专项突破：导数双变量与极值点偏移-2026届高考数学二轮复习

专题1.6导数双变量与极值点偏移专项—2026届高考数学二轮复习专题突

破

一、选择题(共8题；共40分)

1.(2026高三上•湖南月考)已知函数/(%)=sin(2%-勺一仇在引上恰有两个不同的零点必,

次，则cos(勺-X2)的值可能为()

A.0B.1C.gD.1

2.(2025高三上•泊头月考)已知函数/(X)=Q/+Q-(1一工3+%2+外姬在区间[o,+co)上有两

个零点，则实数Q的取值范围为()

A.[1,e)B.k,e2)C.，e2)D.将，告)

3.(2025高三下•三台月考)己知函数/(幻的定义域为停，2],对于卜),满足f(x)・f(2%)=

率且当共[1,2]时，/'(%)=*+今若函数y=/■(/•(%))+小一1恰有两个不同的零点，

则实数a的取值范围为()

A•除1]B.住,1)C.Q挈]D.(0,

4.(2025高三上•深圳月考)已知函数fG)=『nXl'X>0,若函数g(x)=/G)-|无一k|恰有2个零

Ix<0

点，则实数k的取值范围是()

A.[-1,e)B.(-8,-l]u[e,+8)

C.(-1,1]D.(-co,-l)u[l,+8)

5.(2025高三下•山东月考)已知/G)是定义在R上的增函数，且存在函数gG)使得/(g(x))

=x,若工1，%2分别是方程f(X—1)+%—4和gG+1)+扉=2的根，则与+工？=()

A.4B.3C.2D.1

6.已知直线、=kx+t与函数y=Hsin(oox+(p)(A>0/g>0)的图象恰有两个切点，设满足条

件的k所有可能取值中最大的两个值分别为自和七，且自>七，则()

D

伤5

7.(2021高三上•河南月考)若函数f(x)=2x4-^sin2x-asinx在10，)上恰有两个不同的

极值点，则实数a的取值范围是()

A.（五,3）B.（2五,3）C.（2a,4）D.（丘,6）

2

8.(2021高三上•运城期中)已知函数f(x)=ax-2x+Inx有两个不同的极值点向，x2,

若不等式f(x1)+/(x2)<+孙+£恒成立，则t的取值范围是()

A.[-41+8)B.[-5,+8)C.[—6r+8)D.[-7,+oo)

二、多项选择题(共3题；共18分)

9.(2025・长沙模拟)已知函数f(x)=sExx,/'(%)是其导函数.若存在不，外W(。，兀)且不<

乂2、满足/'(勺)=/(%2),则()

A./(xj>/(x2)B.xxx2>1C.fOiVaz)>1D./■(/)+/(%2)<2

10.(2025高三上•广州月考)设勺，皿，叼(孙<k2<%3)是函数/(%)=〃一。严的三个零点，则

()

A.<0

Rf

B.a<彳

C.若勺，必，叼成等差数列，则一与，孙，勺成等比数列

D.若勺，%3成等差数列，则%3-勺=41n(l+鱼)

11.(2025高三上•岳麓月考)已知函数f(x)=/一m/,%=2是函数/(%)的一个极值点，则下列说

法正确的是()

A.m=3

B.函数/(%)在区间(1,2)上单调递减

C.过点(1,一2)能作两条大同的直线与y=f(x)相切

D.函数y=/[/（%）]+2有5个零点

三、填空题(共3题；共15分)

12.(2024高三上•深圳月考)已知函数/(>)=|"0+1)|-忆有两个零点a,b(a<b)>则Q+

2(b+1)的取值范围为.

13.(2025高三上•蓟州期中)已知函数/'(X)=〃0比讣若0<Xt<x2,且/(必)=/(必)，则3%+不

的取值范围是.

