浙江省杭州市余杭、临平区2024-2025学年第二学期八年级期中考试数学卷（含答案）

浙江省杭州市余杭、临平区2024-2025学年第二学期八年级期中考试数学卷

一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、

错选，均不给分）

1.下列属于一元二次方程的是（）

A.x+l=0B.x2-4xC.x2+2x-3=0D.x-2y=3

2.使二次根式有意义的条件是（）

A.x=lB.x+1C.x>lD.x>l

3.某地一周每一天的平均气温与天数如下表,则表示这周每一天平均气温的数据中，众数（单位：。C）是

()

平均气

温26272830

（℃）

天数1213

A.26B.27C.28D.30

4.下列各式中，计算正确的是（）

A.V3-V2=1B.3V2-2V2=1C.V3xV2=V6D.V3xV2=6

5.用配方法解方程x2+6x=7,应在方程两边同时加上（）

A.9B.6C.36D.3

6.如图，在tiABCD中，下列结论一定成立的是（）

DC

B

A.AD=BDB.OA=OCC.AB1BDD.ZBAC=ZDAC

7.当l〈a<2时，代数式J(Q-2)2+的值是()

A.1B.-1C.2a-3D.3-2a

8.某县是我国生态环境第一县，全国各地前去旅游的人逐年增多，据统计，2022年“五一”假期期间，该县

接待游客15万人次，2024年增长至46万人次.设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为

x,则可列方程（）

A.15(l+2x)=46B.15(1+x)2=46

C.46(1-x)2=15D.15(1+x)+15(1+x)2=46

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9.如图，欧儿里得的《原本》中记载了形如x2+ax=b2（其中a>0,b>0）的方程的图解法：作出RbABC,

使两条直角边AC和BC的长分别为b和邑再在斜边AB上截取BD岑，则该方程的一个止根是（）

10.如图数阵是按一定规律排成的，规定：从上往下第a行，同时在该行，从左往右第b个数所在的位置用

数对（a,b）表示，如：数2鱼所在的位置可表示为（4,2）,则数45所在的位置可表示为（）

1

J2J3

J6J52

J72j23J1O

A.（63,54）B.（63,10）C.164.55）D.（64.9）

二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分）

11.若Y3+%的值为零，则x的值是_________.•

12.已知一个四边形，它的外角和的度数是________.

13.一组数据2,3,5,a的平均数为4,则a的值是.

14.如图，一个正三角形路标ABC的边长为4个单位，则这个路标的面积是_________平方单位.

A

A

BC

15.定义新运算：a®人的歌瑞例如：-2。

M=（-2）2-4=0,203=-2+3=1.若工③

i=-i贝打的值为______________.

16.如图，CJABCD的对角线AC,BD交于点O,且髭；=盍，AE平分NBAD,交BC边于点E,连接

OE,若S四边形0ECD=一贝Ijn为_________.

SAA0D

AJ）

REC

三、解答题（本题有8小题，共72分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）

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17.计算：

(1)2x/12-x/3+V8

(2)(J1+V27)xV3

18.解方程：

(1)x(x-3)=0；

(2)x2+6x+5=0.

19.如图，在6x6的方格纸中，每人小正方形的边长均为1,点A,B均在格点上，请解答下列问题。

(1)画一个面积为12的oABCD,使它的顶点都在格点上;

(2)求该平行四边形的周长，

20.某校八年级为了丰富学生课外生活，举办了文学知识竞赛(10分制，学生得分均为整数)、在这场竞赛

中，甲、乙两位同学10次的成绩如下：

甲：7,8,8,7,8,8,10,8,8,8：

乙：7,8,7,8,7,8,9,8,8,10.

请根据信息问答问题：

级别平均数众数中位数方差

甲a8Cd

乙8b80.8

(1)求a、b^c^d的值；

(2)现要从甲、乙两位同学中选出一位参加集团学校的文学却识竞赛，你认为应该选哪一位？请说明理

由，

21.如图，在"BCD中，对角线AC,BD相交于点O,AE,CF分别平分NDAO与ZBCO.

(1)求证：ZDAE=ZBCF；

(2)猜想AE与CF的关系，并证明你的猜想.

22.某市为了落实惠农工程，提高人民生活水平，准备建造一个养殖厂，地点选定在郊区的土坡附近，为保

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障安全，防止滑坡，现决定对该土坡进行改造，相关人员对地形进行勘测后，得到如图所示部分地形图，其

中BC〃AD,斜坡AB的坡比为3：1,坡AB氏2d诟米.

