四川省科学城第一中学2025-2026学年高二上学期数学期末模拟试题(一)

科学城一中高27届高二上数学期末模拟试题（一）一、单项选择题1.已知点，点，则直线的倾斜角为（）A.30° B.60° C.120° D.135°【答案】B【解析】【分析】先由，求斜率，再求倾斜角.【详解】设直线的斜率为k,则.令直线的倾斜角为，则，，.故选：B2.某企业不断自主创新提升技术水平，积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果.据悉该企业年种系列产品年总收入是年的倍，其中种系列产品的年收入构成比例如图所示.则下列说法错误的是（）A.年甲系列产品收入比年的多B.年乙和丙系列产品收入之和比年的企业年总收入还多C.年丁系列产品收入是年丁系列产品收入的D.年戊系列产品收入是年戊系列产品收入的倍【答案】C【解析】【分析】利用已知条件可分别得出年和年种系列产品所占总收入的比例，结合该企业年种系列产品年总收入是年的倍，逐一检验选项即可得出答案．【详解】对于A：年甲系列产品收入占了总收入的，年甲系列产品收入占了总收入的，而该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年甲系列产品收入比年的多，故A选项不符题意；对于B：年乙和丙系列产品收入之和占了总收入的，该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年乙和丙系列产品收入之和比年的企业年总收入还多，故B选项不符题意；对于C：年丁系列产品收入占了总收入的，年丁系列产品收入占了总收入的，而该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年丁系列产品收入是年丁系列产品收入的，故C选项符合题意；对于D：年戊系列产品收入占了总收入的，年戊系列产品收入占了总收入的，而该企业年种系列产品年总收入是年的倍，故年戊系列产品收入是年戊系列产品收入的倍，故D选项不符题意.故选：C.3.从抛物线上一点P作抛物线准线的垂线，垂足为M，设抛物线的焦点为F，若是正三角形，则（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】设，由，列出关系式求出，即可求出.【详解】设，，，因为是正三角形，所以，因为，所以即，又因为，解得或（舍），所以.故选：D.4.在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：”．用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为和，则这两平面所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由定义得出两直线的法向量，数量积公式求出法向量的夹角余弦值.【详解】由题意，平面和平面的法向量分别是，，设平面和平面的夹角为，故选：B.5.某居委会从5名志愿者中随机选出3名参加周末的社区服务工作，则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用古典概型即可求得甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率.【详解】设这5名志愿者为甲，乙，丙，a，b，从5名志愿者中随机选出3名，共有10种可能的结果：（甲，乙，丙），（甲，乙，a），（甲，乙，b），（甲，丙，a），（甲，丙，b），（甲，a，b），（乙，丙，a），（乙，丙，b），（乙，a，b），（丙，a，b），其中甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上包含4种情况则甲被选上，且乙和丙恰有一人被选上的概率为故选：A6.三棱柱中，所有棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，得到，结合向量的夹角公式，即可求解.【详解】如图所示，设，棱长为，则，因为，可得，又由，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B.7.已知双曲线的左焦点为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，并与双曲线交于点，且有则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用双曲线的定义和几何性质，结合向量关系求出的关系，进而求解渐近线方程．【详解】双曲线的左焦点，其中，渐近线方程为，取一条渐近线，则垂直于渐近线，斜率为，方程为，联立渐近线与的方程得：，解得，故，，即，，，故，代入双曲线方程得，化简得，化简整理得，，解得，双曲线渐近线方程为，故A正确．故选：A．8.数学家在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆上的P点反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，且在P点处的切线垂直于法线（即的平分线）．已知椭圆，坐标原点O到点P处切线l的距离为，且，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】作出辅助线，根据光学性质，得到点处切线与直线所成的角均为，求出点到l的距离，结合椭圆的定义得到原点到切线l的距离，得到方程，求出，由余弦定理，得到，求出离心率.【详解】设点P处切线为l，如图，是的平分线，则，设，则．根据椭圆的光学性质，点P处切线l与直线所成的角均为，点到切线l的距离分别为，．