3

14.(2023•浦东模拟)已知0<a<b<1,设w(x)=(x-a)(x—b)，fk(X)=

“G)—W(k).其中k星整数.若对一切kEZ,y=九行)都是区间々，+8)上的严格增

x-k

函数.则。的取值范围是_____________.

a

四、解答题(共5题；共77分)

15.(2024高三上•长春模拟)已知函数f(%)=ex(x+1)-

(1)求函数f(x)的极值；

(2)若函数g(x)=/(%)-3靖-加有两个零点，求实数m的取值范围.

16.(202。岛二上•潮州月考)已知函数f(x)=Inx—(m-\-2)x»h(x)=—mxz-2.

(I)讨论函数f(x)的单调性；

(H)设m>0,若存在re[i,1],使得不等式f(x)<h(x)成立，求m的取值范

17.(2017•福州模拟)已知函数f(x)=mex+x+L

(【)讨论f(x)的单调性；

(II)若f(X)有两个零点XI,X2(X|<X2),证明：X|+X2>0.

18.(2024岛二上•澄海月考)已知函数/(x)=2(x-Dex.

(1)若函数f在区间3,+8)上单调递增，求/的取值范围；

(2)设函数g(x)=e*—x+p，若存在e]»使不等式g(xQ)>f(xQ)一成立,

求实数p的取值范围.

19.(2022•北京)已知函数f(x)=exln(1+x).

(I)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程；

(II)设g(x)=f(x)，讨论函数g(x)在[0，+8)上的单调性;

(III)证明：对任意的S,tE<0,+8),有f(st)>f(s)+/(t)

答案解析部分

1.【答案】C

【解析】解：由%w［o,富，可得2%—界［+，第,

因为f(x)=sin卜x-一7日在［。,富上恰有两个不同的零点打，x2»

所以函数g(x)=sin12%-苓)与y=m在［o,夕上恰有两个不同的交点，

又因为函数g(x)=sin⑵一家在［0,初上单调递增，在［济密上单调递减，

且94涉=sin<2x-p=1,Q(0)=sin62x0-2；=-冬9吗)=sin<2x^-

广百

引二7

由图可知，2x招一1二与<招<皿工自

可得0<%2一工会，则与<COSC%1-X2)<1,

故答案为：C.

由题意，将问题转化为函数g(x)=sin⑵与y=m在［0,当上恰有两个不同的交点，利用函数

的单调性和端点、极值，从而作出函数的图象，再利用函数的图象得出实数m的取值范围，从而得到

2xg-^<x1<§<%2<^进而得出0<不一与就，再结合余弦型函数的单调性，从而得出

cose%1-%2)的取值范围.

2.【答案】A

【解析】解：由f(x)=a(x21)-61-%34-x2+x)ex=0,

可得"笔纠短=C+镭3，

1/19

因此r—在区间［u,+8)上有两个零点,

<1+言)靖在［。，

可等价转化为y=Q与y=+8)有两个交点,

(x-x^+2-2x2)@2+i)-2X2+2X4

则g'(x)=Y

(x2+l)26

[x61—x2)+261—x2)]6r24-1.?—2x261—x2.)

■2

(x2+1)

(1—x2)[(x+2)6v2+1?—2x2)]

2eX

r%2+1?

<1一%2，<X3+X+2>„fl—x29fx3+x+2J

即g'(x)=

62+i)2，，2

(避+1)

由修>0恒成立结合%>0,

2

则/+x+2>0,(x2+1>>0»

所以，当xE［0,1)时，gXx)>0,g(x)单调递增；当%€(1,+8)时，g\x)<0,g(%)单调递减,

则当％E［0,+8)时，g(x)的最大值为g(l)=e,

又因为g(0)=1R.xt十8时，g(x)-»一8,

所以要使函数y=Q与函数y=gQJ在［0,+8)上有两个交点,

则1工QV。，

故答案为：A.

利用函数零点与两函数交点的横坐标的等价关系，先将函数的零点问题转化为常函数y=Q与函数

g(x)=门的交点问题，再通过两个函数图象在10，+8)上有两个交点得出实数a

XI人

2/19

的取值范围.

