导数与概率的综合性压轴-2026高考数学一轮常考题

22.导数与概率综合压轴

随着概率与统计的地位越来越重要，未来不排除导数与概率综合去命制压轴题目，作为最

后一节，我们赏析一下概率与导数压轴题.

一.基本原理：似然估计与概率最值

1.已知函数：p*/e)输入有两个：x表示某一个具体的数据；。表示模型的参数，如果。

是已知确定的，X是变量，这个函数叫做概率函数，它描述对于不同的样本点工，其出现概

率是多少.如果工是已知确定的，。是变量，这个函数叫做似然函数，它描述对于不同的模

型参数，出现X这个样本点的概率是多少.

极大似然估计，通俗理解来说，就是利用已知的样本结果信息，反推最具有可能(最大概

率)导致这些样本结果出现的模型参数值.

换句话说，极大似然估计提供了一种给定观察数据来评估模型参数的方法，即：“模型已

定，参数未知”.

2.二项分布的两类最值

(1)当〃给定时，可得到函数/(Z)=C：p"(l—P)〃"，Z=0J，2,…〃，这个是数列的最值

问题.

1入=Cfp"(l=5_攵+1)〃=一(1-〃)+5+1)〃-攵=]+(〃+1)〃一攵

7L7-…一W-P)-k(i-p)-*

分析：当％+时，Pk>PkT，0随“值的增加而增加；当人>5+1)〃时，

Pk<Pk.1，p«随左值的增加而减少.如果s+l)〃为正整数，当2=5+1)〃时，PA=Pk.1，

此时这两项概率均为最大值.如果为非整数，而k取(〃+1)〃的整数部分，则以是

唯一的最大值.

注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量A等于期望时，概率最大.

⑵当k给定时，可得到函数/(/?)=C：p£(1-,pG(0,1),这个是函数的最值问题，

这可以用导数求函数最值与最值点.

分析：

r(必=akpJa--/(，一攵)(i一]

=c：pi(1—〃广1%(1—〃)—(〃—幻“=(1_Q)〃-J(k—

1

当左二1,2,・一1一1时，由于当时，/'(/?)>0,/(p)单调递增，当工时，

nn

r(P)<0,/(〃)单调递减，故当〃=“时，/(〃)取得最大值，/(p)ma、=/(与•又当

nn

PfO,/(P)fl，当p-0时，f(p)fO,从而/{p)无最小值.

3.超几何分布的概率最值

将从(。+〃)件产品中取出〃件产品的可能组合全体作为样本点，总数为C；+b•其中，次品出

现k次的可能为d八=3,则所求概率为4(N)=Q%

CN

即令3L“，则当〃心时，

hJN-1)C：C%LN-N-nN+kN

ani

2>1：当。〃<ZN时，2<1,即当N<半时，4(N)是关于N的增函数；当N>工时,

an

%(N)是关于N的减函数.所以当N二T时，4(N)达到最大值.

二.典例分析

例1.(24届杭州市高三二模T19)在概率统计中，常常用频率估计概率.已知袋中有若干

个红球和白球，有放回地随机摸球〃次，红球出现〃?次.假设每次摸出红球的概率为〃，

根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率P的估计值为p=~.

n

(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为1:3,不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取

3个球，设摸出的球为红球的次数为丫，则丫〜3(3,p).

注：月,“=%)表示当每次摸出红球的概率为〃时，摸出红球次数为4的概率)

(ii)在统计理论中,把使得今(丫=%)的取值达到最大时的〃，作为〃的估计值，记为p,

2

请写出〃的值.

(2)把(1)中“使得？(，=%)的取值达到最大时的。作为〃的估计值的思想称为最

大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.

具体步骤：先对参数。构建对数似然函数/(。)，再对其关于参数。求导，得到似然方程

最后求解参数夕的估计值.已知y〜8(〃,〃)的参数〃的对数似然函数为

/(p)=£xjnp+£(l-Xj)ln(l-p),其中曹；鬻鬻誉.求参数P的估

计值，并且说明频率估计概率的合理性.

1Q

解(D因为丫〜8(3,〃)，所以〃的值为I或t.

(i)表格如下

k0123

勺”=攵)272791

464646464

8(…)192727

464646464

(ii)由题知e，(y=z)=c；pYi—p)i.

I3

当y=0或1时，参数〃的概率最大：当y=2或？时，参数〃二」的概率最大.

44

*=0,1.

所以P=：

(2)对对数似然函数进行求导，因此似然方程为

Pi=\1一〃<=1

[〃]〃1n

"解上面的方程，得2门;X，，

因此，用最大似然估计的参数〃与频率估计概率的〃是一致的，故用频率估计概率是合理

的.

例2.(2021新高考2卷)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微

生物为第。代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每

3

代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设才表示1个微生物个体繁殖下一代的个

数，P(X=i)=p,(i=O,l,2,3).