（1）求该斜坡的竖直高度；

（2）为确保养殖厂安全，现计戈I改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到E处，且保证坡脚A处到

E点的仰角不得低于60。，问BE最多削进多少米？

23.已知aABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2-2（k-1）x+k2・2k=0的两个实数根，第三边

BC的长为10.

（1）求证：无论k为何值，此方程总有两个不相等的实数根：

（2）当k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求△ABC的周长；

（3）当k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

24.如图，在平面直角坐标系中，点A是直线1：y=gx在第一象限内的一个动点，点B在x轴正半轴上.以

OA,OB（OA<OB）为边构造dZOBP,点P关于直线AB的对称点

（2）当AC_LOB时，求贯

（3）若B点坐标为（4,0）,直接写出当△BCO是等腰三角形时P点的坐标.

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答案解析部分

1.【答案】C

【解析】【解答】解：A、x+l=O是等式，但最高次数为1,则不是一元二次方程；

B、x2-4x不是等式（缺少“=0”），无法构成方程，则不是一元二次方程；

C、x2+2x-3=0是等式，最高次数为2,则是一元二次方程；

D、x-2y=3是等式，但含有两个未知数x和y,则不是一元二次方程；

故答案为：C.

【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2,且二次项系数不为0,

据此逐项分析即可求解.

2.【答案】D

【解析】【解答】解：•・•二次根式有意义，

Ax-1>0,

解得:%>1,

故答案为：D.

【分析】根据二次根式有意义，则杖号内的表达式必须大于等于0,据此得到不等式解不等式即

可求解.

3.【答案】D

【解析】【解答】解：•・•表格中平均气温对应的天数为：

26℃：1天

27℃：2天

28℃：1天

30℃：3天，

・••众数为30,

故答案为：D.

【分析】根据众数是指一组数据中国现次数最多的数值，据此即可求解.

4.【答案】C

【解析】【解答】解：A、国和鱼不是同类二次根式，无法直接相减，则本项不符合题意；

B、3>/2-2\/2=V2,则本项不符合题意；

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c、V3XV2=V6,则本项符合题意；

D、V3xV2=V6,则本项不符合题意；

故答案为：C.

【分析】根据二次根式减法法则和兵法法则计算即可.

5.【答案】A

【解析】【解答】解：•・•方程醒+6乂=7中的一次项系数为6,

・•・需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即0)=32=9，

故答案为：A.

【分析】配方法解一元二次方程的关键是将方程转化为完全平方形式，题目中方程为/+6%=7,二次项系

数已为1,常数项已移至右边，只需通过配方将左边配成完全平方式，这需要在两边同时加上一次项系数一

半的平方即可.

6.【答案】B

【解析】【解答】解：A、平行四边形中，AD是边，BD是对角线，边长与对角线长度无必然相等关系，则本

项不符合题意；

B、平夕亍四边形的对角线互相平分，即AC和BD的交点O满足AO=OC且BO=OD,则本项符合题意；

C、只有当平行四边形为菱形时，对角线才与边垂直，则本项不符合题意；

D、只有当对角线AC平分NBAD时才成立，则本项不符合题意；

故答案为：B.

【分析】根据平行四边形的性质，对角线互相平分，对边相等，对角相等，但邻边不一定相等，对角线也

不一定垂直或相等，据此逐项分析即可.

7.【答案】A

【解析】【解答】解：・・・1VQV2,

•a—2<0/cz-1>0>

原式=|a—2|+|a—1|,

・,•代数式为：2—Q+Q—1=1,

故答案为：A.

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【分析】根据题意得到a—2<0,a-l>0,进而根据二次根数的性质化简即可.

8.【答案】B

【解析】【解答】解：设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x,

A15(l+x)2=46,

故答案为：B.

【分析】设这两年“五一”假期该县接待旅游人次的年平均增长率为x,根据“2022年“五一”假期期间，该县接

待游客15万人次，2024年增长至46万人次3据此列出方程即可.

9.【答案】B

【解析】【解答】解：・・・4月。8=90。，BC*AC=b,

22

%2+QH=房(Q>o,b>0)用求根公式得：x_-a±Ja+4b,

・•・方程的正根为：丫_-0+42+4”

x-2

对比AD的表达式可知，AD的长度恰好等于方程的正根。

故答案为：B.

【分析】根据题目条件构造直角三角形，利用勾股定理计算斜边长度，再通过截取线段找到与方程正根对应

的几何量.

10.【答案】D

【解析】【解答】解：由图形可知：第n行有n个数，且每个数都是其所在行数的平方根，

V45=62+9,

A45位于笫64行笫9列，

・••数45所在的位置可表示为(64,9)

故答案为：D.

