第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 课时达标-2025-2026学年高一年级下册数学人教A版必修第二册

643第3课时余弦定理、正弦定理应用举例

一.选择题

1.已知轮船A和轮船B在中午12时离开海港C,两艘轮船航行方向的夹角为120°,

轮船4的航行速度是25nmile/h,轮船B的航行速度是15nmile/h,下午2时两船之间的

距离是（）

A.35nmileB.35V5nmile

C.35x/3nmileD.70nmile

2.如图，设两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧的河岸边

选定一点C,测出AC的距离为利,NZMC二则A3两点间的距离为（）

msinamsina

A.B.

sin/?sin(a+F)

Tnsin/?msin(a+0)

C.D.

sin(a+6)sina+sin/?

3.某人在点。测得某塔底8在南偏西80°方向，塔顶A的仰角为45°，此人沿南偏

东40°方向前进10m到D测得塔顶A的仰角为30°,则塔高为（）

A.15mB.5mC.lOmD.12m

4.如图，从热气球A上侧得正前方的河流的两岸的俯角分别为75°,30°,此时

热气球的高是60m,则河流的宽度8C等于（）

、q9

60m

J一一4一一一一一《・J一

DB

A.30(V3+l)mB.120(V3-l)m

C.l80(72-l)mD.240(V3-l)m

5.如图，为测得河对岸塔A8的高，先在河岸上选一点C,使点C在塔底8的正东方向

上，测得点A的仰角为60°,再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置R测得/

80045°，则塔AB的高度为（）

A

A.IOmB.10V2mC.10>/3mD.1O6m

6.有一长为10m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡

面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延K（）

A.5mB.10m

C.lOx/2mD.10V3m

7.如图，某炮兵阵地位于点A,两个观察所分别位于C,D两点.已知△ACO为等边三

角形，且。C=V5km,当目标出现在点B时,测得NCZ）B=45°,N8CQ=75°,则炮兵阵地

与目标的距离约是（）

A

A.1.1kmB.2.2km

C.2.9kmD.3.5km

8.（多选题）如图，在海岸上有两个观测点C,。,。在。的正西方向，距离为2km,在某

天10:00观察到某航船在A处,此时测得NAQG30。，5分钟后该船行驶至8处，此时测

得NACB=60°,/8CZ）=45°,NAOB=60°,则（）

A.当天A:00时，该船位于观测点。的北偏西15°方向

B.当天10:00时，该船距离观测点CV2km

C.当船行驶至B处时,该船距观测点CV2km

D.该船在由A行驶至B的这5min内行驶了6km

二.填空题

9.某观测站。与两灯塔A.B的距离分别为30()m和500m,测得灯塔A在观测站C

北偏东30°方向，灯塔3在观测站C南偏东30°方向，则两灯塔A石之间的距离

为.

10.如图，山顶上有一座电视塔,在塔顶B处测得地面上一点A的俯角«=60°，在塔底

C处测得点4的俯角/?=45°.已知塔高为60m,则山高CO为.

DA

11.如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一座建筑物C。的顶端。对于山坡

的坡度为15°,向山顶前进100m到达8处，测得点。对于山坡的坡度为45°，假设建筑

物CD的高为50m,设山坡对于地平面的坡度为。，则cos0=.

12.如图，在山脚测得山顶仰角NC/W=45°,沿倾斜角为30°的斜坡走1000m至点

S,又测得山顶仰角NOS3=75°,则山高BC为m.

13.如图，位于A处的海上观测站获悉，在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔

船遇险，并在原地等待营救，在A处南偏西30°且相距20nmile的C处有一艘救援船，该

船接到观测站通告后立即前往8处援助，则sinNACB二.

三.解答题

14.海上某货轮在A处看灯塔4在货轮北偏东750方向,距离为1275nmile;在A处

看灯塔C,在货轮的北偏西3()°方向,距离为8V3nmile;货轮向正北由A处航行到D处

时看灯塔5的方位角为12()°,求:

(1)4处与。处之间的距离；

⑵灯塔C与。处之间的距离.

15.如图，一艘海轮从4出发，沿北偏东75°的方向航行20(76-V2)nmile后到达海

岛民然后从B出发，沿北偏东15°的方向航行40&nmile后到达海岛C.如果下次航行

直接从A出发到达C,那么此船应沿怎样的方向航行濡要航行的距离是多少？

16.如图，某观测站。在A城的南偏西20°的方向，从A城出发有一条走向为南偏东

40°的公路，在C处观测到距离。处31km的公路上的8处有一辆汽车正沿公路向A城

驶去,行驶了20km后到达。处，测得CQ两处的距离为21km,这时此车距离A城多少

千米？

643第3课时余弦定理、正弦定理应用举例

一.选择题

1.画出示意图，如图所示，由题意可知/C=120°/C=50,6C=30,由余弦定理/导

AB2=302+502-2x5()x3()x0=490(),得AB=70.