(1)己知Po=O.4，P1=0.3,〃2=0.2,〃3=0.1,求E(X)；

(2)设0表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于彳的方程：

Po+Pd+p/2+p/3=x的一个最小正实根，求证：当E(X)K1时，p=l,当E(X)>1时，

”1；

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义

解析：(2)设/(工)=〃3/+〃2f+(〃IT)汇+〃0，因为冏+%+8+%=1，故

2

/(x)=〃3丁+p2x一(〃2+%+〃3)x+〃0，若E(X)w1,则Pi+2p2+3P341,故0+2P3«Po.

/'(x)=+2p2x-(p2+[%+)，因为f'(。)=一(〃2+A)+0)<。，

:(1)=〃2+2〃3-〃04°，故/'(x)有两个不同零点%玉，且玉

且x«-oo，X)D(孙+00)时,r(x)>0；X£(X]，W)时，/")<°；故/(X)在(fN)，(々，欣)

上为增函数，在(小土)上为减函数，若七=1，因为/(1)在(0口)为增函数且7(1)=。，

而当xe(O,占)时，因为/(X)在(％,再)上为减函数,故f(x)>/(电)=/(1)=()，故1为

Po++p/3=X的一个最小正实根，若9>1,因为/(1)=0且在(0,9)上为减函数，

故1为Po+川+P2X2+p/3=X的一个最小正实根,综上，若E(x)W1,则〃=1.若石(>)>1,

则+2〃2+3〃3>1,故P2+2必>Po.此时/'(0)=-(〃2+A)+)<0，

:(1)=〃2+2〃3-〃0>°，故/'(X)有两个不同零点卬玉，且且

X£(YO.&)U(X4，_H»)时，/，(x)>0：xe(孙匕)时，，(力<0：故/(X)在(-00,$),(%+00)

上为增函数，在(如七)上为减函数，而/⑴=0,故〃％)<(),又〃0)=%>0,故f(x)

3

在(0，%)存在一个零点P，且〃<1.所以〃为Po+PM+P2x-+P3x=x的一个最小正实根，

此时〃<1,故当E(X)>1时，p<\.

(3)意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代必然灭绝，若繁殖后

代的平均数超过1,则若干代后被灭绝的概率小于1.

4

例3.（24届湖北省部分学校联考）有一位老师叫他的学生到麦田里，摘一颗全麦田里最大

的麦穗，期间只能摘一次，并且只可以向前走，不能回头.结果，他的学生两手空空走出麦

田，因为他不知前面是否有更好的，所以没有摘，走到前面时，又发觉总不及之前见到的，

最后什么也没摘到.假设该学生在麦田中一共会遇到〃颗麦穗（假设〃颗麦穗的大小均不相

同），最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，为了使他能在这些麦穗中摘到那颗最

大的麦槐，现有如下策略：不摘前颗麦穗，自第Z+1颗开始，只要发现比池前

面见过的麦穗都大的，就摘这颗麦穗，否则就摘最后一颗.设攵=〃?，该学生摘到那颗最大

Ln-l|卜〃

的麦穗的概率为儿（取一£二=一5£）

nj=kJnk

（1）若〃=4,k=2,求P；

（2）若〃取无穷大，从理论的角度，求P的最大值及P取最大值时，的值.

解析：（1）这4颗麦穗的位置从第1颗到第4颗排序，有A：=24种情况.

要摘到那颗最大的麦穗，有以下两种情况：

①最大的麦穗是第3颗，其他的麦穗随意在哪个位置，有A；=6种情况.

②最大的麦穗是最后1颗，第二大的麦穗是第1颗或第2颗，其他的麦穗随意在哪个位置，

有2A；=4种情况.故所求概率为与上=白.

2412

（2）记事件A表示最大的麦穗被摘到，事件々表示最大的麦穗在麦穗中排在第/颗.

因为最大的那颗麦穗出现在各个位置上的概率相等，所以尸（鸟）=：.以给定所在位置的序

号作为条件，。（4）=£。（4|8尸出）,£。（川与）.当1V分时，最大的麦穗在前k颗

7=1nj=\

麦穗之中，不会被摘到，此时P（A|8,）=0.当k+时，最大的麦穗被摘到，当且仅

当前J一颗麦穗中的最大的一颗在前攵颗麦穗中时，此时川川鸟）二署.由全概率公式知

1n卜JL?一!17,..।।

2（A）=_Z「7=_2_=_ln£.令函数g（x）=±ln3：x＞0）,（x）=-ln---,令

〃工】，一1〃羡Jnknxnxn

g\x）=o，则Y,当x„时,gG）＞o,当工€（川时,g'（x）＜o,所以g*）在（畔）

上单调递增，在化，上单调递减.所以ga）g=g（A=L所以当r，,p（A）="r时

\e）Jeenk

取得最大值，最大值为,，此时/=」，即。的最大值为,，此时/的值为L

eeee

例4.（2011全国卷）

5

2x

(1)设函数f(x)=ln(l+x)———,证明：x>0时，/(x)>0；

x+2

(2)从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取

Q1

20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为证明：p<(—)|9<—.

