正方形的判定与性质（培优练习）-2025-2026学年人教版数学八年级下册

第18讲正方形的判定与性质

板块一正方形的判定

典例精讲

题型①矩形一正方形

［例I］如图.在矩形ABCD中,E,F分别为BC,CD上一点,EA平分NBERFA平分NDFE.求证:四边形ABC

D为正方形.

题型②菱形-正方形

【例2】如图,在菱形ABCD中EF分别为AB,AD的中点，连接EF交AC于点M.若CM=EF+AM,求证:四边

形ABCD为正方形.

实战演练

题型③平四一正方形

如图在rABCD中,E,F分别是边CD,AD上的点,AE与BF交于点0,且.AE二BF,NBOE+NC=180。.DE=AF.求证:

四功形ABCD是正方形.

板块二正方形的性质（一）角度计算

典例精讲

题型①转化思想

【例1】如图，已知正方形ABCD的对角线交于点O,E,F分别是对角线BD,AC上的点，连接CE,EF,DF.

若EF〃BC.且NCEF=15。,求NEDF的度数.

题型②整体思想

【例2】如图,E为正方形ABCD内一点,AE=AB.连接DE并延长交BC于点F,求NBEF的度数

实战演练

题型③分类讨论

1.以正方形ABCD的边AD为边作等边△AD艮则NBEC的度数为,

题型④方程思想

2.如图在正方形ABCD中,M为对角线BD上一点.连接AM并延长交CD于点P.连接CM.若PM=PC,则NB

MC的度数为.

板块三正方形的性质（二）长度计算

典例精讲

【例】如图，已知四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接BE,过点E作E2BE,交DA的

延长线于点F.若AE=4viyAF=2^BE的长

实战演练

1.如图，正方形ABCD的边长是5,AE=CF=4,BE=DF=3,求EF的长.

AD

E'

BC

2.如图，在正方形ABCD中.E是BC的中点,F是CD上一点，连接AE,BF,P.Q分别为AE.BF的中点.若

DF=2,PQ=v5、求正方形的边长.

板块四正方形的性质（三）推理证明

典例精讲

题型①边角的性质

［例I］如图.在正方形ABCDo.E是CD边上的一点（不与点C,D重合），连接BE,BF平分NABE,交AD边

于点F.求证:AF+CE=BE.

题型②对角线的性质

【例2】如图,四边形ABCD为正方形,E为对角线AC上一点,EF_LDE交BC于点F,过点F作FG_LAC于

点G.求证：EG=^AC.

实战演练

如图,E为正方形ABCD的边CB延长线上一点,F为CD上一点.BE=DF,连接AE,AF,EF.

(1)判断4AEF的形状；

(2)连接BD交EF于点G.求证:G为EF的中点.

板块五正方形的性质(四)折叠问题

条件:正方形ABCD,翻折△ABE至匕AFE.条件:正方形ABCD,将口力4月翻折至1」QFBE.

玄、

EB匕-------------'M

方法：连接AM.方法:延长EF,BC交于点M.

结论:DM=FM.结论：EM=BM.

典例精讲

题型①折叠出全等

【例1】如图，已知正方形ABCD的边长为5,E为CD上一点且DE=2.将正方形沿AE翻折，点D落在点M

处，延长EM交BC于点F.求BF的长.

题型②折叠出等腰

【例2】如图.已知正方形ABCD的边长为6,E为AD上一点,AE=2^aABE沿BE翻折得到^BFE,延长EF,

BC交于点M.求CM的长.

实战演练

如图，将边长为6的正方形纸片ABCD进行折叠，折痕为MN,使点B落在边CD上点B处，点A的对应

点为A1若B'C=2,求AM的长.

第18讲含60。角的菱形

板块一含60：角的菱形（一）等边手拉手

典例精讲

【例】解:⑴连接AC.

•••西边形ABCD为菱形，

.\AB=BC=CD=AD,,

•••△ABCqADC均为等边三角形，

・•・ZD=ZACB=60°=NDAC=ZEAF,AD=AC,

/.ZEAC=ZFAD,

・•・△AEC四△AFD,・•・EC=DF.

:.BE+DF=BE+EC=BC=AB;

(2旌接AC,由(2)知NCAD=6()o=NEAF=ZADC=ZACB,AC=AD,AZCAE=ZDAF,ZADF=ZACE=120°,

r.AACE^AADF,r.CE=DF,

・•・BE-DF=BE-CE=BC=AB.

实战演练

1.证明:连接AC过点E作EG〃AC交AB于点G厕△BEG是等边三角形.

VZAEC=ZAEF+ZFEC

二NB+NEAG,

ZAEF=ZB=600,

/.ZFEC=ZEAG.

•・,AG;EC,NAGE=ZECF=120°,

・•・AAGE丝△ECF,JGE=CF=BG,

/.AB=AG+BG=CE+CF.

2.证明:在AB上截取BM二BE,连接EM.•・,四边形ABCD为菱形.

