第20章 勾股定理（单元培优卷）解析版-2025-2026学年人教版八年级数学下册

第20章勾股定理（单元培优卷）

一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分，共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目

要求）

1.（25-26八年级上•湖南邵阳•期末）下列四组数：①0.3,040.5；②7,24,25；③9,40,41；

④4,5,6,其中是勾股数的有（）

A.4组B.3组C.2组D.1组

【答案】C

【分析一】本题考查了勾股数的定义：满足/+从=。2的三个正整数〃、b、。称为勾股数.

根据勾股数的定义依次验证四组数是否符合定义即可.

【详解】解：团①组的数0.3,040.5不是正整数，

团①不是勾股数，

团②组中，72+24=49+576=625,25i-625,g|J72+242=252»且7、24、25均为正整数，

团②是勾股数，

团③组中，92+402=81+1600=1681,412=1681,BP92+402=412,且9、40、41均为正整数,

回③是勾股数，

团④组中，42+52=16+25=41,6?=36,41H36,

团④不是勾股数，

综上，是勾股数的有2组，

故选C.

2.（25-26八年级上•山西临汾・期末）如图，网格中小正方形的边长均为1,点A,B,C,。都在

格点上，以点A为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点E,连接AE,则CE的长为（）

生…:一兴

A.IB.3C.3-45D,加

【答案】C

【分析】本题考查/勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，由题意可得AE=A8=3,然后通过

勾股定理求出DE=V5即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键.

【详解】解；由题意可得，ZAZX?=90°,AE=AB=3,

^AD2+DE2=AE2^AD=2,

^22+DE2=32,

团OE=6，

eCE=CD-DE=3-逐,

故选：C.

3.在RtZXABC中，ZC=90°,NA,4B,/C的对边分别是“，b,c,若a+/?=14cm,c=10cm,

则Rt4/WC的面积是（）

A.24cm2B.36cm2C.48cm2D.60cm2

【答案】A

【分析】根据题意可知，Rt4/WC的面积为g而，结合已知条件，根据完全平方公式变形求值即可.

【详解】解：RtZVlBC中，ZC=90°,/A,NB,，C所对的边分别为a,b,c,

a2+b2=c2，

04z+/?=]4cm,c=10cm,

团=（。+Of-（/+〃）=（4+of-02=142一i02=96（cm?）,

・•・S,咏=；必=；*当=24®2）,故A正确.

乙乙乙

故选：A.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式变形求值，解题的关键是将完全平方公式变形求

出ab的值.

4.（25-26八年级上•河南周口・期末）如图所示是古代工匠们使用的名为“矩尺〃的测量工具，这种工

具的形状类似于一个直角三角形.若“矩尺〃的一条较短的直角边长为5尺，斜边比较长的直角边多1

尺，则“矩尺”的较长直角边的长为（）

5尺

?尺

A.12尺B.13尺C.24尺D.26尺

【答案】A

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用.在一个直角三角形中，两条直角边分别为。、儿斜边为

c,那么/+6=。2.根据勾股定理列出方程，进行计算即可.

【详解】解：设“矩尺”的较长的直角边的长为X尺，则斜边长为（X+I）尺，根据勾股定埋得:

52+x2=（x+l）2,

解得：x=\2,

即"矩尺"的较长的直角边的长为12尺，

故选:A.

5.（23-24八年级上•全国.课后作业）下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）

【答案】B

【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法.根据各个图象，利用

面积的不同表示方法，列式证明结论/+/=。2,找出不能证明的那个选项.

【详解】解：A.（34X1〃+C2=3+》）2,整理，得片+/=/,即能证明勾股定理，故本选项不符

2

合题意；

B.根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意.

C.回4x1而+S-。）2=。2.团整理，得/+〃=/,即能证明勾股定理，故木选项不符合题意；

D.团］力+3/+3"=；（4+6）（〃+与，整理，得/+从=°:,即能证明勾股定理，故本选项不符合

题意；

故选：B.

6.（25-26八年级上•重庆•月考）一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，如果梯

A.4米B.6米C.8米D.15米

【答案】C

【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中

正确的使用勾股定理求CE的长度是解题的关键.

根据梯子长度不会变这个等量关系，利用勾股定理，即可解题.

