2026届湖南省长沙市高三一模高考数学模拟试卷（含答案详解）

长沙市2026年高三年级模拟考试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案

标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题

时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.请保持答题卡的整洁.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知命题P：VX€R,COSX<1,则r?为（）

A.co&v>1B.HreR,cofiv<I

C.HrgR,COST>1D.任R,cosx<1

2.复数三的共挽复数是

1-21

A.1+2/B.1-2/C.-1+2/D.-\-2i

3.已知"6=6,若在ab之间插入3个数与孙巧，使得这5个数成等差数列，则

玉+々+七=（）

A.6B.9C.12D.18

4.'”<0”是“x+，W-2”的（）

x

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.已知椭圆的长轴长、短轴长与焦距依次成等比数列，则其离心率为（）

A.-B.走」C.好」D.在里

5222

（2a-\）x+4a,x<\,、

6.已知函数/"）=02v若/（"是R上的单调递增函数，则实数。的取值范

x—ax+5,xN1

围是（）

［；)

A.（―,1）B.（—J]C.（—.2]D.,+8

222

7.已知某四棱锥的一条侧棱垂直于底面，其底面为平行四边形，且8条棱的长度构成的集

合为{1,贬,6},则满足芸件的四棱锥的个数为（）

注：若两个几何体经过调整位置后重合或者关于某平面对称，算同种形状.

A.2B.4C.6D.8

8.根据预报数据，某港口某一天的水深）’（单位：m）与时间x（单位：h）的关系可以

用函数尸任1W式+5.5来近似描述.现有一艇货船准备在这天4：0（）进入港口并及时卸货,

O

已知该船空船时的吃水深度（船底与水面的距离）为2.5m,在卸货过程中，其吃水深度以

gm/h的速度减少，且安全间隙（船底与海底的距离）为L5m.若要保证该船能在当天安全

8

驶出港口，则其卸货前的吃水最大深度约为（）

A.3.85mB.4.85mC.5.35mD.5.40m

二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的四个选

项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有

选错的得0分.

9.在军训打靶测试中，四位同学各射靶5次，分别记录每次射击所命中的环数.根据这四

名同学射击成绩的统计结果，可以判断出可能出现10环的是（）

A.平均数为8,极差为3B.中位数为8,平均数为8

C.中位数为7,众数为9D.平均数为7,方差为2.4

10.已知函数/（X）的定义域为（―。，0）。（0，+8）,且/（9）=/区+以当X＞1时，

/（x）＞0,则（）

A./（1）=0B./（力是偶函数

C.当—IvxvO时，/（x）＞0D.x=l为/（x）的极值点

11.已知直线/与圆C：（x-5）2+y2=9相切于点P,与抛物线E：9=2x相交于M,N两点，

点厂为抛物线£的焦点.下列说法正确的有（）

A.记点M的横坐标为4,则|孙=冈-4|

B.|何叫的最小值为4

试卷第2页，共4页

C.当点尸在直线x=4的左侧时，MNF的周长为定值9

D.当点P在直线X=4的右侧时，MN产的周长有最小值25

三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.

12.函数/(x)=lan的一个对称中心为.

一1-

13.在VA4C中，AD=^AB,点E为CD中点、.若AC=2,48=3,则4曰。。=.

14.已知点AB,C,力均在半径为拉的球。的球面上，AB±AC,BC=2,AD=A则

四面体£)-ABC的体积的最大值为.

四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.

15.已知VA3C的三个内角A,B,C满足sin8+sin(4-8)=sinC.

⑴求4;

(2)若A8-4C=2,且8c=3,求VA8C的内切圆半径.

16.如图，在三棱锥P-43C中，平面PAC_L平面A4C2PAe是边长为2的等边三角形，

(2)若线段PC上的点。满足直线”与直线8Q所成角的余弦值为圣，求点Q到直线44的

距离.

17.已知A为双曲线C”2一卫=1e>0)的右顶点，过点了(0,。的直线/与双曲线。的左

b“

右两支分别相交于M，N两点.

⑴若直线/的斜率为2,求。的取值范围；

⑵设直线人M,AN分别与>轴相交于P,。两点，若|A刀2=忱丁卜也小求双曲线C的方

程.