【分析】由图形可知：第n行有n个数，且每个数都是其所在行数的平方根，根据45=62+9,则可知45

位于第64行第9列，进而即可求解.

11.【答案】-3

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【解析】【解答】解：•・•万行的值为零，

，3+x=0,

•»x=-3,

故答案为：-3.

【分析】根据二次根式的结果为。时，其被开方数必须等于0,则得到3+%=0,解此方程即可.

12.【答案】360°

【解析】【解答】解：一个四边形，它的外角和的度数是：（4一2）乂180。=360。，

故答案为:360。.

【分析】根据多边形外角和公式计算即可.

13.【答案】6

【解析】【解答】解：•・•一组数据2,3,5,a的平均数为4,

•2+3+5+Q.

-----4---=%

•*a=6,

故答案为：6.

【分析】根据平均数的计算法则计算即可.

14.【答案】4V3

【解析】【解答】解:这个路标的面积是亨X42=4g,

故答案为：4V5.

【分析】根据正三角形的面积公式为亨M，据此代入计算即可.

15.【答案】】或《

【解析】【解答】解：当X0O时，由新运算可得乂2-1二一盘

4

••X-R

4

解得X：当舍去），X2=-1；

当x>0时，由新运算可得-x+l=-+

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解得昌,

综上X的值为:第一去

故答案为：:或一去

【分析】根据新运算定义，分当XS）时与当x>0时两种情况，分别列出方程，解方程再判断出符合题意的x

的值即可.

16.【答案】2-亨

【解析】【解答】解：•「□ABCD的对角线AC,BD交于点0,

・・・04=OC,0D=0B,

***^AC0D-S2A0D—SMOB-S&COB-

•・Z0||BC,

：-LDAE=L.BEA,

•.，AE平分NBAD,

-'­/LDAE=乙BAE,

：-LBEA=/.BAE,

・"8=EB,

..殁_J_

•前一TT

:・BC=&AB=\f2EB=&(BC-CE),

•2-72

••CrcE=-—BDCr,

设点A到BC距离为h,

7]2-\~22-\~2

:

-S^ACE=-CE^h=7x^^BC.h=T^S“Bc，

••$四边形诋。

c=2一叵

•四边形OECD4一

---c-----=n=---

、》AOD22

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故答案为：2-孽

【分析】根据平行四边形的性质得到SACOD=SMOD=SMOB=S“OB=NMBC，由平行线的性质得到

/-DAE=^BEA,结合平角平分线的定义得到：^BEA=£.BAE,则48=E8,结合题目条件推出CE=

空8C,设点A到BC距离为h,根据三角形面积计算公式得到S“OE=SMOE='S"CE="2SMB。，

,22

则S四边形。EC。=SAC。。+SKOE=4^S.ABC，进而代入计算即可.

17.【答案】(1)解：原式=2x26-VW+2鱼

=4V3-V3+2V2

=373-272.

(2)解：原式二J1x国+何xV5

x3+V27x3

=1+9=10.

【解析】【分析】(1)根据二次根式的性质”而=片和合并同类二次根式的法则计算即可求解；

(2)根据单项式乘以多项式的法则和二次根式的乘法法则即可即可求解.

18.【答案】(1)解：x-(x-3)=0,

x=0或x-3=0

解得xi=0,X2=3

(2)解：x2+6x4-5=0

因式分解,得(x+l)(x+5)=0,

x+1=0或x+5=0

解得X1=-1,X2=—5

【解析】【分析】(1)根据乘积为。的性质，分别令两个因式等于0,从而得到方程的解；

(2)利用配方法，即将方程的左边转化为一个完全平方的形式，然后利用平方等于某个值的性质，对方程

进行求解.

19.【答案】(1)解：如图为所作平行四边形.

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(2)解：AB=CD=(l2+32=V10»

AD=BC=4,

CaABCD=2VT0+8

【解析】【分析】（1）平行四边形的面积为12,可选底为4,高为3（因为4x3=12）,或底为6,高为2等,

进而作图即可；

（2）根据平行四边形对边相等，因此需计算两组邻边的长度，再相加得到周长.

“，斑/1\格77+8+8+7+8+8+10+8+8+8

20.［答案］（1）解：a=-----------------YQ-------------------=o8,

乙的成绩为：7,8,7,8,7,8,9,8,8,10

出现次数最多的数是7和8,各出现3次和4次，故众数b=8

将甲的成绩排序后为：7,7,8,8,8,8,8,8,8,8

中间两个数为第5和第6个数，均为8,中位数。=竽=8

d=A［（7-8）2+（7-8）2+（10-8）2］=0.6

（2）解：选择甲参加市里比赛.