3.【答案】D

【解析】解:当“吗,1）时,2xe[l,2）,F（2%）=看+»爷>

Jrt

1\

-|

27

9

S

X

)

/

3313

------

2(2424

由y-/(/W)+a2-1=0,得/■(/(%))=1-a2,

令匕=/(x)>则/(£)=1-a2<1»

令—=癌=1，则"坐,

则y=f(x)图象如图所示，

结合图象得/（。=1-。2中需提供一个根，且该根位于后，当之间，

所以弃V1—Q2,

lo

又,.,Q>0,

•*•0<a<

□

故答案为：D.

根据已知条件得出函数f（x）在E，1）上的解析式，判断函数/（%）单调性，从而画出分段函数/（X）的图

象,令£=f。），再结合函数图象把问题转化为/（£）=1-Q2中需提供一个根，且该根位于停，|）之

3/19

间，从而求出实数a的取值范围.

4.【答案】C

\lnx\,x>0

【解析】解:函数/'(>)=

ex,%<0

由题意可知：g(x)=O有两个实数根，

当尤>0时,g(x)=\lnx\-\x-k\,令g(x)=0,可得|必幻=1%—k|；

当TV0时，gM=ex-\x-k\,令g(x)=0,可得阿一刈二e".

在同一坐标系下，作出函数y=|,九x|,y=婚和y=-k|的图象，如图所示:

函数y=①》定义域为(0,+8),求导可得y'=],当％=1时，y=0,y'lx=]=1,

则函数y=仇x在％=1处的切线方程为y=x-1：

函数y=Tnx定义域为(0,+8),求导可得y'=-J,当x=l时，y=0,y\x=1=-1»

则函数y=-)工在％=1的切线方程为y=-%4-1：

即函数y=|伍x|与y=|x-1|只有一个公共点，

由图象得：当攵4-1时，g(x)恰有3个零点；

当一1VkW1时，g(x)恰有2个零点；

当k>1时，g(x)恰有3个零点，

要使得y=g(x)恰有2个零点，则满足一1vk31,

则实数k的取值范围为(-1,1].

故答案为：c.

由题意可得g(x)=0有两个实数根，分工>0,%<0解方程可得|济川=氏一内和比一川=愣，在同

一坐标系下,作出函数y=1nx|,y=e”和y=优—川的图象，再分别对y=仇%、y=-lnx求导,

利用导数的儿何意义求切线方程，可得函数y=|仇力与y=|x-l|只有一个公共点，结合函数图象

讨论求解即可.

5.【答案】B

4/19

【解析】解：•.•右是r(x-1)+%=4的根，

:.f(x1—1)+=4,

则f(x1-l)+%i-1=3,©

Q是gG+l)+x=2的根，

g/+1)+&=2，

则g(必+1)+&+1=3，

••・存在函数g(x)使得/(。(%))二%»

9(外+1)+r(g(%2+D)=3,②

vf是定义在R上的增函数，

.*./(x)+%在R上单调递增，

二由①②可得，g(x2+1)=Xi-1,

=

又因为g+19+x22>

所以g(x24-1=2—%2,

•••2—%2二与一1，

则勺+%2=3.

故答案为：B.

利用已知条件和方程根代入法，从而分别得到关于修和切的关系式，再利用f(g(x))=%将关系

式变形得到f(x1-l)+/一1=3和g(x2+1)+/(g(Q+1))=3,再借助函数/的单调

性得出%1+%2的值.

