直角三角形 第1课时 直角三角形的性质与判定 同步练习（含解析）

1.3.1直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定

知识点1直角三角形的性质与判定（共5小题）

1.在直角△A8C中，若N8是直角，ZC=36°,那么NA的度数是（）

A.36°B.54°C.64°D.90°

2.在RtZXA8c中，ZC=90°,ZA-ZB=\（r,则NA的度数为（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

3.如图所示，在△ABC中，ZC=90°,EF//AB,Zl=50°,则N8的度数是_________度.

AB

4.如图，在△ABC中，NACB=90°,CDLAB,则与N1互余的角有（）

C

ADB

A.ZBB.ZACBC.ZCDBD.N8C。和NA

5.如图,已知在△ABC中,NC=90°,AO平分N/3AC交8C于点。，过点4作8A的垂线与AO的延

长浅相交于点E求证：是等腰三角形.

B

;

CA

知识点2（边的角度）（共9小题）

6.在△ABC中，ZC=90°,若〃=5,方=12,则（

7.已知〃，4。是一个三角形的三条边，且满足|a--2|+（b-履）2+丘_3=0,请判断这个三角形的

形状是

8.如图，在△48C中，NB=90°,AB=2.BC=4,四边形力OEC是正方形，则正方形A3EC的面积是

A.8B.16C.20D.25

9.在RtZVlBC中，NACB=90°,4c=8,BC=6,AB=IO,则48边上的高的长度是()

A.5B.5.6C.4.8D.4.6

10.如图，已知AC=4,8c=3,BD=12,AD=\3,NACB=90°,则阴影部分的面积为

A

BD

II.在AABC中，已知NA=NB=45°,8c=3,贝UA8=.

12.我国是最早发现勾股定理的国家之一，它被记教于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.请利用

勾投定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1,点A,B,。都在格点上，以力为圆心，

13.如图，在△OAB中，ZAOB=90°,OD1AB,ZA=30°,AB=20,则。。是()

14.如图，在△A8C中，AB=AC,8c=15,。是A8上一点，80=9,CD=\2.

(I)求证：CDLAB；

(2)求AC长.

c

知识点3逆命题、逆定理（共2小题）

15.写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题______________________,它是命题（填

“真”或“假”）.

16.写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假.

（I）四边形是多边形；

（2）两直线平行，同旁内角互补；

（3）如果〃。=。，那么a=U,/?=0.

能力提升（共10小题）

17.下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）

A.a2=1,序=2,（?2=3B.a：b：c=5：12：13

C.ZA+ZB=ZCD.ZA：ZB：ZC=3：4：5

18.如图，已知A3=AC,8到数轴的距离为1,则数轴上。点所表示的数为

19.如图，RtZXABC中，AB=3,BC=2,ZB=90°,将△4BC折叠，使A点与的中点。重合，折痕

55

C.-D.

63

20.如图，在正方形网格中有线段人C、BC,点人，B,C在网格的格点上，则Nl+N2=（)

21.如图，ACYBC,垂足为C,AC=15,BC=20,"=25.P是线段AB上的任意一点，连接PC,PC

的K不可能是()

A.11B.12C.13D.16

22.如图，将一个直角三角形纸片ABC(NACB=90°),沿线段CD折叠，使点8落在夕处，若乙4c8

=74°,则N4CD的度数为()

A.8°B.9°C.10°D.12°

23.如图，在△48C中，ZACB=90°,将△48C沿CQ折叠，使点8恰好落在AC边上的点E处.若/

A=24°,则/£DC=°.

24.如图，在△A8C中，ZA=3()°,N4=60°,CE平分NACB.

(I)求NAC石的度数.

(2)若CO_LA8于点。，NCD/=75°,求证：△CFQ是直角三角形.

c

25.如图，在△48C中，D是边BC的中点，E是边4c的中点，连接4。，BE.