18.已知集合U含有〃个元素，其中〃N2,先后两次随机、独立地选取集合U的两个子集,

记为A与》.设X为集合AL8中元素的个数,

⑴若U={l,2},且X=l,请列举所有满足条件的A和6；

⑵求随机变量X的数学期望E(X)；

⑶设尸。=£)在女=相处取得最大值，试建立〃，与E(X)的关系.

19.已知函数/(”)=|111肛@(〃壬0).

⑴若。=1，求/W的最小值；

⑵讨论了(力的单调性；

(3)若/("有旦仅有三个不同零点为“%与，证明：＜+"与＞2/4'+1

\-a

试卷第4页，共4页

I.A

【分析】根据否定的定义求解即可.

【详解】命题T为：HreR,cosx>1.

故选：A.

2.B

【分析】根据复数除法运算，化简鼻，再根据共腕复数的概念即可求得解.

1-2/

【详解】由复数除法运算，化简得

5二5(1+2,)

P2/-(l-2/)(l+2/)

5+10/

5

=1+2/

所以其共貌复数为l-2i

所以选B

【点睛】本题考查了复:数的基本概念和除法运算，共规复数的意义，属于基础题.

3.B

【分析】根据等差数列的性质求解即可.

【详解】因为4%，%为，6成等差数列,

所以内+x3=6,2%=6可得出=3,

所以$+々+占=6+3=9,

故选：B

4.C

【分析】解分式不等式，再由充要条件的概念得解.

【详解】由x2可得丁+2"+咤0,

即(X+匚()，

X

即］(x+l)N0,解得xvo,

x<()

答案第1页，共13页

所以xvO是x+」K-2的充要条件,

故选：C

5.C

【分析】由等比中项的性质及椭圆中〃=/一/，可化为关于离心率的方程，求解即可.

【详解】由题意,2a,242c成等比数列，

所以尸=而，又在椭圆中。2=/—/,

2

所以4-c2=ac，即:+£-1=0,则/+&-1=0,

cfa

解得e=zl±2叵，又0<e<l,

2

所以e=避二1,

2

故选：C

6.B

【分析】利用分段函数的单调性，结合一次函数、二次函数单调性列出不等式组求解..

【详解】由函数/(.1)=,?"一1)"：4丫<1若/(力是R上的单调递增函数，

jr-ar+5,x>1

2。一1>0

得,解得所以实数。的取值范围是J,1].

6a-\<6-a

故选：B

7.C

【分析】作出满足条件的四棱锥，得出答案.

【详解】作出所有可能的四棱锥，如图，

答案第2页，共13页

8.C

【分析】求出水深),与卸货前的吃水深度d的函数关系，由已知结合函数图象，利用导数的

几何意义求解并判断即可.

【详解】依题意，该船空船时不受水深影响，设卸货前的吃水深度为d,在#时的安全水

深为内，

则y=J+1.5-^(x-4)(x>4),令/(x)=JLingx+5.5,xe[4,12],求导得=^^cos-x»

oo88

如图，

当直线丁=〃+1.5-弓*-4)(%24)与曲线)，=/a)相切时，”达到最大值，

O

此时r(x)=Y，则COS?X=-也，由％e[4,12],得白毛，当，解得x=6或x=10,

882822

当x=6时，.f(6)=6.5,"+1.5-弓(6-4)=6.5,解得"=5+[,而/(㈤皿、=5.5+0<d+1.5,

84

不符合题意：

答案第3页，共13页

当x=10时，/(10)=4.5,J+1.5-^(10-4)=4.5,解得d=3+里=5.36,符合题意，

84

所以其卸货前的吃水最大深度约为5.36m.

故选：C

9.ABD

【分析】由平均数、极差、方差、中位数、众数的定义逐项判断即可.

【详解】对于A：平均数为3,总环数为5x8=40,极差为3,若有10环，则最小环数为1()-3=7,

构造组合：7,7,7,9,10,总和为40,极差为3,平均数为8,存在10环，所以A正确；

对于B：构造组合：10,8,8,7,7满足中位数为8,平均数为8,故B正确；

对于C：若出现10环，且众数为9,即由大到小的环数为10,9,9,所以中位数不可能为7,

故C错误；

对于D：若出现10环，由于平均数为7,所以射击环数可为10,7,6,6,6,此时方差为

(S+。"申"I-,，故D正确.

