为0，且根的判别式，据此列不等式组求解即可．【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，∴，解不等式得，解不等式得，∴的取值范围是且．9.我国政府越来越关注民生问题，按相关部门要求，某种药品连续两次降价，每盒售价由原来的元降到元，平均降价率为（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设平均降价率为，根据两次降价后的价格关系列方程求解即可．【详解】解：设平均降价率为，根据题意，可列方程：，整理，得，解得，（舍去），∴平均降价率为．10.如图，三角板中，，，A、C在数轴上对应的数分别是1和，现将三角板先绕点A顺时针旋转，使边与数轴重合，再将三角板绕点B顺时针旋转，使与数轴重合，最后一直到边与数轴重合，我们称完成了一次“华丽翻转”．依次操作，则三角板从原始位置开始完成2027次“华丽翻转”时，顶点A在数轴上对应的数为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先求出三角板的三边，再画出完成了一次“华丽翻转”的图形，可以发现完成了一次“华丽翻转”点A在数轴上对应的数相当于加上三角板的周长，据此计算即可．【详解】解：由题意知，，，由勾股定理得：，∴，解得：，∴，完成了一次“华丽翻转”后的图形如下：∴完成了一次“华丽翻转”后，点在数轴上对应的数将加上三角板的周长，即，∴三角板从原始位置开始完成2027次“华丽翻转”时，点在数轴上对应的数为：．二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）11.已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值为____．【答案】4【解析】【分析】根据同类二次根式的定义，可知两个最简同类二次根式的被开方数相等，据此列方程求解即可．【详解】解：由题意得，是最简二次根式，也是最简二次根式，二者是同类二次根式，因此被开方数相等，可得解得．12.在直角三角形中，两条直角边的长分别为9和12，则斜边的长为______．【答案】15【解析】【分析】根据勾股定理直接求出斜边的长即可．【详解】解：∵在直角三角形中，两条直角边的长分别为9和12，∴斜边长为：．故答案为：15．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，那么．13.已知，则的值为___________．【答案】1【解析】【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，掌握运用换元法解一元二次方程是解题关键．根据换元法可得一元二次方程，然后运用因式分解法解一元二次方程即可解答．【详解】解：设，则，∴，则或，∴或（舍去）；∴．故答案为：1．14.如图，在三角形纸片中，，，．（1）如图，在中，斜边长为_____．（2）如图，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是_____．【答案】①.②.【解析】【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题关键是利用勾股定理计算斜边长度，结合折叠的性质找到线段等量关系，再通过勾股定理列方程求解。（1）直接利用勾股定理计算的长度；（2）根据折叠性质得到线段和角等量关系，设未知数，利用勾股定理列方程求解的长度．【详解】解：（1）在中，，根据勾股定理：，故答案为：；（2）由折叠的性质可知：，，，在中，，，，设，则，因此，在中，根据勾股定理：，代入，得：，解得，．故答案为：．三、解答题（本题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.计算：（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可；（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可求解．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：．16.解方程：（1）（2）【答案】（1），；（2），．【解析】【小问1详解】解：，整理得，直接开平方得，解得，；【小问2详解】解：，因式分解得，即或，解得，．17.如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点．（1）在网格图中，以格点为顶点画一个，使三边长，，；（2）求出图中的面积．【答案】（1）见解析（2）5【解析】【分析】（1）根据勾股定理画图即可；（2）利用割补法求解．【小问1详解】解：如图，即为所求；，，；【小问2详解】解：的面积．18.先观察下列各式，然后回答问题．第一个，第二个，第三个，……（1）请写出第4个式子_______．（2）请你将猜测到的规律用含有的代数式表示出来_________．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）直接利用已知数据，结合根号内外变化规律得出答案；（2）直接利用二次根式的性质化简得出答案．【小问1详解】∵第一个，第二个，第三个，∴第三个．故答案为：；【小问2详解】第n个式子为：．理由：左边，右边，∴左边=右边，∴．故答案为：．【点睛】此题主要考查了数字变化规律，以及二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．19.如图，是四根长度均为的火柴棒，点A、C、E共线．，，求线段的长度是多少？【答案】．【解析】【分析】作，，垂足分别为G、H，利用证明得到，利用勾股定理及等腰三角形的性质求出，再根据等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】解：作，，垂足分别为G、H，∴，∴，∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，证得是解决问题的关键．20.已知中，cm，cm，边上的高是，请画出图形并求出边的长．【答案】画图见解析，边的长为或【解析】【分析】设边上的高为，先在和中用勾股定理算出和的长度，再分高在三角形内部和外部两种情况，分别用与的和或差求出的长即可．【详解】解：设边上的高为，为垂足，，分两种情况讨论：情况1：高在内部（垂足在线段上），如图所示：在中，，在中，，∴；情况2：高在外部（垂足在的延长线上），如图所示：在中，，在中，，∴，综上，的长为或．21.已知关于x的一元二次方程．（1）若方程有实数根，求k的取值范围；（2）若方程有两个实数根为和，且，求k的值．【答案】（1）（2）k的值为1或2【解析】【分析】（1）一元二次方程有实数根，则，求出k的取值范围即可；（2）将因式分解后分析根的情况，将得到的结果分别代入根的判别式和原方程中即可求出k的值．【小问1详解】解：a=1，b=-2，c=k-1，∵方程有实数根，，．【小问2详解】∵原方程的两实数根为和，且由得，或，当时，代入方程可得，解得k=1；当时，，故k的值为1或2．【点睛】本题主要考查了已知根的情况判断求根公式的取值范围，熟练的掌握求根公式是解题的关键．①时，方程有两个不相等的实数根；②时，方程有两个相等的实数根；．③时，方程没有实数根．22.直播购物逐渐走进了人们的生活．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．（1）若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为多少元？（2）小明的线下实体商店也销售同款小商品，标价为每件62.5元．为提高市场竞争力，促进线下销售，小明决定对该商品实行打折销售，使其销售价格不超过（1）中的售价，则该商品至少需打几折销售？【答案】（1）50元；（2）八折【解析】【分析】（1）设每件的售价定为x元，根据利润不变，列出关于x的一元二次方程，求解即可；（2）设该商品至少打m折，根据销售价格不超过（1）中的售价列出一元一次不等式，解不等式即可．【详解】解：（1）设每件