••・AB=BC,AB〃CD.

VBM=BE,ZB=I2O°,

・•・AM=EC,ZBME=ZBEM=30°.

VZAEC=NAEF+ZFEC=ZBAE+ZB,ZAEF=ZB,

AZFEC=ZBAE.

VAE=EF,J△AEM也△EFC,

AZECF=ZAME=150°.

VAB>7CD.

.*.ZDCB=1800-ZB=60°,

AZDCF=ZECF-ZDCB

=150°-60°=90°,

ACF1DC.

板块二含60。角的菱形（二）等腰手拉手

典例精讲

【例1】10解:连接DM.

VAE=AM,ZEAM=120°,

AZAEM=ZAME=30°,

AEM=V3AE=6.

丁四边形ARCD为菱形.

・•・AB=AD.ZBAD=ZC=120°.

VZEAM=120°,

AZEAM=ZBAD,

AZEAB=ZMAD.

VAE=AM,AB=AD,

AAAEB^AAMD,

AMD=EB=8,

ZAMD=ZBEA=60°,

JZEMD=ZAME+ZAMD=90°,

CDE=>/EM2+MD2=\0.

【例2】证明:延长EP交AB于点Q.连接DE,DQ.V菱形ABCD,ACEF为等边△CEF,NB=120。,

AZBCD=ZECF=60o,

AZDCE=60°=ZBAD.

VP为AF的中点,AB〃EF,

/.△APQ^AFPE,

/.PQ=PE,AQ=EF=CE.

又：AD二CD,

・••△ADQ经△CDE(SAS),

・・・DE=DQ,・・・PE_LPD.

VZCDE=ZADQ,

.\ZEDQ=ZADC=120°,

JZPED=30。,JPE=V3PD.

实战演练

解⑴延长EF交CD于点H厕NFHC=FD=120°.

ADG=FH,DH=GF=AG,

ACH=FH.

AZHFC=ZHCF=30°.

匚CF=6DG；

(2)结论仍然成立.理由如下：将ZkADG绕点D逆时针旋转120。得到△CDH.连接GH,作DN_LGH于点N,

・•・AG=CH,ZAGD=ZCHD.

•・•西边形AEFG是菱形，

・・・AG=FG,NAGF=120。，

・•・CH=GF,VZGDH=120°,DG=DH,DN_LHG,

AZDGH=ZDHG=30°,GN=HN,

IDG=2DN,GN=6DN,GH=2GN,UHG=KDG,

oc

.*.ZCHG=ZCHD-ZDHG=ZCHD-30°=ZAGD-30.ZHGF=360°-ZAGF-ZAGD-ZDGH=210-ZAGD,

/.ZCHG+ZHGF=180°,

ACH/7FG,

・•・西边形CHGF是平行四边形，

・・・CF=HG,CF〃HG,

CF=\[3DG.

板块三含60。角的菱形(三)对角互补

典例精讲

【例】证明:连接PC.

•・•西边形ABCD为菱形，

AAB=BC,ZABP=ZCBP.

BP=BP,，AABP^ACBP,

，PA=PC,ZBAP=ZBCP.

ZAPF=60°,JZAPE=120。，

.\ZAPE+ZABE=180°,

/.ZPCB+ZE=ZPAB+ZE=360°—18O°=18O°=ZPCB+ZPCE,

/.ZPCE=ZE,APC=PE,

APA=PE.

实战演练

1.证明:过点O作OM〃AB交AD于点M「・,菱形ABCD,NABC=120o,・・・NABD=60。，

AAARD和AODM都为等边三角形.，/ROM=/POQ=I20。，

・•・ZPOB=ZQOM,OM=OB,ZOMQ=ZOBP=120°,

/.AOMQ^AOBP(ASA),

ABP=MQ.VAD=BD,MD=OD,AAM=OB,

AAQ+BP=AQ+MQ=AM=OB.

2.证明:连接AC,过点C作CH〃NM交AD于点H作CG〃EF交AB于点G,EF与CH交于点O.

•・•西边形ABCD为菱形.

•••AD=AB=BC,AD〃BC,匚440口。0=；［B力力=60；

•••△ABC为等边三角形，

/.ZB=ZACB=60°,AAC=BC.

VCH/7MN,/.ZHOF=ZMPF=6G°.

VCG/7EF,

.,.ZHCG=ZHOF=60°,

.*.ZACB=ZHCG=60o,

AZACH=ZBCG.

/./\BCG^AACH,ACG=CH.

•・・AB〃CD,CG〃EF,

・•・西边形CGFE为平行四边形，

，CG二EF,同理CH=MN,

/.MN=EF.

板块四含60。角的菱形(四)夹半角

典例精讲

【例】解:将△PAQ沿直线PA翻折得到乙PAM,连接MB.过点M作MNJ_CB于点N,则AM=AQ/PA

M=ZPAQ=60°.

•・•菱形ABCD.NC=120。，