【详解】解：由题意知AC=A'U=25米，BC=1米,/VV=4米,

在直角VAAC中，人C斜边，

八"=〃。2-2=24米,

己知A4'=4米，贝IJ48=24—4=20米，

在直角△ABC中，

BC=SCC-A®=15米,

比'=15-7=8米.

故选：C.

7.（25-26八年级上•内蒙古包头•月考）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解

决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一.如图，当秋千静止时，踏板8离地的垂直高

BE=0.8m,将它往前推3m至。处时（即水平距离C£>=3m）,踏板离地的垂直高度CF=2.6m,

它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是（）.

A.3mC.3.4mD.3.6m

【答案】C

【分析】本题主:要考查了勾股定理的实际应用，将实际问题转化为勾股定理问题是解题的关键.

设AC=X,则A8=AC=x,故4)=48-BZ)=x-1.8,在Ri,4X?中利用勾股定理求解即可.

【详解】解：由题意可知Cr=2.6m,BE=0.8m,

回8。=1.8,

设AC=x,则4B=AC=x,

^AD=AB-BD=x-\.S,

在Rt二ADC中，AD2+CD2=AC2，

0(X-1.8)2+32=X2,解得：x=3.4.

国绳索AC的长是3.4m.

故选；c.

8.(25-26八年级上•江西九江•期中)在平面直角坐标系中，已知点4(-3,1),B(l,3),则下列结论

上错误的是()

A.ZAOB=90°B.AB2=AO2+BO2

C.AO=80D.AB=2厢

【答案】D

【分析】本题考查平面直角坐标系中两点间距离公式，解题的关键是准确运用公式计算线段长度.

根据两点间距离公式计算A8的长度，然后逐一分析选项.

【详解】解：根据两点间距离公式d=](%f>+(J'?一了,已知A(一3」)I(],3),则：

AB=V(l-(-3))2+(3-l)2=2百,

AO=J(_3_0)2+(1-0)2=7^71=后,

BO=J(1-0)2+(3-0尸==Vio，

A、AO2+BO2=(Vio)2+(Vio)2=2(),AB2=(2>/5)2=20,所以AOz十.ZAO/?=90°.该

选项正确.；

B、由选项A可知八4=AO?+30?,该选项正确；

C、AO=M,8O=Ji6,所以47=80,该选项正确；

D、AB=2逐62回,该选项错误.

故选：D.

9.(25-26八年级上•福建泉州•期末)如图，三棱柱每个侧面都是长方形，其高为5cm,底面为直角

三角形，其直角边长分别为次m,4cm,围绕三棱柱的侧面，从顶点A到顶点/V镶有一圈金属丝，

则这圈金属丝的长度至少为()

B.13cmC.12cmD.y/14cm

【答案】R

【分析】本题考查了三棱柱的侧面展开图，两点之间线段最短，勾股定理.将三棱柱侧面展开得出

矩形，求出矩形对角线的长度即可.

【详解】解：如图为三棱柱的侧面展开图,

团底面为直角三角形,其直角边长分别为3cm,4cm,

团斜边长为732+42=5cm,

13AB=3+4+5=12cm,A3=5cm,Z48A'=90。，

^AA'=ylAB2+ArB2=7122+52=13（cm）,

故选:B.

10.（25-26八年级上•四川成都•期末）如图，在,A6C中，4CB=90。，D为边43的中点，E、F

分别为边AC、8c上的点，且=BF=BD.若。七=2&，DF=6,则线段A3的长度

为______________.

【答案】2扃

【分析】延长尸力到M,使得DM=O尸=6,连接AM、EM,过点E作EN_LOF于点N,先证明

ZEDF=45°,再证明,得BF=AM=BD=AD=AE，ZMAD=/B，然后证

明一AEM是等腰直角三角形，则HW=J£AM，在R/中求出£“，即可解决问题.

【详解】解：如图，延长O到“，使得DW=£>尸=6,连接AA1、EM,过点上作EV_L£>F于点M

P1ZC=9O°,

(3N84C+/8=9()。，

13AE=AD,BF=BD,

^ZAED=ZADE,/BDF=NBFD，

团2ZAPE+N班。=180。，2"OF+N8=I8。。，

02ZADE+2ZBDF=270°,

0NADE十乙BDF=135°,

0ZEDF=180。-(4出陀+NBDF)=45°,

团/£M)=90。，DE=2叵,

ENEDF=NDEN=45。,

由EN=DN=2,

配>为边AA的中点，

团人。=A/D,

在和一以昭中，

AD=BD

<ZADM=NBDF,

DM=DF

团JOM0_8O*SAS),

^BF=AM=BD=AD=AE,NM4O=NB.