理由如下：•・•甲乙两人的平均数、众数、中位数都相等

・・・0.6<0.8方差越小，成绩越平稳，

・••选择甲.

【解析】【分析】（1）根据平均数、众数、中位数和方差计算方法直接计算即可求解;

（2）由数据可知甲乙两人的平均数、众数、中位数都相等，进比较方差即可求解.

21.【答案】（1）证明：•・•四边形ABCD是平行四边形，

Z.AD//BC,

.\Z-DAO=Z.BCOo

VAE,CF分别平分乙与N8C。

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：-Z-DAE=^ADAOI乙BCF=^CBCO

:•(DAE=^BCF.

(2)解：AE与CF平行且相等.

由(1)知4/ME=^EAO=乙OCF=乙BCF

・・・AE〃CF.

•・•对角线AC,BD相交于点O,

AOA=OC.

•・•乙AOE=4COF

・•・△AOE^ACOF

・・・AE=CF

即AE与CF平行且相等.

【解析】【分析】(1)根据平行四边形性质和平行线性质得到4》1。=48。。，结合角平分线定义即可求证；

(2)由(1)知/OAE=/E力O=4OCF=/8CF,9\AE||CF,利用“ASA”证明△AOE三△C。凡进而即可求解.

22.【答案】(1)解：过点B作BF_LAD,

Vi=3:I,AB=2同米

・••设AF=x,则BF=3x

由勾股定理得：/+(3x)2=(2"5)2

解得x?=4,Vx>0,.*.x=2

则BF=6,即该斜坡的竖直高度为6米

(2)解：连接AE,过点E作EM1AD,

由(1)可知，EM=BF=6米，AF=2米,

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・・•坡脚A处到E点的仰角不得低于60。

，最大削进时，ZEAM=60°

.•・AM=5=2百米

・•・BE=MF=AM—AF=(2遍一2)米.

即BE最大削进(2g—2)米

【解析】【分析】(1)过点B作BF_AD,根据题意设AF=x,则BF=3x,进而利用勾股定理列出方程，+

(3x)2=(2所)2,解此方程即可求解.：

(2)连接AE,过点E作EM_LAD,由(1)可知，EM=BF=6米.AF=2米，结合恶意得到最大削进时，

ZEAM=60°,进而解直角三角形即可.

23.【答案】(I)证明：•••b2-4ac=4(k-l)2-4(k2-2k)=4>0

・•.无论k为何值，此方程总有两个不相等的实数根.

(2)解：由(1)知方程总有两个不相等的实数根，则当△ABC是等腰三角形时

x=10必定是方程的一个根

当x=l()时，102-20(k—l)+k2—2k=0

解得k=10或12

①当k=10时，方程变为x2-18x+80=0

得x=IO或8

△ABC的周长为10+10+8=28

②当k=12时,方程变为X2-22X+120=0

得x=IO或12

・•・△ABC的周长为10+10+12=32

(3)解：解一元二次方程x2—2(k—l)x+k2—2k=0

_2(/c-l)±2

x——2-'

xi=k,X2=k—2

•・•△ABC是以BC为斜边的直角三角形

Ak2+(k-2)2=102

解得k=8或一6

当k=-6时，AB,AC即xi,X2<0(舍去)

・・・k=8时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形

【解析】【分析】(1)计算放方程根的判别式△并证明其恒为正即可；

(2)由(1)知方程总有两个不相等的实数根，则当△ABC是等腰三角形时，x=10必定是方程的一个根，进

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而求出k=10或12,进而分两种情况讨论，①当k=10时，方程变为x2-18x+80=0：②当k=12时，方

程变为父22xI120=0,分别解方程即可；

(3)解方程得到xi=k,X2=k—2,利用勾股定理逆定理列出方程k2+(k—2)2=102,解此方程即可求解.

24.【答案】(1)证明：•・•四边形AOBP是平行四边形，

AAP//OB,

.\ZBAP=ZABO,

•・•点P关于直线AB的对称点为Q,

/.ZBAP=ZQAB,

AZQAB=ZABO,

.\AC=BC

(2)解：过点P作PM_Lx轴于点M,

易得△AOC^APBM,

•・•四边形AOBP是平行四边形，AC±OB,

AOB=AP,AC1AP,

设A点坐标(3a,4a),

OC=3a,AC=4a,

VAC=BC,

ABC=AC=4a,AP=AQ=7a,OM=10a,PM=4a,CQ=3a,

・・・OP=JOM2+PM2=J(10a)2+(4a)2=2V29a

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