1()e~

_2

解析：(1)/；­小，，当x>0时,/(外>0,所以/5)为增函数，又/(())=(),

(X+1)(X4-2)-

因此x>()时，/(x)>0.

10Qx99x9x-x81:22

(2)依题，^--^99x81<90,98X82<90<-S91X89<90,

10(严

Q2

所以〃<(一)匕由(1)知：当x>0时，/(x)>0,因此(1+—)ln(l+x)>2.

10x

在上式中，令工=,，贝ij191n处>2,即(皿了〉/,所以〃<(2户<二

99910e~

三.习题演练

1.为了估计一批产品的不合格品率P,现从这批产品中随机抽取一个样本容量为〃的样本

岁*2,刍,…4，定义4h爰格，i=L2,•••,",于是P(刍=l)=p,P(4=O)=l-p,

U,弟/伏口tn

i=1,2,，记L(p)=P©=%12=和…/=/)(其中耳=0或1,i=1,2,….〃)，称〃p)表示〃

为参数的似然函数.极大似然估计法是建立在极大似然原理基础上的一个统计方法，极大似

然原理的直观想法是：一个随机试验如有若干个可能的结果A,B,C,...»若在一次试验中，

结果A出现，则一般认为试验条件对A出现有利，也即A出现的概率很大.极大似然估计是

一种用给定观察数据来评估模型参数的统计方法，即“模型已定，参数未知"，通过若干次试

验，观察其结果，利用试验结果得到某个参数值能够使样本出现的概率为最大.根据以上原

理，下面说法正确的是()

A.有外形完全相同的两个箱子，甲箱有99个白球1个黑球，乙箱有1个白球99个黑球.今

随机地抽取一箱，再从取出的一箱中抽取一球，结果取得白球，那么该球一定是从甲箱子中

抽出的

B.一个池塘里面有鲤鱼和草鱼，打捞了100条鱼，其中鲤鱼80条，草鱼20条，那么推测

鲤鱼和草鱼的比例为4:1时，出现80条鲤鱼、20条草鱼的概率是最大的

r

L(p)=""(1-p)a5=0或l,i=l,2,

I«

D.〃P)达到极大值时，参数〃的极大似然估计值为-工怎

6

【详解】极大似然是一种估计方法，A错误；设鲤鱼和草鱼的比例为，，则出现80条鲤色,

、80

20条草鱼的概率为C*

Z+1J

设『

一、X。产”+1).一100产〃+1)为so产

・・•/(/)=C*-I；JJ=C意厂R(80-20/),

.•.0</<4时，/")>(),4vf时,f'Q)<0,

.•J(r)在re(O,4)上单调递增,在f«4,+oo)上单调递减,

故当f=4时，/（/）最大，故B正确;

根据题意，〃P）=P（6=孙…4=/）（其中七=。或1,，=12…

所以切）=〃"­）哆％=0或…”可知C正确;

〃(P)=住x)'•(JP)"书-，'〃一£七（1一〃广呼”

\i=l7

(1-P)"理住司.(l-p)-pf〃-力七=p'.(1-p广哈

LI总7ki=l/

1n1n1n

令z/(p)=o,解得〃=一£%,且0<〃<一2七时乙'(p))o,|>〃)一苫七时c(〃)〈o,

〃r=1ni=ln*=l

上递机在已£>，1］上递减，故“〃）达到极大值时，参数〃的极大

故以P）在

k〃1=1>

似然估计值为故D正确.

故选：BCD

2.设随机变量X的概率密度函数为〃（当X为离散型随机变量时，〃。；。）为X=x的

概率），其中夕为未知参数，极大似然法是求未知参数。的一种方法.在〃次随机试验中，随

机变量X的观测值分别为劣，”2,定义以加Mx；e）p®；o）・・・p（/；。）为似然函

数.若°二°时，〃夕）取得最大值，则称°为参数。的极大似然估计值.

⑴若随机变量x的分布列为

X123

7

0226(1一夕)

其中OvOvl.在3次随机试验中，X的观测值分别为1,2,1,求。的极大似然估计值0.