0ZM4E=ZA14Z)+ZBAC=9Cio,

肌是等腰直角三角形，

^EM=y/2AM，

在Rh.EMN中,EN=2,MN=DM+DN=6+2=8,

0EM=yjEN2+MN2=>/22+82=25/17，

团AM-V34,

团A8=24M=2后.

故答案为：2国.

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等边对等角、等腰直角三带形的判

定与性质等知识，添加辅助线构造Rt.EMN以及倍长中线构造全等三角形是解题的关键.

二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)

11.(25-26八年级•上海•假期作业)如果点尸(。,3)与点0(2,2)的距离等于相，那么。的信等于

Q

［答案］。或-M

【分析】本题主要考查两点间的距离公式，掌握已知人.)［),8(电,必)，则

22

AB=7(x2-x,)+(y2-yi)是解题的关键.

根据两点间距离公式列出方程，平方后化简求解即可.

【详解】rh点P(〃,3)和点2(2,-2a)的距离为历，

得J(2-a)?+(-2〃-3f=相,

两边平方,得(2-4+(-2a-3)2=13,

展开并整理：(4-4。+/)+(4/+12a+9)=l3,

5/+8〃+13=13,

5/+8〃=0,

a(5a+8)=0,

解得。=0或"=经检验均符合题意.

故答案为：。或-力.

12.(21-22八年级卜.・北京海淀•期中)对角线互相垂直的四边形叫做“垂美〃四边形，现有如图所示"垂

美〃四边形A8CD,对角线AGBD交于点、O,若A8=6,CD=10,则">:+8。2=.

【答案】136

【分析】在放明0C和RrfMO。中，根据勾股定理得，8O2+CO2=CB2,OD1+OA1=AD1,在汽他108

和/?/0co。中，根据勾股定理得，RO2+AO2=AB2,OD1+OC2=CD2,进一步得

BO1+CO-+OD1=36+100,最后求得人少+甫=136.

【详解】解：・・・8OJLAC,

:"COB=ZAOB=ZAOD=ZCOD=骄,

在心鼬0C和阳aAOQ中，根据勾股定理得，BO2+CO2=CB\OD2+OA2^AD2,

在a和即0CQD中，根期勾股定理得，BO2+AO2=AB2,OD2+OC2=CD2,

BO2+CO2+OA2+OD2=36+100,,

1212

/.AD+CB=BO+CO+0A?+OZ）2=i36.

故答案为：136.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理在实际问题中的应用，从题中抽象出勾股定

理这一数学模型是解题关键.

13.（25-26八年级上•福建泉州•期末）《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中

国传统数学的基本框架.其中记录的一道“折竹抵地"问题："今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，

问折者高几何？〃题意是：一根竹子原高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根

4尺，则折断处离地面的高度为尺.

【答案】4.2

【分析】本题考查了勾股定理的应用，设折断处离地面x尺，根据勾股定理建立方程即可求解，熟

练掌握勾股定理是解题的关键.

【详解】解：设折断处离地面x尺，

根据题意可得：X2+42=（10-X）2,

解得：x=4.2,

故答案为：4.2.

14.（25-26八年级上•四川成都・期末）如图所示为一楼梯的侧面示意图，其中垂直高度8C=5米，

斜边长八8=13米，楼梯的宽度为3米.现需在楼梯的所有台阶表面铺设地毯，要求地毯完全覆盖每

个台阶的水平踏面和垂直竖面，则铺设整个楼梯至少需要平方米的地毯.

【分析】本题考查勾股定理的应用.根据勾股定理求出人C的长度，再计算出楼梯铺地毯的总长度,

进而求出所铺地毯的面积即可.

【详解】解：在VA3C中，ZACB=90°,BC=5米，A3=13米，

由勾股定理得，AC=dAB?-BC?=，132-52=12米，

在楼梯上铺地毯需要的长度为AC+BC=12+5=17米，

需要铺地毯的面积为17x3=51平方米，

故答案为：51.