55,

故选：ABD

10.AC

【分析】利用赋值法判断A,利用赋值法及奇偶性的定义判断B,利用所给关系式及奇函数

性质判断C,取满足条件的特殊函数判断D.

【详解】令%二)，=1,则f⑴=2/⑴，解得/⑴=0,故A正确：

令x=y=-1,则/(D=—f(-1)-/(-1)=一2/(—1),解得/(-1)=。，

令则“-月=-/3+止。=一〃耳，可得/⑴为奇函数,故B错误；

X

当0cx<1时，令,=’，则y所以>0,

XX\x)

故有，小Z\结合/⑴=0,则d+fRx)〉。,可得〃x)vo,

而/(M是奇函数，则T<xv0时，fM>0,故C正确；

将/(盯)=^^+^^两边同时乘以冲，得到⑶)=MX%)+W(y),

)，X

可设M'(x)=lnW(xwO),

则/(力=贴，当x>0时，/(.r)=—,贝=

X人A

答案第4页，共13页

当0cx<e时，Z(x)>0,当x>e时，/'(力<0,

可得/(x)在(O，e)上单调递增，在(e,+oo)上单调递减,此时,%=1不为/(劝的极值点,故D

错误.

故选：AC

11.AC

【分析】选项A利用网的切线长求法和两点距离公式求解；选项B结合梯形中位线等几何

关系，分析极限情况判断；选项C与D利用抛物线定义表示三角形周长，结合点P的不同

位置讨论即可.

【详解】由题意可得

M=2Tpe『=J(4-5n-9=J(”5>—2.%—9=|.rw-4|,

可知选项A正确.

如下两图所示，过点用，作直线入=4的垂线，垂足为耳，

作准线工=一;的垂线，垂足为H?；过点N,作直线x=4的垂线，垂足为

根据左图，当点尸在直线“4的左侧时，可知+为直角梯形也N的

中位线长的两倍.

若M,N在九轴的两侧时，|例N|有最小值为4；

若M,N在x轴的同一侧时，当Xp-4时，|加»10,即选项B错误.

如左图，根据以上证明，可知眼耳=眼闻,|必二加%|；

再根据抛物线定义，可知|Mr|二pW勾,|NF|=|N〃4|.

答案第5页，共13页

从而aMN厂的周长为I“也|+|〃3%|=24-[-g）=9,即选项C正确.

如右图，当点P在直线工=4的右侧时，同理可得|MF|+|Nq-|知凶=9.

若M,N在x轴的两侧时，而+为直角梯形的中位线长的两

倍，

则|M/V|有最小值为8,此时，则的跖的周长为9+2|MN|,其最小值为25；

若M,N在x轴的同一侧时，当巧4时，/的周长趋于9,

此时不存在最小值，即选项D错误.

故选：AC.

12.（-1,0）（不唯一）

【分析】根据正切型三角函数的对称性求解即可.

【详解】令+f=&不（ZeZ）,

44

解得x=4攵-1,当攵=0时，x=-l,

所以〃x）=tan（*，的一个对称中心为（-L0）.

故答案为：（-1,0）（不唯一）

13.——■##—1.5

2

【分析】根据向量的线性运算，以及数量积的运算律即可求解.

【详解】如图，

所以AO=1,

又点E为CD中点,

所以AE=g（AD+4C）,又CO=AO—AC，

答案第6页，共13页

所以A£CO=g（AQ+AC）（AQ—AC）=；（A£/—AC）=g（r-22）=—T.

3

故答案为：-万

14.2

6

【分析】利用直角三角形条件及基本不等式确定底面三角形面积的最大值：然后通过球面几何与

余弦定理分析定点距离约束下动点的轨迹特征，再结合对称性确定点到底而距离取最大的几何位

置：最终将面积与距离的最值结合，求出四面体的最大体积.

【详解】如图所示，由题意可知，点A在以BC为直径的截面圆。'上运动，

则AB2+AC2=4,可得S.或=gA4•ACK；（A8?+AC?）=1,

当且仅当==0时取等号.

