人教版高中数学（文）选修2-2学案223数学归纳法（一）

2.2.3数学归纳法（一）【学习目标】1.了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;3.理解数学归纳法中递推思想.【新知自学】知识回顾：1.证明方法：（1）直接证明；（2）间接证明：________.新知梳理：1.问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?2.数学归纳法两大步：（1）归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立;（2）归纳递推：假设n=k（k≥n0，k∈N）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.3.数学归纳法是一种完全归纳的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立.对点练习：1.若f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,6n－1)(n∈N＋)，则f(1)为()A．1B．eq\f(1,5)C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)D．非以上答案2.已知f(n)＝eq\f(1,n)＋eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n2)，则()A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)3.用数学归纳法证明:当为整数时,.【合作探究】典例精析：例1.用数学归纳法证明变式练习：用数学归纳法证明例2.用数学归纳法证明:首项是,公差是的等差数列的通项公式是,前项和的公式是.变式练习：用数学归纳法证明:首项是,公比是的等差数列的通项公式是,前项和的公式是.()规律总结：1.数学归纳法应用注意问题(1)数学归纳法证题时，第一个值n0不一定为1，如证明多边形内角和定理(n－2)π时，初始值n0＝3.(2)数学归纳法证题的关键是第二步，证题时应注意：①必须利用归纳假设作基础；②证明中可利用综合法、分析法、反证法等方法；③解题时要搞清从n＝k到n＝k＋1增加了哪些项或减少了哪些项．2.其中关键：从假设n=k成立，再证得n=k+1成立时要用上假设.【课堂小结】【当堂达标】1.用数学归纳法证明：，在验证时，左端计算所得项为A.1B.C.D.2.设，那么等于（）A.B.C.D.3.已知数列的前n项和，而，通过计算，猜想.4.用数学归纳法证明:【课时作业】1.用数学归纳法证明时，从n=k到n=k+1，左端需要增加的代数式为A.2k+1B.2(2k+1)C.D.2.一个关于自然数n的命题，如果验证当n＝1时命题成立，并在假设当n＝k(k≥1且k∈N)时命题成立的基础上，证明了当n＝k＋2时命题成立，那么综合上述，对于()A．一切正整数命题成立B．一切正奇数命题成立C．一切正偶数命题成立D．以上都不对3.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…－eq\f(1,n)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,n＋2)＋\f(1,n＋4)＋…＋\f(1,2n)))时，若已假设n＝k(k≥2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立4.用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N)”的过程中，第二步n＝k时等式成立，则当n＝k＋1时应得到()A．1＋2＋22＋…＋2k2＋2k1＝2k+1－1B．1＋2＋22＋…＋