15.(25-26八年级上•浙江温州•月考)一艘轮船从海面上4地出发，向南偏西40。的方向行驶40海

里到达B地，再由8地向北偏西50。的方向行驶30海里到达C地，则A,。两地相距为海里.

【答案】50

【分析】本题考查了方向角，勾股定理，由题意可得/D48=40。，ZCBE=50°,A8=40海里，BC=30

海里，ADBE,则N48E=ND48=40。，求出NA8c=9()。，再由勾股定理计算即可得出结果，

熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键.

【详解】解：如图：连接AC，

由题意可得：ZDAB=4O°,NCBE=500,48=40海里，8c=30海里，ADffBE,

0Z4BE=ZZMB=4O°,

团NABC=NABE+NC8E=90°,

团由勾股定理可得：ACNAB^+BC?=50海里,

故A,C两地相距为50海里，

故答案为：50.

16.如图ABC中，ZA为钝角，边/W,AC的垂直平分线分证交于点。，E.若心十C©=DE2,

贝Ij4=度.

【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，勾股定理的逆定理，二角形内角和定理，

掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键.连接A。、AE,根据线

段垂直平分线的性质得到4）=8。，AE=CE,得到ND4B=N8,ZE4C=ZC,,根据勾股定

理的逆定理得到ZDAE=90。,根据三角形内角和定理计算即可.

【详解】解：如图所示，连接人。、AE,

•・,边48,4C的垂直平分线分别交4C干点。，E,

：.AD=BD,AE=CE.

:.ZDAB=ZB,ZEAC=ZC.

BD2+CE2=DE2,

AD2+H炉-。炉，

:.ZDAE=900,

.•.2NB+2/0+90。=180。，

AZB+ZC=45°,

.•./R4C=180°—450=135。.

故答案为：135.

17.（25-26八年级上•湖南郴州•期末）"赵爽弦图"巧妙地利用血积关系证明/勾股定理，是我国古

代数学的骄傲.如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方

形.图中正方形A3CO的面积是90,AH=9,则正方形同G〃的面积是一.

【答案】36

【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质，理解题意是解题的关键.

根据题意得到A”=BE=9,根据正方形的面积是90.结合勾股定理求出的长，得出EH

的长，再利用正方形的面积公式即可求解.

【详解】解：国大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的，

由AH=BE=9,

团大正方形A3CO的面积是90.

0AB2=90,

回NA样=90°,

^AE2+BE2=AB2=90,

MAE2+92=90,

解得：AE=3（负值舍去），

0£W=A//-A£=9-3=6,

团正方形EFGH的面积是6?=36.

故答案为：36.

18.（25-26八年级上•浙江金华•期末）如图，在VA8C中，AB=AC,且/4<90°,点。，E分别

在边AB,8c上，连接OE,将沿OE折叠，点8恰好落在AC上的点尸处，且满足/，

【答案】占

【分析】本题考查了等腰三角形的性质和折叠的性质、三角形内角和定理以及勾股定理的应用，先

利用等腰三角形和内角和证明NAF8=90。，再通过勾股定理建立方程求解线段长度,进而求出比值.

【详解】解：如图，连接8尸.

A

设A8=AC=2,

团F=gBC=2k.

AB

由折叠性质打知。8=09,

又AD=DF、

^AD=DF=DB=\.

NDBF=NDFB.

0NDAF十NDFA十/DBF十/DFB=180°,

02^DFA+2^DFB=180%即NDFA+NDFB=90。,

团NA/由=90。，即尸是直角三角形.

设C/二x,则A/=AC—CF=2—x.

在RtAABF'V,由勾股定理得8尸2=A)-A产2=2?一Q一幻2=4x-x2.

在RtBFC中,由勾股定理得8尸2=3C2-C尸2=Q幻2-^=4/一炉.

04x-x2=4k2-x2，

解得工=左2,即c尸=42,AF=2—kt

巫士.

FA2-k2

歪2

故答案为：一

2-k2

三、解答题

19.（本小题满分8分）（25-26八年级上•浙江杭州•期末）如图，在等腰Rl△人8。中，乙403=90”,

点尸在线段AD上，点C在8。的延长线.匕连结AC,BF,并延长所交AC于点石，且6f=AC.

A

E

BDC

(1)求证；BE工AC；

⑵若AC=13,CD=5,求"'的长.