连接OAOO,在6ao中，AD=AQA=OD=6,

由余弦定理可得cos/Q4Q=立，

2

则点。的轨迹是以直线04为中心轴的圆锥与该球面的截面圆E,

其半径OE=#sinNOAE=等,且AE=V^cosNOAE=半.

当A8=4C时，（5.K）侬=1，此时过点。，作OHJ•平面A8C于点”.

根据对称性，垂足，必在AO上，易知NOAO=45。，则/DV/=75。.

当点。到平面A8C的距离最大时，=AD-sin750=三亚，

2

故四面体。-A8c的体积的最大值为：VDABC=--SABC-DH=-X\X^^-=^^-

D-ABC3ABe326

故答案为：止叵

6

答案第7页，共13页

【分析】(1)由三角恒等变换化简即可得解：

(2)利用余弦定理可得〃+c=J5i，再由三角形的面积公式列出方程，即可求出内切圆的半径.

【详解】(1)由sin8+sin(A-8)=sinC,可得sin8+sin(A-8)=sin(A+8),

即sinB+sinAcosB-cos力sin8=sinAcos8+cosAsinB，化简可得sin8=2cosAsinB,

由sin4w0可得cosA=一，

2

又Aw(0,7t),故A=1.

(2)记VABC的角AB,C所对的边长分别为。，所c,

由A8AC=2，可得|A3||AC|cos4=2,则/>c=4,

由余弦定理可得=h'+c2-2bccosA

If

因为A=5,所以.2=〃2十°2一反、，

2

乂6+c、2=(b+c)-2bct故/=s+c)2-3从，

而a=3,be=4,可得力+c=5/27.

设VA8C的内切圆半径为「，则S八8c=J〃csinA=J(a+b+c)r,

4也

可得,力csinA*2V7-V?,

(1+b+c3+5/2?2

故NABC的内切圆半径为ST.

2

16.(I)证明见解析

⑵我

4

【分析】(1)由面面垂直的性质，可得平面P4C,据此可得线线垂直；

(2)建立如图所示空间直角坐标，根据异面直线所成的角求出点Q的坐标，再由点到直线的距

离公式求解即可.

【详解】(1)在VABC中，AC=2.AB=2>/2,ABAC=45°,

由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2-2ABMCcos45°=4,

则3C=2,所以有6c2+A02=A42,则8CJ_AC.

由平面PAC_L平面ABC,平面PAC、平面A8C=AC,

答案第8页，共13页

且BC_L4C,BCu平面48C,则4c_L平面PAC,

又~4u平面幺C,则BCJ_E4.

(2)取4cA3中点分别为QM,连接OP,OM.

由..Q4C为正三角形知，OP_LAC,

结合(1)中8C_L平面尸AC,由OM//BC,可知OM_L平面PAC,则AC,0M,02两两垂直,

如图所示，以。为原点，O4OMQP分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系,

则41,0,0)((7,0.0),8(-120),尸(0,0,6)，

可得CP=(l,0,V5),A尸=(-1,0,百),48=(-2,2,0).

设C0="P=,O,6l)(OK；lKl),则°卜-1,0,石矶且80=(4-2,&),

，八八八4P/3022

可得cosAP,BQ=——=——]、.

\AP\]BQ\2xJ4T+4

由cosAP.3Q=且，解得或％=(舍去)，

1022

17.(1)(2,+a>)

(2)X2-/=1

【分析】(1)设直线/的方程并与双曲线方程联立，根据直线与双曲线左右两支相交的条件列不

等式;

(2)设直线/的方程并与双曲线方程联立，求直线AA/、AN与y轴交点尸、Q的坐标，利用

答案第9页，共13页

|AT|2=|P7TIQFI列方程.

【详解】(1)设直线/的方程为y=2x+/,

代入双曲线方程炉—£=1并化简得(〃-4)x2—4“一(『+/)=。，

因为直线/与双曲线左右两支分别相交，所以方程有一正一负两个实根，

所以//一4/0,一£+')<0,

b2-4

由于r+从>o,故从一4>0,解得人>2：

(2)由题意可知直线/的斜率存在，设直线/：)，=履+Z，MJ%).

联立直线与双曲线方程：/—好等=]=(从_攵2*_2垢—(/+/)=(),

由韦达定理：4+.%=„&=_)+；

b--k~b~-k~

由题意知，直线/与双曲线左右两支分别相交，所以不/〈。，得女2</.

