零点问题-高考数学二轮复习

微专题7零点问题

［考情分析］在近几年的高考中，函数与方程、不等式的交汇是考瓷的热点，常以指数函数、对数函数以

及三角函数为载体考查函数的零点(方程的根)问题，考杏形式多样，难度中等偏上，若以压轴题出现，则

难度较大.

考点一利用导数判断函数零点个数

例1(2024•石家庄模拟)已知函数«t)=4x2.(a+i)x+alnx(QO).

(1)讨论函数｛丫)的单调性；

(2)当。=2时，若函数g(x)=f(x).田'(产，求函数g(x)的零点个数.

解(1次加>(。+1)+：_/_(a：)x+a_dy-a),工>0,«>0,

当0<”1时，当x£(o,a)u(l,+oo)时,/(.v)>0,.危)在(0,a),(1,+oo)上单调递增;

当x£(a,1)时，八*0,.危)在(。，1)上单调递减.

当心1时,当xW(0,l)U(a,十⑹时，八人)也A)在(0,1),3十8)上单调递增；

当x£(l,a)时，/(x)<0,人)在(1,。)上单调递减.

当4=1时，外为20,.心)在(0,+8)上单调递增.

(2)当a=2时,/(x)=ix2-3x+21nx,x>0,

所以f(x)=x-3q,x>0,

所以亦尸e'“-3£,x>0,

所以

显然g。)在区间(0,收)上单调递增，

因为烈1)=・1<0,g<2)=e［>0,

所以存在唯一出£(1,2),使得g<xo尸0,

当xE(0,xo)时，g'(x)<0,当x£(xo,+8)时，g'(x)>0,

所以氯刈在区间(0,X0)上单调递减，在(仙+8)上单调递增，其中xoJ(l,2),

又g(l)=0,g(vo)<g(l)=O,g(2)=e-2>0,

所以奴工)在(0,枇)上有唯一零点尸1,在(xo,2)上有唯一零点，

因此虱丫)的零点个数为2.

［规律方法］三步求解函数零点(方程根)的个数问题

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线产外在该区间上的交点问题;

第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值（最值）、端点值等性质;

第三步：结合图象求解.

跟踪演练1（2024•郑州模拟）已知函数加尸W-x.

⑴若4=2,求曲线广叭口在点（1，人1））处的切线方程；

（2）讨论/（x）的零点个数.

解⑴若。=2,则以尸/（x）=2e2r-l.

又切点为（1,，-1）,

曲线产危）在点（1,/⑴）处的斜率后f（l）=2e」，

故所求切线方程为y-（Q2-1）=（2c2-1）（x-l）,

即jv=（2e2-1）x-e2.

（2）由题意得/V尸仇严・1.

当aW0时，八x）＜0,/*）在R上单调递减，

又｛0）=1＞0,川尸C”・1WO,

此时4x）有一个零点.

当心。时，令人x）〈0得―%

令国）＞0得x＞与，

所以/）在（-8,—崂上单调递减，在（-等，+8）上单调递增.

故ZU）的最小值为/（-阴=岁.

当时，./U）的最小值为0,此时/）有一个零点.

当。三时，./（X）的最小值大于0,此时儿丫）没有零点.

当0＜口＜，时，"）的最小值小于0,.（-1）=仃+1＞0,

当x-+8时，/（x）-*+oo,此时/（X）有两个零点.

综上，当。W0或。中寸，7W有一个零点；

当时，/⑴有两个零点；

当时，风力没有零点.

考点二由零点个数求参数范围

例2（2024•北京丰台模拟）已知函数/3=八+2。«-21nx（存0）.

⑴当a=l时，求曲线片/㈤在点（1,川））处的切线方程：

(2)若函数人均有两个零点，求。的取值范围.

解⑴当〃=1M,./(x)=x+2存21nx,x>0,

则如)=1米，

所以八1尸0,41)=3,

故曲线广小)在点(1,火1))处的切线方程为尸3.

(26。)=4+■^"~+°近一2=9/+2)35-1)(分0,丫>0),

yXXXX

当«>0时,则a\fx+2>0,

令八N)>0,则X*,

令八x)vo,则0<4,

故/(X)在G，+8)上单调递增，在(0,a)上单调递减，

故当尸点时，/(X)取极小值也是最小值，

则/(x)miy/G)=a2a2〃聆>2111a3+4加a.

又当X->+8时，/(X)-*+oO,且当X-0时，.ZU)-*一,

故要使函数人均有两个零点，只需要./(x)min=3+41na<0,

解得0<a<eT；

当t7<0时,则ay/x-\<0,

令八30,则W，

令八*0,则0«号,

故段)在G，+8)上单调递增，在(0,日上单调递减，

故当X=时，/")取极小值也是最小值，

则./(X)min=/G)=a2会2。住2m^一216⑷n2+2ln*，

又当L*+8时，J(X)f+00,且当X-0时，

故要使函数/(x)有两个零点，只需要/(x)mm=-41n2+21na2<(),解得_2<。<0;

综上，0<Q〈eV或-2qv0,故。的取值范围是(-2,0)U(0,ef.

［规律方法］已知零点求参数的取值范围

(1)结合图象与单调性，分析函数的极值点；

(2)依据零点确定极值的范围;

⑶对于参数选择恰当的分类标准进行讨论.

跟踪演练2已知函数於尸尸+仁田，g(x)=a(x2-2x)(a<0).

(1)求函数/(x)的单调区间；

(2)若函数/Kx)=/(x)-ga)有两个零点，求a的取值范围.