【答案】⑴见解析(2)7

【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的定义、勾股定理，正确找出全等三角

形并证明是解题的关键.

(1)证明Rt..4Q/%Rt.AOC(HL),得到ND郎=ND4C,再利用三角形内角和定理即可证明；

(2)根据全等三角形的性质得到。尸=8=5,根据勾股定理求出40=屈=Zh=12,再利用线

段的和差即可求解.

【详解】(1)证明：团在等腰RtZXAB。中，408=90",

0BD=AZ),ZADC=9G0=ZBDF,

在RlZ\3/»和RtMC中，

BD=AD

BF=AC'

团Rt4。少@Rt人DC(HL),

由NDBF=NDAC,

又⑦ABFD=ZAFE,

0ZAEF=ZBDF=9O°,

(2)解：0RtABDF=RtAADC,

^DF=CD=5,

[3N/W)C=9O。，

^AD=^AC1-CDr=V132-52=12»

^AF=AD-DF=\2-5=1.

20.(本小题满分8分)(24-25八年级上•四川成都•期中)四川的人民渠(利民渠、幸福渠、官渠

堰)是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称.现

为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处4向C地、。地、8地分流(点C,D,B位于同一条直

线上)，修三条笔直的支渠4C,AD,且AC1.BC；再从。地修了一条笔直的水渠。”与支

渠44在点〃处连接，旦水渠和支渠A4互相垂直，已知AC=6km,A8=10km,BD=5km.

A

⑴求支渠AD的长度.(结果保留根号)

⑵若修水渠DH每千米的费用是0.7万元，那么修完水渠DH需要多少万元？

【答案】⑴3限m(2)2.1万元

【分析】本题考查了勾股定理的应用以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

(1)由勾股定理求出BC=8km,则CQ=3km,再由勾股定理求出A。的长即可；

(2)由△48。的面积求出。，的长，即可解决问题.

【详解】(1)解：由题意可知：AC1CB,

.\ZC=90°,

AC=6km,AB=lOkni,

BC=yjA^-AC2=V102-62=8km，

CD=BC—BD=S—5=3km,

22:

/.AD=VAC2+CD=>/6+3=3瓜m，

答：公路AO的长度为36km；

(2)vACIBC,DHVAB,

••SZrAH.wDnIJ=-2«/?-AC2=-ABDH，

;.BDAC=ABDH,

z,BDAC5x6

二.DH=-------=----=3km,

AB10

团修建林荫小道O”需要的费用为3x0.7=2.l万元.

21.(本小题满分10分)(2023•山东临沂•中考真题)如图，ZA=9()\AB=AC,BD±AB,BC=AB+HD.

⑴写出A3与的数量关系

(2)延长8c到£,使CE=4C.延长。C到尸，使C『=/)C.连接求证：EFLAB.

⑶在（2）的条件下，作NACK的平分线，交A"于点〃，求证；All-HI.

【答案】⑴（五-1）AB=B。，（2）见解析⑶见解析

【分析】（1）勾股定理求得BC=Vi48,结合已知条件即可求解；

（2）根据题意画出图形，证明&CBC七乙CM,得出NE=NO5C=45。，则灯〃4Q,即可得证；

（3）延长研所交于点“，延长C"交ME于点G,根据角,/分线以及平行线的性质证明的=EC,

进而证明.4"F"G（AAS）,即可得证.

【详解】（1）解:^ZA=90°,A/^=AC

回8C=&48，

^BC=AB+BD

国&AB=AB+BD

即（&-l）AB=BO；

（2）证明：如图所示，

0ZA=9O°MB=AC

0ZABC=45°,

团松_ZAA,

@ZDBC=45°

0CE=BC,Z\=Z2,CF=DC

⑦,CBD^CEF

^ZE=ZDBC=45°

©EF〃BD

0AB1EF

（3）证明：如图所示，延长尸交于点M,延长C”交犍于点G,

^\MF//AC,

国NCGE=4CG

[3CH是/ACE的角平分线,

0ZACG=ZECG,

0ZCG£=ZECG

^EG=EC

ELCBD^CEF,

^EF=BD,CE=CB、

中EG=CB,

又团8C=A8+8力，

0EG=AB+BD=AC+EF，

^AC=FG,

乂AC〃/G,则//MG=N”"G,

在,AHC,"/G中，

ZHAG=NHFG

-4AHG=NFHG,

AC=FG

团.A/7C^,F/7G（AAS）,

^AH=HF

【点睛】本题考查了全等二角形的与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，平行线的性质与

判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键.