6.【答案】B

k

【解析】解：因为对于任意4>0,3>0,”R,三的范围恒定，所以只需考虑y=sinx的情况，

设用对应的切点为(X],sinx“，(x\,sinx\)，xx<x\,

设上2对应的切点为&2，sin%2)，包‘2，sinx’2)，X2<x，2»

/

因为(sinx)=cos%*所以k]=cosxj=cosxrk2=cosr2=cosx2»

5/19

所以只需考虑％1+x\=2TT,X2+x2=4万，具中一2<x2<xr<U的情况,

e,sinxi-sinxisin(2n-x)-sinxj2sinx

则的=——-----1r1

2TT—

.Li(2n-x1)—%!

sinx2~s^nx2_sinf4?r—x—sinx2sinxTT

=222其中一

k2=7f5<%2VV0,

X2n-2x2

x2~2(4TI-X2)-X2

4TT—2x2_sinxt2兀一生

所喷

=s§2TI—2X1~sinx2n-xA

.2sinx2sinx

又因为一而有t=cosx「?，

44兀-2c%]—COSX'o

所以sinx】=(xx-Tt)cos%!»sinx2=(x2-2n)cosx2♦

rnil//\1iSin2X42、八

令fG)=tan…+/T1——VO)则/(x)=——5——1=——=tanzx>0»

coszxcoszx

所以f。，在(一?，0)上单调递增，f(0)>0,

设f(x0)=tanx0-+7T=0,x0<0=>(n—x0)cosx0+sinx0=0,

所以V孙<<%o，又因为sinx?Vsin/V0,所以0〈黑孑<1，

40111o

si*2"一汇22兀-Q

<<

7TT]H-Xy

sinx2

(n—x)cosx+sinx

sinx则八

令h(x)(-^<x<x0)(x)2

n-x乙(n—x)

令t(x)=(n-x)cosx+sinxC-^<x<x0),则/(x)=-(n-x)sinx>0,

因为tGJ在(一为，上单调递增，所以t(x)<t(XQ)=

(n-x0)COSX0+sinj0=0»

即h'G)<0,九G)在《一9上单调递减，所以普1<普,

L7i-X-]71―X7

所以sin勺兀-勺所以女=普1.生二攵>曰•名士=2[士=1+上>1+?=京

明以司心>启司'所以上2sinx2n-xin-x2n-x1n-x2n-x2乎3；

综上所述:6v昌v

故答案为：B.

根据结论恒成立只考虑y=sinX的情况，假设切点坐标，则只需要考虑勺+x\=2兀，x2+x2=

4",其中一?Vx2Vxi<0的情况，可将察表示为黑•§子，构造函数f(x)=tanz-x+

7TC-l<X<0),h(X)(~^<X<XQ)，求导，利用导数判断函数的单调性，从而对

乙JTX乙

6/19

,b进行放缩求范围即可.

7.【答案】B

【解析】由于f(x)=2x+1sin2x-asinx,

所以/(x)=2+cos2x-acosx=2cos2x-acosx4-1,

要使f(x)在ro,p上恰有两个不同的极值点,

则/GJ=0在10,p上有两个不同的解，

令£=cosx(0<t<1)

即二次函数g(t)=2t2-at+l在f0,19上有两个不同的解,

g〈0)=1>0

9(1)=3一Q>°,解得2鱼va<3。

。/<1

{4=*-8>o

故答案为：B

由于f(x)=2x+isin2x-asinx,再利用导数的运算法则从而求出函数的导函数，要使

/在上恰有两个不同的极值点，则/(x)=0在《，7>上有两个不同的

解，令£=cosx(0<t<1)♦即二次函数g(t)=2“一Q£+1在(0,\)上有两个不同的

解，从而结合二次函数的图象，进而求出实数a的取值范围。

8.【答案】B

【解析】由题设，f(x)=2ax+1-2且x>0,由/G)有两个极值点，

:•令f々)=0,则2ax2-2x+1=0在％>0上有两个不等的实根,不，

xx

，尤14-X2=Z，l2=上，且(而>。，得0<QV3.

