云南省三校联考2025-2026学年高一下学期开学考试数学

三校联考2026年春季学期高一年级开学考试数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共58分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知集合，，则（）．A. B.C. D.【答案】C解析：因为，，所以或，则．2若，则（）A.8 B.27 C.64 D.3【答案】A解析：由，得，则，所以.3.命题“”的一个充分不必要条件是（）A. B.C. D.【答案】C解析：因为，解得，故不等式的解集为，因此，不等式“”的一个充分不必要条件是该不等式解集的真子集，只有C满足．4.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】A解析：因为，所以，又，则，所以，则，故.5.若，，，则（）．A. B. C. D.【答案】B解析：因为，所以，，即，，则，，可得，所以.6.若为偶函数，满足，，则的值为（）．A. B.2 C.1013 D.2026【答案】C解析：∵函数为偶函数，∴，∵，∴，则，即为周期函数，且周期为6，故．7.函数的图象的对称中心为（）．A. B. C. D.【答案】D解析：，故函数是由函数向左平移2个单位变为，再将图象向下平移1个单位得到，∵对称中心为，∴函数的对称中心为．8.已知点在直线上，且在第一象限，则的最小值为（）．A B. C. D.【答案】B解析：∵点在直线上，且在第一象限，∴，则，由，当且仅当，即时等号成立，∴的最小值为.二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.已知为锐角，且，则下列选项正确的有（）．A. B.C. D.【答案】ABD解析：∵，∴，∵为锐角，∴，A正确；∵，两边同时平方得，∴，B正确；∵，又为锐角，∴，C错误；联立与可得，，故，D正确．10.函数的部分图象如图所示，则（）．A. B.在上单调递增C. D.的图象关于点对称【答案】BC解析：从图象可知：，该函数的最小正周期满足，解得，则，故，将点代入解析式，得，因为，所以，所以，解得，A错误；故，，C正确；当时，，故的图象不关于点对称，D错误；又，当时，，上单调递增，故在上单调递增，B正确．11.同学们，你们是否注意到；自然下垂的铁链；空旷田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线相关理论在工程､航海､光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数表达式可以为（其中a，b是非零常数，无理数e=2.71828…），对于函数，以下结论正确的是（）A.如果a=b，那么为奇函数 B.如果，那么为单调函数C.如果，那么没有零点 D.如果，那么的最小值为2【答案】BC解析：解：对于A：当时，函数，此时为偶函数，故A错误.对于B：当时，令，函数在其定义域上为单调递增函数，函数在其定义域上也为单调递增函数，故函数在其定义域上为单调递增函数；当，函数在其定义域上为单调递减函数，函数在其定义域上也为单调递减函数，故函数在其定义域上为单调递减函数；综上，如果，那么为单调函数；故B正确.对于C：当时，函数，当时，函数；综上，如果，那么函数没有零点；故C正确.对于D：由，则，当时，函数；当时，函数；故时，函数没有最小值，故D错误.故选：BC.第Ⅱ卷（非选择题，共92分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知，则______．【答案】解析：∵，∴．13.已知a，b为方程的两个根，则______．【答案】解析：原方程变形为．令，则，解得或，当时，可得；当时，可得，即方程的两根分别为、，故．14.函数的零点个数为________.【答案】3解析：由题意，令，则，即，故求函数的零点个数，等价于函数与图象交点个数，对于函数，两函数可作图如下：则，令，解得，易知，，结合图象，可得两函数有三个交点，故函数有三个零点.故答案为：.四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15.已知，．（1）求；（2）求的值．【答案】（1）（2）解析：（1）由，则；（2）由．16.已知函数．（1）当时，，恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数图象的顶点M在第二象限，且经过点，与x轴的另一个交点为C，求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）.解析：（1）由，得，当时，恒成立，当时，，解得，所以实数a的取值范围是.（2）依题意，，由的图象过点，得，即，因此，由顶点在第二象限，得，解得，所以实数a的取值范围是.17.已知函数．（1）判断函数的奇偶性，并证明；（2）判断函数在上的单调性，并证明．【答案】（1）既不是奇函数也不是偶函数，证明见解析（2）在单调递增，在单调递减，证明见解析解析：（1）函数既不是奇函数也不是偶函数．证明：要使函数有意义，则，解得，所以的定义域是，因为函数的定义域不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数．（2）函数在单调递增，在单调递减.证明：令，，所以函数在单调递增，在单调递减，令，则，由指数函数性质可知在上单调递增，根据复合函数的单调性可得，在单调递增，在单调递减．18.把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于y轴对称．（1）求函数的解析式；（2）若在区间上存在最大值，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）解析：（1）因为，所以把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，因为图象关于y轴对称，则，，，又因为，所以，．（2）由，，，当时，的单调递增区间为，因，则在上单调递增，若函数在上存在最大值，由于在上单调递增，且，即时取得最大值，所以，即实数a的取值范围为．19.已知函数．（1）证明：，，，；（2）求不等式的解集．【答案】（1）证明见解析（2）解析：（1），因为且，根据均值不等式，且，所以分子，分母，故，即．（2）函数的定义域为，关于原点对称，因为，