2.在△ABC中,AC=团,/ZMC=a,N8cA=£.

则ZABC=nap.

即sinNA8C=sin(7r-a/)=sin(a+S).

由正弦定理，得上—=々，得A8=卫迫=/^咚.

sinz.ABCsin/?sinz4BCsin<a+/?)

c

3.如图，设塔高为hm,MAB=h,BC=h,BD=V^h,/BCD=120°,CD=10,

由余弦定理，得BD^Bd+c/y^BCCDcos120°,解得〃=10.

C

4.由题意可去程5ch60tan600-60tan(90°-75°)-60(75--60(75-

1+V3

^)=120(73-l)(m).

B

5.依题意,在48。。中,。。二10111,/8。）=105°,/8。。=45°,则/。8。=1800-

45°-105°=30°,

由正弦定理，得.,=—,得BC=cDsm乙BDC=吧*竺一=]0或(m).

sinzBDCsinzDBC,sinzDBCsin30°v7

在RtZUBC中,N3c4=60°,

即AB=BCtanZBCA=l()V2xV3=l()V6(m).

故塔A8的高度为10V6m.

D

6.如图,设将坡底加长到万时，倾斜角为30°,

A

i

在△ABB中,N3'=30°,NB4B=75°-30°=45°,BB=10m.

在△A88'中,由正弦定理，

得3*=汨臂。=w£=io&(m).

故坡底延长10夜m时,斜坡的倾斜角将变为30°.

C

7.A.L1kmB.2.2km

C.2.9kmD.3.5km

ZCBD=180°-ZBCZ)-ZCDB=60°.

"BCD中，由正弦定理，得BD=CDSin75=正出.

sm602

在△A8。中,NAQB=450+60°=105°.

由余弦定理，得AB2=AD2+8Q2-24OBOCOS105°=3+^^+2xV3xx

42

则AB=y/s+2V3u2.9(km).

故炮兵阵地与目标的苑离约是2.9km.

C

8.A项中,N4CD=N4CB+NBCD=6(T+45°=105°,因为C在。的正西方向，所

以A在C的北偏西15°方向，故A正确.

B项中，在ZkAC。中,NACQ=105°,乙4。。=30°,

则NCAD=45°,

由正弦定理，得AC=嘿等=&(km),

故B正确.

C项中，在△8CO中,N8CO=45°,NCO8=/AOC+/AO8=30°+60°=9C°,即/

CBD=45°，则BD=CD=2,于是BC=2^2km,故C不正确.

D项中，在中，由余弦定理，得A4=AC2+BC2_2AC8CCOSNACB=2+8-

2x>/2x2>/2x即AB=nkm,故D正确.

ABD

二.填空题

9.如图所示，在△A8C中,A0300m,^C=500m,Z>4CB=120o.

由余弦定理,

得

AB=、AC2+BC2-2ACBCCOS乙ACB=V3002+5002-2x300x500xcosl20°=700(m).

700m

1().在△ABC中,3C=60m,N/MC=15°,NA3c=30°.

由正弦定理，得AC=60si：：。=30(e+V2)(m),

ol11X0

即CD二ACsin45。=30(73+l)(m).

30(V3+l)m

11.在△ABC中/B=100,NCA3=15°,ZACB=45°-15°=30°.

由正弦定理，得二^=—故BC=200sin15°.

sin30sinl5

在△OBC中,C0=5O,/C3O=45°,ZC£)B=900+0.

由正弦定理，得一四一=20°S%5,

'sin45sin(90+0)

故COS。=V5-1.

V3-1

12.由题意得N5AB=45°-30°=15°,ZABS=45°-(90°-NDS3)=30°,又AS=1

000,

由正弦定理，可得搞1000

sin309

即BS=2OOOsin15°(m),

则8D=8Ssin75°=2OOOsin15°cos15°=1OOOsin30°=500(m),JLDC=\OOOsin

30°=500(m).

从而BC=DC+BD=[000(m).

1000

13.在448。中力8=40/020,/84。=120°.

由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2ABACCOS120°=2800,

得^C=20V7.

V3

I,〒八4E，a.nABsinz.BAC40x-V21

由正弦；L理,得sin/AC8二——B—C——=—20V7=—7•

%

三.解答题

14.

由题意画出示意图.

(1)在△48△中，由已知得NAD8=60°,5=45°？4B=12V6nmile.

由正弦定理，得AD=ARsin45=24(nmile).

sin60

(2)在△ADC中，由余弦定理，得C£>2=AO2+AC2_24).4CCOS30°=242+(8V3)2-

2x24x8gx千二192,故CQ=8V5(nmile).

15.

在△ABC中,AB=20(乃-V2),

BC=4()V2,ZABC=180°-75°+15°=120°.

由余弦定理可得

AC=>JAB2+BC2-2ABBCcosl20°=

J400(泥./y+(40V2)2-2x20(V6-V2)x40A/2x(J)=4073.