直线AM的方程为丁=°、。-1),令x=0得P(。，一一1)；

x1-1x(-1

直线AN的方程为)，="、*-1),令工=。得。(0,一一左7).

x2-Ix2-1

又因为T(0,r),所以|尸7|二--A--rw=

西一13

小、,/八〜口IDTII再伏+,)1ICTI匹(々+力

代入)1=句+1、y2=kx2^-t,化间得IPU=-j-----JQ^I=-----—,

I不一1II七一1।

仪+，)飞川

因此网m

|(x.-l)(x2-l)|

其中(％-1)(&-1)=%/-a+W)+1二1十刈

/.\2b2+t2

所以师刀=

(…)2

b2-k2

P12

22

又因为|47?=^(l-O^+fO-/)-=l+r,^.\AT^=\PT\-\QT\t

所以1+产=产+",解得b=l,

所以双曲线。的方程为//=!.

答案第10页，共13页

18.(I)答案见解析

(3)答案见解析

【分析】(1)根据新定义求解即可；

(2)分类讨论，根据随机变量X服从二项分布，利用期望公式求解即可；

(3)列出不等式组，求出，〃取值范围，分类求加与石(X)的关系即可.

【详解】(1)由题意，A=0,B={1}：A={1},B=0：A=0,8={2}：A={2},B=0：

/4={1},£?={1}：A={2},8={2}.

(2)根据集合U的子集个数，可知集合人的可能情况有2"种；同理，集合8也可能有2"种.

因此，两集合的所有可能情况数为2"x2"=4".

X的所有取值为04，，，?.

当X=k(k=0,l,…时，先从〃个元素中选出&个元素，记为七(i=L2,・,,％),有C：种可能

情况；

对于这4个元素中的每个元素.(i=l,2,5),满足演w/UB时，

只可能满足加居cHAJCACA这三种情况之一，有3A种可能情况.

因此，事件“X=A(&=(),1,…的所有可能情况数为c：3",则P(X=A)=±"-

由p(x=+¥=需J(『，可知X~B[,£],则E(X)号

(3)若m=0,由P(X=0)=*,P(X=I)=^,则P(X=l)>P(X=0),矛盾.

邛-1丁

若〃?二〃，由p(x=〃-l)=一P(X=〃)=一可知，当,?=2时，满足

尸(X=〃-l)〈尸(X=〃)：

当〃23时，满足P(X=〃一1)2P(X=〃).

P(X=m)>P(X=m-i)

若14〃?<〃，III即《

P(X=ni)>P(X=m+\)

3C">C"i3〃一l3/i+3

叫nn,解得丁金三

4

答案第11页，共13页

E（X\n=4j

E（X）+-,n=4j+\

从而，〃?=，E（X）+；,〃=4J+2，其中,为自然数.

I3

E（X）-：或E（X）+j,〃=4J+3

19.(1)1

(2)答案见解析

(3)证明见解析

【分析】(1)利用导数求出函数的单调性，利用单调性求函数最小值:

(2)对参数〃分类讨论，利用导数求函数的单调性：

(3)转化为证明ln%>』五-三，再转化为证明不等式：占〉;利用函数单调性得证.

x22\X2xj\-a

【详解】(1)函数/*)的定义域为(。,+8).

当o<xvi时，/'(x)=一'--^二一^^：

\'AX2厂

当时，—~

XXX

若4=1,当xe(O,l)时，f(x)=-\nx+~,可得/(X)单调递减；

当—)时,ra)=?>o,可得r(x)单调递增,

故f(x)的最小值为/⑴=1.

⑵当xe(O』)时，/(x)=-lnx+p若aW-1,广")>0,则单调递增，

若一IvavO,当xw((),-a)时，x+a<0,即/'(幻>0,则/(用单调递增：

当xe(-a,l)时•，工+。>0：即/'(幻<0,则f(x)单调递减.

若〃>0,/VX0,则八功单调递减.

当—)时,若"0,roo,则/(X)单调递增；

若OvaMl,/W>o,则/*)单调递增；

若a>l,当XE(1M)时,/V)<0,则/(%)单调递减:

当xc(a,+oo)时，/'(幻>(),则/*)单调递增.

综上所述，当a