22.（本小题满分10分）（25-26八年级上•江苏扬州•期末）如图，已知在中，

z64CB=90°,AC=8,Z?C=16,。是AC上的一点，8=3,点P从〃点出发沿射线方向以每秒3

个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为上连接AP.

⑴当1=3秒时，求八户的长度；

（2）当工A4P为等腰三角形时，直接写出，的值：.

⑶过点。作。于点E.在点P的运动过程中，当，=时，DE=CD.

【答案】（1）加5（2）-V5,彳、—（3）三或彳

■JJJJJ

【分析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是动点运动

到不同位置形成不同的等腰三角形.

（1）根据动点的运动速度和时间先求出PC,再根据勾股定理即可求解；

（2）根据动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解：

（3）根据动点运动，分点。在线段8C上，点〃在8c的延长线上.两种不同情况讨论，结合勾股定

理即可求解.

【详解】（1）解：根据题意，得BP=3f,PC=16-3z=16-3x3=7,AC=8,

在RiAAPC中，根据勾股定理，AP=yjAC2+PC2=VlB：

则AP的氏为JH5；

（2）解：在RtZ^ABC中，AC=8,BC=\6,

根据勾股定理，得A8=〃4+256=86

若BA=BP，则3f=8。，解得石；

32

若A3=AP,则40=32,3/=32,解得/=-^；

若PA=PB,则（3/『=（16-3炉+82,解得/=与.

当.ABP为等腰三角形时，/的值为g6、，、果

JJJ

背穴4小X仁3210

故答案为：鼻。5、—>--；

JJJ

（3）解：①点P在线段BC上时，过点。作OE_L八2于E,如图1所示:

图1

则NA£D=NPE£>=9()。，

0ZPED=Z4C5=9O°,

0DE=CD,ZACB="ED=90。,

团P。平分NA尸C,

04EPD=zlCPD,

APED=/PCD

<ZEPD=/CPD,

PD=PD

团.PDEaPDC(AAS),

0ED=CD=3,PE=PC=\6-3t,

0A£)=AC-CD=8-3=5,

团A£=4,

0AP=AE+PE=4+16-3/=2O-3r,

在RlAAPC中,由勾股定理得:82+（16-3/）2=（20-3/）2,

解得：g;

②点P在线段8c的延长线上时，过点。作OE_L4P1£,如图2所示:

A

B

CP

图2

同①得：尸DE4二加C（AAS）,

^ED=CD=3,PE=PC=3—6,

0AD=AC-CD=8-3=5,

团A£=4,

0AP=AE+PE=4+3/-16=3r-12,

在RiAAPC中，由勾股定理得：82+（3r-l6）2=（3/-l2）2,

解得：，=2?2

综上所述，在点，的运动过程中，当/的值为三10或彳22时，能使OE=C。.

故答案为：三in或Y表>

JJ

23.（本小题满分10分）（25-26八年级上•浙江金华•期末）如图，在四边形4BC。中，VABC为等

腰直角三角形，N84c=90。，其中E,产分别是线段八C,A4上的点，且=过点A作八G_L8E,

交4c于点G.过点G作GMJ_C"，交AC于点M,交跖延长线于点O,连接AO、CD.

⑴求证：BE=CF；

⑵当AAOC为等边三角形时，求NG4C的度数；

（3）若人4=人。=4,AE=\,求人G+GM的长度.

【答案】⑴见解析（2）NG4C=15。（3）AG+GM=4n

【分析】（1）利用SAS证明△AFgZXAEB即可证明

（2）等边三角形的性质结合等角的余角相等即可求解；

（3）作CP_LAC交AG的延长线于点证明"APC2.的，推出3E=A尸，再证明

..AfCG^.PCG（ASA）,求得GW=GP.根据AG+GM=/AP=BE,再利用勾股定理求解即可.