(I)若CD=8,CE=6,AB=20,求证：ZC=90°；

(2)若NC=90°,AD=\3,AE=6,求△48C的面积.

26.定义：如果一个三角形的两人内角a与0满足：a+20=9(T.那么我们称这样的三角形为准互余三

角形”.

(I)若A/WC是“准互余三角形"，ZC>90°,NB=60°,则NA=.

(2)如图，△ABC是直角三角形，NACB=90°.

①若AD是NB4C的平分线，则△AB。是“准互余三角形”吗？并说明理由.

②若点E是边8c上一点，/XABE是“准互余三角形"，NB=24°,求NEAC的度数.

1.3.1直角三角形第1课时直角三角形的性质与判定

参考答案与试题解析

一.选择题（共11小题）

题号\2489131719202122

答案BADCCADBBAA

知识点1直角三角形的性质与判定（共5小题）

I.在直角△A8C中，若N8是直角，NC=36°,那么NA的度数是（）

A.36°B.54°C.64°D.90°

【解答】解：•・•在直角△ABC中，若N8是直角，ZC=36°,

・・・/A=54°,

故选：B.

2.在中，ZC=90°,ZA-ZB=10°,则NA的度数为（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【解答】解：在RlZ\48C中，ZC=90°,

则/A+NB=90°,

VZA-NB=10°,

・・・/A=50°,

故选：A.

3.如图所示，在△A4C中，ZC=90°,EF〃AB,Zl=50°,则N8的度数是40度.

【解答】解：・・・/1=50°,

AZCEF=50°,

'：EF//AB,

AZA=ZCEF=50°,

:△A8c是直角三角形,

AZA?=900-ZA=900-50°=40°.

故答案为：40.

4.如图，在△A4C中，N4CB=90。，CDLAB,则与N1互余的角有（)

A.NBB./ACSC.Z.CDBD.N5C。和N/A

【解答】解：・・・NACB=90°,CD1AB,

/.Zl+ZA=90o,/l+N8CD=90°,

，与N1互余的角有NBC。和NA,

故选：D.

5.如图，已知在△A8C中，NC=90°,AO平分N84C交BC于点。，过点8作84的垂线与A。的延

长线相交于点匕求证：上是等腰三角形.

・・・/4£>C+NQAC=90°,

VZBDE=NADC,

・・・/8QE+NOAC=90°,

VEBIAB,

••・/E+N8AE=90°,

平分NBAC

：,ZBAE=ZDAC,

:・NE=NBDE,

：・BE=BD,

•••△BOE是等腰三角形.

知识点2(边的角度)(共9小题)

6.在△ABC中，ZC=90°,若a=5,6=12,贝♦c=13.

【解答】解：在△4BC中，NC=9()°,。=5,力=12,

Ac=Va2+b2=V52+122=13,

故答案为：13.

7.已知m4c是一个三角形的三条边，且满足|a-2|+(b—+每=0,请判断这个三角形的

形状是育.角三角形.

【解答】解：由条件可知Q-2=0、b-g=0、c-3=0,

解得：Q=2、b=V13.c=3»

V22+32=(V13)2,

・・・比三角形是直角三角形.

故答案为：直角三角形.

8.如图，在△ABC中，ZB=90°,AB=2、BC=4,四边形AQEC是正方形，则正方形AQEC的面积是

A.8B.16C.20D.25

【解答】解：由勾股定理得，

AC2=^2+BC2=4+16=20,

・•・正方形ADEC的面积为20,

故选：C.

9.在RtZXA8c中，N4CB=90°,AC=8,BC=6,A3=10,则A8边上的高的长度是（）

A.5B.5.6C.4.8D.4.6

【解答】解：过点。作。。_148于。，如图所示:

B

D

A

VZACB=90°，AC=8,BC=6,A8=10,

S^ABC=夕CD=4AC,BC,

ACBC8x6

：,CD==4.8.

AB10

故选：C.