为的中点，∴由梯形中位线性质得，原点O到点P处切线l的距离为，，故．又，由余弦定理，得，，即，故，椭圆C的离心率．故选：C．二、多项选择题9.已知双曲线C的方程为，则下列说法正确的是（）A.双曲线C的实轴长为6B.双曲线C的渐近线方程为C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为4D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为8【答案】AC【解析】【分析】根据双曲线的方程，求得，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解.【详解】由双曲线，可得，则，对于A中，双曲线的实轴长为，所以A正确；对于B中，双曲线的渐近线方程为，所以B不正确；对于C中，设双曲线的右焦点，不妨设一条渐近线方程为，即，可得焦点到渐近线的距离为，所以C正确；对于D中，根据双曲线的性质，可得双曲线上的点到焦点的最短距离为，所以D错误.故选：AC.10.已知圆，点P是直线上一动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A和B，则下列说法正确的有（）A.圆C上恰有两个点到直线l的距离为 B.切线长的最小值为C.直线AB恒过定点 D.当四边形PACB面积最小时，直线AB方程为【答案】ACD【解析】【分析】对A：利用点到直线距离公式计算出圆心C到直线l的距离后，结合半径长即可得；对B：借助切线性质与勾股定理计算即可得；对C：设，利用切线的性质可得A，B在以PC为直径的圆上，且可表示出该圆方程，联立圆C方程，作差可表示出直线AB方程，即可得所过定点；对D：利用等面积法及切线性质计算可得当取最小值时，四边形PACB面积最小，此时有，则可得直线PC方程，可解出点坐标，结合C选项中所得直线AB方程即可得解.【详解】由圆，得圆心，圆半径，A选项：点C到直线l的距离为，又，即，所以圆C上恰有两个点到直线l的距离为，A选项正确；B选项：切线长，所以当取最小值时，切线长最小，，所以，B选项错误；C选项：由切线的性质可知A，B在以PC为直径的圆上，设，则以为直径的圆的圆心为，半径为，圆的方程为，即，又A，B在圆C上，则，得，则，解得，所以AB恒过定点，C选项正确；D选项：由已知，所以，所以当取最小值时最小，此时，所以，直线PC方程为，即，联立，解得，故，则，所以，即，D选项正确．故选：ACD．11.已知正方体棱长为1，以A为坐标原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，下列结论正确的是（）A.点B到平面的距离为B.在上的投影向量是C.点B关于平面的对称点坐标为D.点P在内部，，则点P的轨迹长为【答案】BC【解析】【分析】由点到平面的距离公式可判断A；由投影向量的定义可判断B；设点关于平面的对称点坐标为，由，且点到平面距离为求解可判断C；求出点P的轨迹可判断D.【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为，则，，，，，，，，对于A，，，，设平面的法向量为，，得即，令，则，，则点B到平面距离为，故A错误；对于B，在上投影向量是：，故B正确；对于C，由B知，平面的法向量为，点B到平面距离为，设点关于平面的对称点坐标为，则，且点到平面距离为，设，，所以，点到平面距离为，则，解得：或（舍去），所以，故C正确；对于D，过点作平面，因为平面，所以，则即为点B到平面距离为，即，又因为，所以，所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆，所以点P的轨迹长为,又因为到直线的距离为，，点的轨迹不是一个整圆，故D错误.故选：BC.三、填空题12.已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则双曲线的标准方程为___________．【答案】【解析】【分析】设所求双曲线方程为，将代入可得，从而求出双曲线方程.【详解】设与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程为，将代入得，故所求双曲线方程，即.故答案为：13.如图所示，用一束与平面成角的平行光线照射球O，在平面上形成的投影为椭圆C及其内部，则椭圆C的离心率为___________．【答案】0.5【解析】【分析】先根据投影的特点确定椭圆C的a，b的取值与球O半径长之间的关系，即可求离心率.【详解】设球O半径为r，由题意知：，，椭圆的长半轴长，椭圆短半轴长为球的半径，即，所以，椭圆的离心率为，故答案为：.14.已知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，若，则线段的中点到轴的距离的最小值为___________．【答案】【解析】【分析】利用抛物线的定义和几何性质，结合三角形的几何性质求距离的最小值．【详解】抛物线的标准形式为，则焦点坐标，准线方程，设，由抛物线定义可得，又，当且仅当三点共线时等号成立，则，化简得，线段中点的纵坐标为，，线段的中点到轴的距离的最小值为．故答案为：．四、解答题15.某中学参加知识竞赛结束后，为了解竞赛成绩情况，从所有学生中随机抽取800名学生，得到他们的成绩，将数据整理后分成五组：，，，，，绘制成如图所示的频率分布直方图．（1）请补全频率分布直方图并估计这800名学生的平均成绩；（2）估计这800名学生的成绩的第60百分位数（3）采用分层随机抽样的方法从这800名学生中抽取容量为40的样本再从该样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取2名进行问卷调查求至少有1名学生成绩不低于90分的概率．