【详解】（1）解：由题意得AF=4E，AB=AC,ZBAC=ZCAB,

国..4/。竺AEB（SAS）,

0BE-CF：

（2）解：当△AQC等边三角形时，AD=AC=AB,

^^ABD-^ADD,

^ZBAD=ZBAC+ZCAD=90°+60°=150°,

0ZABD=15°,

AG1BE,ZBAC=90°,

0ZGAC=9OO-Z^G=ZABD=15°；

(3)解：作C~_LAC交4G的延长线于点P，

由题意得N84E=NAQE=NACP=90°,

BZABE=900-zLf\EB=Z1CAP,

^AB=AC,

图8E=AP,

0AAFC^AA£：B,

^ZACF=ZABE,

0ZEBC=45°-ZABE=45°-ZACF=NFCB,

团ZBGQ=90°-NEBC=90°-AFCB=/MGC,

0ZACP=9O°,

0NMCG=Z.PCG=45°,

0CG=CG,

团JWCGOPCG（ASA）,

0GM=GP*

0AG+GM=AP=£?£=VAB2+A£2=X/T7-

【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理.正确作出埔助线解

决问题是解题的关键.

24.（本小题满分12分）（25-26八年级上•陕西西安•期末）【初步探索】（1）如图1,点A、B在

直线/的同侧，点尸在直线/上，点A到/的距离八。=1，点。到/的距离BO?=3,OG=3,贝！PA+心

的最小值为;

【深入探究】(2)如图2,在Rk^ABC中，ZC=90°.AC=7,fiC=12,P为VA8C内一点，且满

足5徵叱=15,求JBPC周长的最小值：

【拓展应用】(3)如图3,公园里有一块三角形区域人8C,该区域的供水中心。在边8c上，其中

A8=80m,BD=40扁，AD=DC=40m,ZABC=3()0.管理部门现计划修建一块四边形花圃

AEDF,其中E、尸在V/WC内部，满足AE=AF,NE4产=60。，且花圃面积为3()。6»?,同时为

了方便灌溉，决定铺设两条水渠。石、DF.为节约修建水渠的成本，不考虑其他因素，是否存在满

足条件的一点E,使得。E+"最小？若存在，请求出OE+。产的最小值；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)5；(2)25；(3)10Mm

【分析】(1)作点4关于直线/的对称点A，连接A4,交直线/于点P,连接人尸，延长B。?，过

点A作A'B'IBO?于点/匕根据勾股定理求出AB=4A*BB^=5，根据轴对称得出A'。，

从而得出4尸+28=24+尸5,根据两点之间线段最短，得用此时AP+P8最小，即以+尸8最小，

且最小值为48的长，即可得出答案；

(2)根据以呐=15,BC=12,得出点P到直线4c的距离为：々等=等=］，过点P作直线

oC122

1//BC,直线/交AC于点Q,则直线/与BC的距离为1•，点。在直线/上移动，在AC上取点C,

使CD=CO=g,连接8C,交直线/于点P,连接CP',CP，根据/垂直平分CC,得出尸C=PC,

PC=PC,根据两点之间线段最短，得出PB+PCvPB+PC,从而得出当点P在点产时，PB+PC

最小，日最小值为8c的长度,根据勾股定理求出P8+PC的最小俏，再根据8c为定俏，得出此时

△P8C的周长最小；

(3)在AB上取点G,使AG=AO=40m,连接EG,DG,根据勾股定理的逆定理证明△A8O为

直角三角形，得到/84。=60。，根据"SAS”证明nAEG94"),得到七G=FD,SAEC=SAFD,从

而。E+/?b=Z)E+£G,即当。E+EG最小时，O£+/M最小.求出

DFG=,WG-(^ADF+5^)=\00^2.过点E作直线/〃DG，过点G作G"_L/于点凡则

GH1DK,根据△OEG的面积求出G〃=56m.在G4的延长线上取点K,且HK=GH=56m,

连接。K，则反;=KK,得到。E+G£=£>E+丛之。K,根据勾股定理求出。K,即可解答.

【详解】解：(1)作点A关于直线/的对•称点A,连接A'8.交直线/于点P,连接4P，延长吕。?,

过点A作AELBO?于点Q，如图所示:

则AQ=Aq=l,四边形A'8'Qa为长方形，乙4为必=90。,

团B'Q=Aq=1,4'8'=0。2=3,

国BB'=BO[+B2=3+1=4,

的艮据勾股定理得：A'B=JAB'?+BB'2=5，

根据轴对称可得：PA=AP,

^AP+PB=PA+PB^

团两点之间线段最短，

因此时A'P+废最小，即P4+P8最