10.如图，已知AC=4,BC=3,80=12,AO=13,NAC8=90°，则阴影部分的面积为24

A

BD

•・・/4CB=90°,AC=4,BC=3,

：，AB=\/AC2+BC2=V42+32=5,

V3D=12,4D=13,

：.AB2+BD2=52+\?2=169,4D2=132=I69,

:.AB2+BD2=AD1,

・•・/VW。是直角三角形,

・・・/A8Q=90°，

，阴影部分的面积=的面积-△ABC的面积

BD-^AC*BC

=ix5X12-1x4X3

=30-6

=24,

故答案为：24.

11.在△A8C中，已知NA=N8=45。，8c=3,则♦〃=3/.

【解答】解：・・・NA=NB=45°,

：,AC=BC=3,ZC=90°,

：.AB=>JAC2+BC2=V32+32=372,

故答案为3V2.

12.我国是最早发现勾股定理的国家之它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.请利用

勾股定理解决下列问题：如图，网格中每个小正方形的边长均为1,点A，B。都在格点上，以力为圆心,

AB的长为半径画弧，交最上方的网格线于点D,则CD的长为3-旅

三

A§

【解答】解：如图，

由题意可知，AQ=A4=3,AE=2,CE=3,

在RlZXAOE中，由勾股定理得；DE=>JAD2-AE2=V32-22=VS,

:,CD=CE-DE=3-瓜

故答案为：3-V5.

tifi

AB

13.如图，在△0A8中，NAOB=90°,OO_L4B,NA=30°,AB=20,则0。是（）

0

DB

A.5d5B.5C.10V3D.10

【解答】解：•••△OA8中，NAO8=90°,NA=30°,

・・・/8=60°,

又OD1AB,

・・・/80。=3()°,

在RlAABC中，/A=30°,AB=20,

.・.0B=，4=10,

在RtZXBOO中，N8OO=30°,

:.BD=支用=5,

Z.0D=yJOB2-BD2=V102-52=5A/3,

故选：A.

14.如图，在△ABC中，AB=AC,BC=\5,。是A8上一点，BD=9,CD=12.

(I)求证：CDLABi

(2)求AC长.

【解答】(1)证明：TBCMIS,BD=9,CD=\2,

：.BI^+CD1=92+122=152=8c2,

・・・/a)8=90°,

••・CO_L48；

(2)解:*：AB=ACf

：.AC=AB=AD+BD=AD+9,

VZADC=90Q,

：.AC2=AD2+CD2,

・•・(zlD+9)2=4D2+122,

7

：.AD=g.

・725

•*A“C=2+_LQ9=T

知识点3逆命题、逆定理（共2小题）

15.写出命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题一如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是

直角三角形,它是一真命题（填“真”或“假”）.

【解答】解：根据逆命题的概念写出原命题的逆命题可得：

逆命题是如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形，足真命题，

故答案为：如果三角形有两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形；真.

16.写出下列命题的逆命题，并判断每对命题的真假.

（I）四边形是多边形；

（2）两直线平行，同旁内角互补；

（3）如果ab=O,那么〃=0,/?=0.

【解答】解：（1）四边形是多边形为真命题，其逆命题为多边彩是四边形，此逆命题为假命题；

（2）两直线平行，同旁内角互补为真命题，其逆命题为同旁内角互补，两直线平行，此逆命题为真命题；

（3）如果。。=0,那么。=0,〃=0为假命题，其逆命题为如果。=0,8=0,则。力=0,此逆命题为真命

题.

能力提升（共10小题）

17.下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）

A.a2=l,82=2,C2=3B.a：b：c=5：12：13

C.ZA+ZB=ZCD.NA：ZB：ZC=3：4：5

【解答】解：A、由J=l,户=2,?=3,可得/+必=耕，故AABC为直角三角形；

B、由a：b：c=5：12：13,可得/+■=/,故△A8C为直角三角形；

C、由NA+N8=NC且/A+NB+NC=180°,可得NC=90°,故△ABC为直角三角形；

。、由NA：ZB：ZC=3：4：5.可得/CV90",故△48C不为直角三角形；

故选：Q.