【答案】（1）频率分布直方图见解析；（2）（3）【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图求得成绩落在的频率，根据频率分布直方图中求平均数的公式即可求平均成绩；（2）利用频率分布直方图结合百分位数的计算方法即可求解；（3）根据古典概型计算公式即可求解【小问1详解】成绩落在的频率为，补全的频率分布直方图如图：这800名学生的平均成绩约为：.【小问2详解】五组数据的频率分别为，，而，所以这800名学生的成绩的第60百分位数位于，所以，所以这800名学生的成绩的第60百分位数为.【小问3详解】抽取的40名学生中，成绩在内的有（人），分别记为，成绩在内的有（人），分别记为，从这6人中随机抽取2人的样本空间为：，共15个样本点，记事件“至少有1名学生成绩不低于90分”，则，事件包含的样本点为个，故，所以至少有1名学生成绩不低于90分的概率为.16.已知圆的圆心坐标为，与直线交于两点，且．（1）求过点的圆的切线方程．（2）已知两定点，动点与的距离之比，那么点的轨迹是阿波罗尼斯圆，若其方程为，求的值．【答案】（1）和（2）【解析】【分析】（1）先利用点到直线距离公式及弦长公式求出圆的方程，再结合直线与圆的位置关系求切线方程；（2）利用两点间距离公式结合已知条件得出圆的一般方程，利用已知方程列方程组求出，进而求解．【小问1详解】已知圆的圆心坐标为，设圆心到直线的距离为，则，已知，由弦长定理得，解得，即，圆的方程为．当斜率不存在时，圆心到直线的距离为，故是圆切线；当斜率存在时，设斜率为，设切线方程为，即，圆心到切线距离，即，化简整理得，解得，故切线方程为，综上，切线方程为和．【小问2详解】设动点，由得，平方后移项整理得：，，，已知轨迹方程为，则，．17.甲和乙进行多轮答题比赛，每轮由甲和乙各回答一个问题，已知甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为.在每轮比赛中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响.（1）求两人在两轮比赛中都答对的概率；（2）求两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率；（3）求两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2的概率.【答案】（1）（2）（3）.【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算即可；（2）两人分别答两次，总共四次中至少答对3道题，分五种情况计算可得答案；（3）分甲和乙均答对两个题目、均答对三个题目两种情况计算即可.【小问1详解】依题意，设事件“甲两轮都答对问题”，“乙两轮都答对问题”，所以.因为事件相互独立，所以两人在两轮比赛中都答对的概率为【小问2详解】设事“甲第一轮答对”，“乙第一轮答对”，“甲第二轮答对”，“乙第二轮答对”，“两人在两轮比赛中至少答对3道题”，则，由事件的独立性与互斥性，可得故两人在两轮比赛中至少答对3道题的概率为.【小问3详解】设事件分别表示甲三轮答对2个，3个题目，分别表示乙三轮答对2个，3个题目，则，，设事件“两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目的个数相等且至少为2”，则，且分别相互独立，所以.所以两人在三轮比赛中，甲和乙各自答对题目个数相等且至少为2的概率为.18.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，.（1）求椭圆的方程；（2）已知点，证明：线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点；（3）设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点，证明的轨迹为圆，并求该圆的方程．【答案】（1）（2）证明见解析（3）点的轨迹是圆，该圆的方程为【解析】【分析】（1）根据椭圆焦点坐标得，离心率为，得，从而求出，得出椭圆方程；（2）写出中垂线方程，联立椭圆方程，判别式等于零，即可证明恰有一个公共点；（3）解法一：设出直线方程，直线与椭圆联立方程消掉一个未知数，根据判别式等于0，即可求解．解法二：利用椭圆的定义和线段垂直平分线的性质结合光学性质，得到，从而得到点的轨迹和轨迹方程．【小问1详解】因为椭圆左、右焦点分别为，，所以，又因为椭圆的离心率为，得，所以，所以椭圆方程为；【小问2详解】由，得直线斜率，中点坐标为，所以线段的垂直平分线方程为，联立垂直平分线方程和椭圆方程，得，则，，，所以直线与椭圆相切，线段的垂直平分线与C恰有一个公共点；【小问3详解】解法一：设，当时，的垂直平分线方程为，此时，解得或；当时，的垂直平分线方程为：，联立，得，即因为线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点，故，即，则，即，，即，，而，也满足该式，故点的轨迹是圆，该圆的方程为，即.解法二：设线段的垂直平分线与椭圆恰有一个公共点为，则当点不在长轴时，线段的垂直平分线即为点处的切线，也为的角平分线，

作的角平分线，根据椭圆的光学性质得，，则，故，所以三点共线，所以，所以点的轨迹是以为圆心，4为半径的圆，当在椭圆长轴上时，点为或也满足，故点的轨迹是圆，该圆的方程为.19.在平面四边形中，，，将沿AC翻折至，其中P为动点.（1）设，三棱锥的各个顶点都在球O的球面上．（