解(1)由危尸於+e叫

可得")=-%1y二了,

令/'。)=0,解得尸1,

当xvl时，_/V)<0,./(x)ffi(-oo,1)上单调递减；

当A时,r(x)>0,小)在(1,+oo)上单调递增，

故函数小)的单调递减区间是(-8,1),单调递增区间是(1,+8).

(2)由/?(x尸0,彳导儿0=奴工)，

因此函数〃(x)的零点个数等价于函数/⑺与g(x)的图象的交点个数，

因为鼠x)=〃(x2-2x)(〃v0),所以g(r)的图象关于直线r=1对称，

且单调递增区间是(-8,1),单调递减区间是(1,+8),

所以当x=1时，g(x)取最大值g(1)=-4,

由⑴可知，函数/(用的单调递减区间是(一与1),单调递增区间是(1,+8).

当E时,左)取最小值网尸2,

又/(1-x)=/(1+x),所以y(x)的图象关于直线x=i对称，

故当->2,即。<-2时，国数万Q)有两个零点，

故Q的取值范围是(-8,-2).

专题强化练

(分值：50分)

ib素养提升

1.(16分)(2024・天津模拟)己知函数尔尸ln(x+2).

⑴求曲线jq/(x)在.¥=-1处的切线方程；(7分)

(2)函数/?(x)=/(x)・a(x+2)有且只有两个零点，求a的取值范围.(9分)

解⑴因为&)4,

所以曲线尸形)在产・1处的切线斜率为八・1)+匕=1,

•L十乙

又/(-l)=ln(-l+2)=0,所以切线方程为尸x+1,BPx-y+l=O.

(2)〃(x月(x)-a(x+2)=ln(r4"2)-a(x+2),x>-2,

由题知，ln(x+2)-«(x+2)=0有且只有两个不相等的实数根,

即嘿以。有且只有两个不相等的实数根，

令皿6上署，Q2

则，〃'(X)弋等，

当-2<x<e-2时，研x)〉0,加㈤在(-2,e-2)上单调递增;

当x>e-2时，"(x)<0,〃?(x)在(e-2,+00)上单调递减.

当X--2时，〃7(X)f-8,当x-+oo时，加(x)-*o,

又皿斗2片,所以可得〃?(x)的大致图象如图所示,

由图可知，当0<。<泄，函数Mx)的图象与直线产。有两个交点，即函数/心)有两个零点，所以。的取值

范围为(0,

2.(17分)(2024•湖南省九校联盟联考)已知函数小尸犬+加+属必，b,c£R),其图象的对称中心为(1,-2).

(1)求a1・c的值；(8分)

(2)判断函数段)的零点个数.(9分)

解⑴函数/(x)的图象关于点(1,-2)对称，故月U+l)+2为奇函数,

从而有凡什1)+2+f[-x+1)+2=0,即,加什1)乜-工+1尸-4,

y(x+1)=(x+1)3+a(x+1)2+/?(x+1)+c

=3+(〃+3)/+(2°+6+3)%+4+什什1,

/(1-x)=(11-x)2+/>(1-x)+c

=-x3+(a+3)x2-(2a+b+3)x+a+b+c+1,

贝IJ(2a+6)/+2a+2什2c-2=~4,

.(2a+6=0,

72a+2b+2c+2=-4,

解得｛Ko,

:.a-b-c=-3.

⑵由⑴可知,_Ax)=v3-3x2-(?x+c,

八x）=3/-6x-c,令/（x）=0,则4=36+12c,

①当cW-3时,J=36+12c<0,八x）20,

.；/U）在R上单调递增，

•・/1）=-2<0,{3）=27-3x9-3e+c=-2c>0,

・•・函数/（x盾且仅有f零点；

②当-3<c<0时，设八x）=0的两个根分别为修，X2,且.丫内2,

则Xl+X2=2>0,X|X2=-1>0,

：.J\x}=0有两个正根，不妨设O<X|<X2,则3x1-6x］-c=0,

，函数.危）在（-M）上单调递增，在（乃，⑹上单调递减，在（必+8）上单调递增,

•・7（刈=斓-3/-（沏-1）（3岩-6xi）

=-2x1（%J-3x1+3）<0,/（3）=-2c>0,

・•・函数府）有且仅有T零点；

③当c=0时，段）=户3f,

令.几丫）=^-3/=0,解得尸0或尸3,

.\/W有两个零点；

④当C>0时，设W）=0的两个根分别为X3,X4,且Xi^XA,

则X3+X4=2,X3X4="1<0,

・・・/（x）=0有一个正根和一个负根，不妨设％3<0,A-4>2,

二函数以）在（-8,X3）上单调递增，在（如1）上单调递减，在（M+8）上单调递增,

•・・加3）刁蚌>0,火刈）71尸・2<0,

・•・函数/（X）有且仅有三个零点.

综上，当00时，函数/&）有三个零点；

当c=0时，函数上）有两个零点；

当c<0时，函数危）有T零点.

思维创新

3.（17分）（2024•安康模拟）已知函数尔）=%sinx-*

7

（1）证明：当x£［0,兀］时，利幻；（8分）

（2）证明：人力在区间［0,兀］上有两个零点.（9分）

证明⑴设烈x尸门%工尸e'-x-1夕sinx,

贝!1g'(x尸1-«sinx+xcosx).

设m(x)=g,(x)=ex-1-/sinx+xcosx),

贝!]〃7'(x)=et+^(xsinx-2cosx)=ev-cosx+^xsinX,

因为工£