18.如图，已知AB=AC,8到数轴的距离为1,则数轴上。点所表示的数为1-遮.

..

C-I012

【解答】解：利用勾股定理算得力8=内■不方=瓜

：.AC=V5,

・・・数轴上C点所表示的数为：1-遥.

故答案为：1—V5.

19.如图，RtZ\/lBC中，AB=3,BC=2,N8=90°,将△/WC折登，使人点与8C的中点。重合，折痕

为MN,则线段BN的长为()

55

C.一D.-

63

【解答】解：设N8=x，则AN=3

由翻折的性质可知：ND=AN=3-

丁点。是BC的中点,

:.BD=jBC=l.

在RtZXNB。中，由勾股定理可知：ND2=NB2+DB2,

即(3-.V)2=』+%

Ax=o，

4

:.BN，

故选：B.

20.如图，在正方形网格中有线段AC、BC,点A,B,C在网格的格点上，则Nl+N2=()

【解答】解：连接人8,

由题意理，得AdnlN+bZnio,BC2=22+42=10,AB2=l2+32=lO,

.,.AC2+A«2=1O+IO=2O=BC2,AC=AB,

・•・△ABC是等腰直角三角形，NBAC=90°,ZACB=45°,

*：AE//CD,BF//CD,

：.Z\=ZACD,N2=NBCD,

，/l+/2=NACO+/BCQ=/aCB=45°.

故选：B.

21.如图，AC1BC,垂足为C,4c=15,BC=20,48=25.P是线段AB上的任意一点，连接尸C,PC

的长不可能是（）

A.11B.12C.13D.16

【解答】解：设RtZ\A/3C斜边AB的高是〃，

*：AC±BC,垂足为C,

J△43C的面积二聂8”?=聂C・BC,

...25XA=20X15,

；・h=12,

•••hWPCWBC,

•••I2WPCW20,

・・・PC的长不可能是11.

故选：A.

22.如图，将一个直角三角形纸片/WC(NACZ?=90°),沿线段折登，使点，落在"处，若NACZT

=74。，则NACO的度数为()

A.8°B.9°C.10°D.12°

【解答】解：vZACB'=74°,ZACB=90°,

:=164°，

由翻折的性质可知：ZDCB=^ZBCBf=82°,

Z.ZACD=ZACB-ZDCB=900・82°=8°.

故选：A.

23.如图，在△八6C中，NAC5=90。，将△八5c沿C。折置，使点5恰好落在八。边上的点石处.若N

A=24°,则NEOC=69°.

【解答】解：在△A8C中，NACB=90°,NA=24°,

・・・/B=90°・NA=66°

由折叠性质得：NBCD=NECD=*NACB=45。,4EDC=/BDC,

在△BCD中，ZBDC=180°-(ZB+ZBCD)=180°-(66°+45°)=69°,

:"EDC=NBDC=69°.

故答案为：69.

24.如图，在△人AC中，N4=30°,NR=60°,CE平分N4C2

(l)求NAC七的度数.

(2)若CO_L4B于点。，ZCDF=75°,求证：△CFZ)是直角三角形.

，NACB=180°-30°-60°=90°,

又TCE平分NACB,

A^ACE=^ACB=45°；

(2)'CCDLAB,ZB=60°，

AZBCD=900-600=30°,

又・・・/8。£：=N/1。七=45°,

；・/DCF=NBCE-NBCD=15°,

又,：/CDF=15°,

AZCFD=180°-75°-15°=90°,

•••△C77)是直角三角形.

25.如图，在△A8C中，。是边的中点，£是边AC的中点，连接A。，BE.

(I)若CO=8,CE=6,4/3=20,求证：NC=900；

(2