⑵某鱼池中有鱼〃65）尾，从中捞取50尾,做好记号后放回鱼塘.现从中随机捞取20尾,

观测到做记号的有5尾，求〃?的极大似然估计值近

1（if

⑶随机变量X的概率密度函数为〃（M标）-]#ek，b＞0.若/，/，…，品是X的

一组观测值，证明：参数4的极大似然估计值为3'if.

n1-1

【详解】(1)依题意得:L(e)=P(X=1).P(X=2)-P(X=I)=6>2-20(\-0)-02=26>5-2^6,

所以z/s）=io夕一12"=-12少（喂5）.当。＜。＜加，m＞o,单调递增;

6

当3＜夕＜1时，W）＜0,U0）单调递减；所以。=3时，取得最大值，所以。的极大

66

似然估计值为。A=15

6

W1)=(〃?-49)(〃?-19)

(2)依题意得：L(in)=p(5;m)='明,LQn)一(〃?-64)。〃+1)•

L(m+\)/L(nt+\)/

令A一得t650299’令Af"'t得〃399'

乂L(I99)=L(200),所以L(65)<L(66)<•••vL(199)=L(200)>£(201)>L(202)>...

所以〃7=199或200时，取得最大值，所以也的极大似然估计值为而=199或200.

2222

(3)依题意得:L(a)=p(x1;cr)p(x2;(T)...p(x„;cr)

1।叱1

=-rL-C2『2,…

\12n(yJ27rb<2g

所以［"(/六・小碓乃)-/】。-白

222(7/-I

令尸(，)=_gln(2兀)-if,r>(),

222t/=|

贝1」尸'（。=一巳+*与（七一合"」fa—)］，令尸⑺町得/=：£(七-『

"V〃/=))〃»-)

当o＜/＜一£；（.、―1）2时，尸’“）＞（）,产（。单调递增;

ni=i

当空，力（%T）2时,m＜o,尸⑺单调递减;

〃/=!

8

所以当，,为（玉-1）2时，尸⑴取到最大值.

〃1=1

即。2=,£（玉-1）2时，1吐（，）取得最大值，即取得最大值.

ni=l

所以参数02的极大似然估计值为拼-I）?.

111=1

3.函数〃x）=lnx-华

⑴讨论的单调性；

⑵若函数/（X）有两个极值点司，X2，曲线5=/（工）上两点（内/（内）），（占/（石））连线斜率记

2—ci

为k,求证：k>----；

a-\

⑶盒子中有编号为1~100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，

记抽取的20个小球编号各不相同的概率为p,求证：］）<；.

e

,、/、1x2+（2-2a）x+\

【详解】（1）/x定义域为0,~,/"）=——'/匕--=——，

x（x+l）x（x+l）

对于方程犬+（2-2〃）工+1=0,A=（2-26/）2-4=4（r?-2«）,

当△<（）,即04aW2时，V+（2-2a）x+120,/'（x）20,/（%）在（0,+纥）上单增，

当△>（）,即兴0或a>2时，方程/+（2-2〃）彳+1=0有两不等根，

2

X=4一1一J/-2〃,x2=a-\+yJa-2a,而与+々=2（々-1）,x}x2=1,

所以当a<0时，内<9<0,/（6>0在（o,y）上恒成立，“X）在（0,转）上单增：

f

当〃>2时，0<X）<x2,.E£（0,xJ或时，/（x）>0,不£（苔,々）时，/'（x）v0,

所以/（x）在（0小）和（天,田）上单增，在（内,天）上单减，

综上，当aM2时，在（0,切）上单增；

当a>2时，/（力在（0.a-1-\la2-2rzj和卜-1+-2a,4<o）上单增，

在（a—1—Ja，-2a,a—1+Vci2—2cij上单减：

⑵」（%）-"&）_1'$TJI2F+J

K——

玉一/KF

9

户2心一马）M五__2心-占）lnA

与（%+1）&+1）_4NW+K+G+l=L2a=Inx-ln]_l，

Xj-x2内一W西一大2]+2〃-2+1x（-x2

.2-aInx,-Inx,,1,Inx.-Inx,2

所以要证k>——，即证一!----=--1>-7-1,即证一!-----=->------,

x+

a-\Xj-x2a-\王一/\^2

_2伊一1]

也即证In土-生匚包=ln土--3_2<0（*）成立.设f='c（O,l）,函数

x?2+巧巧A+1%

硝）=■.当孔由（1）知馋）在（0,笆）上单增，且砌=0,所以f«0,l）时，如）<0,

所以（*）成立，原不等式得证：

（3）由题可得〃=祭J0°x992r82x81,因为99x81=90?-9?<90?，

100100

98x82=902-82<902,....91X89=902-12<902,所以p<(就又由(2)知1£(1,+00),

/?（z）=ln/_^£z!）>0,取/=?有11—--Z=]n12_2>o,即In偿）>2,即

'，/+I9910+1919⑺

9

>e2,所以〃<（得）<V

4.某景区的索道共有三种购票类型，分别为单程上山票、单程下山票、双程上下山票.为

提高服务水平，现对当日购票的120人征集意见，当日购买