Q，Q=4-8a>0乙

2

又f(x)-x=ax-3x4-Inx,且/(xx)=f(x2)=0»

2axl=2%i-1，2ax1=2x2-1>即aG：+熠)=xrx2-1，

••f(xx)—%1+f(x2)—x2=a(xl-Vxl)—3(xx4-x2)4-\nxxx2=lnx1x2—2Cxx+x2)

7/19

2

1=—In2a-----1,

令g(a)=—In2a---1且OVQ<J,要使题设不等式恒成立，只需g(a)<t恒成立，

a2

:・g(a)=|-'=：(£-1)>0，即9递增，故g(CL)<g=—5,

•*.t>-5o

故答案为：B

由己知条件结合导数的运算法则，进而求出导函数，再利用％>0和函数f(x)=ax2-2x+

Inx有两个不同的极值点与，M，令f(x)=0,贝I2ax2-2x+1=0在x>0上有两个

不等的实根修，工2，再结合韦达定理和判别式法，得出实数a的取值范围，再利用/(X)-

2

x=ax-3x+Inx,且/(xx)=f(x2)=0，再利用代入法得出Q4好+XQ=+x2-

1,从而得出f(xx)-xr+f(x2)—x2=-ln2cz--1，令g(a)——ln2cz-—1且0v

a<\,要使题设不等式恒成立，只需gZ)vt恒成立，再利用求导的方法判断函数的单调性，

进而判断出函数Q3)为增函数，从而求出函数g3)的值域，进而求出实数t的取值范围。

9.【答案】A,B,D

【解析】解：因为f(%)=COSX—

数形结合得到在(o,zr)pjy=cosx,y=:的大致图象为如图所示：

所以八幻<0(%6(0,明，见/&)>f(x2),故A正确；

由=f(x2)»得C0S%2-装=COSX1­

则球=COSXi-cosx2=cos(中_宁)一cos(空+号)=2sM空s仇宁

由题意，则号1E(0,刍，

所以彳了V2犯：sin"2产yr1，

8/19

x>0fsinx<x»则>1，故B正确;

因为/(/)+/(x2)=sinx1+sinx2一lnxrx2<sinx1+sinx2<2,故D正确;

因为/(%)/(小)<vi，故C错误•

故答案为：ABD.

先求导函数，再根据函数图象结合函数的单调性，则判断出选项A：根据角之间的关系式和两角和

与差的余弦公式以及角的取值范围，从而化简得出汇62>1，则判断出选项B：再利用对数函数的单

调性，则判断出选项D；再结合基本不等式求最值的方法，则判断出选项C,从而找出正确的选项.

10.【答案】A,C,D

【解析】解：A、当QW0时，fM=ex-ax2>0,显然不符合题意；

当a>0时，分别画出,=姬与y=a/的图像，如图所示：

显然有一个小于。的零点，有2个大于。的零点，A正确；

x2

B、令/(%)=e-ax=0,可得Q=基，设g(%)=(%>0),则g'(x)=贮詈公，

当0VXV2时，g'(x)V0,所以g(x)在(0,2)上单调递减，

当尤>2时，g'(x)>0,所以g(x)在(2,+8)上单调递减,

所以g(x)的最小值为。(2)=全，

要使得/(%)=〃—Q/有两个大于0的零点，则Q>&，故B错误:

c小旦百台0■—续—结匚"]*331+匕_a2

C、由题意工丁一彦一工所力芬=取2=不，

X1x2x3xlx3xlx3x2

由于M，X2/%3成等差数列,所以％I+%3=2%2,所以其:=蝮,

所以一%为3=堵，所以一看，打，与成等比数列，故C正确;

22r

D、由一%1%3=蟾=,得一6%逐3=蜉+蜉,所以信）+-^+1=0>

9/19

由于门

V2,

3±2

广=-

解得

勺<0,

及

又

>1,

一,

,故

)>0

一言

2仇(

修=

%3一

3,则

炭3-

必=

9

则<

，

舍去

—1故

2=

—3+

2>

+2^

乂―3

勺一1,

2

X

因为3

-

确.

D正

)，放

+鱼

41n(l

,)=

1n(—

打二2

右一

所以

3-3，

二矿

-

2

X

1

.

：ACD

案为

故答

：

选项

分析

性质

数列

性、

单调

函数

结合

题，

点问

的交

d

化为

题转

点问

将零

；