甘肃省白银市靖远县高三下学期5月冲刺联考数学试题

2025年普通高等学校招生全国统一考试数学冲刺卷本试卷共150分考试时间120分钟注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算化简即可.【详解】.故选：C.2.若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式化简结合二倍角公式转换即可得所求.【详解】.故选：A.3.已知集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据集合中的元素确定集合的关系，结合集合的运算性质，逐项判断即可得答案.【详解】因为集合，集合，所以，则，故A，B，D项错误，C项正确.故选：C.4.已知向量，且与的夹角为，则实数的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由平面向量夹角的坐标运算公式计算即得.【详解】由，解得或（因，故舍去）.故选：D.5.若，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】将已知等式配方可得式子的最值即可的值，结合对数函数与指数函数的性质逐项判断即可.【详解】，等号成立，.故选：D.6.如图，在长方体中，，则异面直线和夹角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解异面直线所成角得余弦值即可.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，则，，故异面直线和夹角的余弦值为.故选：B.7.暑假期间，甲､乙､丙､丁四名大学生到某科研单位的第一､二､三这三个科室实习，每个科室至少有一人实习，且每人只到一个科室实习.在甲在第一科室实习的条件下，甲与乙不在同一科室实习的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据条件概率的公式和性质计算即可.【详解】记事件为“甲在第一科室实习”，事件为“甲与乙不在同一科室实习”，样本点的总数为，，事件同时发生的情况种数为，∴，..故选：C.8.如图，抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线交抛物线于两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点轴于点，则四边形的面积等于（）A.12 B.8 C.6 D.7【答案】D【解析】【分析】根据抛物线焦点坐标即可确定直线的方程，设，根据直线斜率的坐标关系可得，所以，作轴于点，确定的值，从而可得四边形的面积.【详解】抛物线的焦点，则直线的方程为，因为四边形为梯形，且，设，则，所以，所以，作轴于点，则，因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，故，所以，所以四边形的面积为.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组样本点组成一个样本，得到的经验回归方程为，且其平均数为.若增加两个样本点和，得到新样本的经验回归方程为，则下列结论正确的有（）A.B.增加两个样本点后的平均数为1.2C.D.在新的经验回归方程中，当时，的估计值为4.2【答案】ABD【解析】【分析】利用经验回归方程，结合样本中心点求出参数，进而进行数据估计.【详解】对于A，由过点，得，解得，A正确；对于B，增加两个样本点后的平均数为，B正确；对于C，增加两个样本点后平均数为，则，解得，C错误；对于D，新的经验回归方程为，当时，，D正确.故选：ABD10.如图所示，将椭圆绕着坐标原点旋转一定角度，得到“斜椭圆”方程为，则椭圆的（）A.长半轴长为 B.短半轴长为C.焦距为4 D.离心率为【答案】AD【解析】【分析】结合不等式及轨迹方程求得，根据椭圆长轴短轴的集合意义求得的值，从而得椭圆的焦距与离心率，逐项判断即可得答案.【详解】，，解得.该“斜椭圆”的长半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最大值，短半轴长为椭圆上的点到原点的距离的最小值，椭圆的焦距为，椭圆的离心率A，D项正确，B，C项错误.故选：AD.11.已知函数，且，则下列结论正确的有（）A.不一定有极值B.当时，C.当时，的极小值为0D.当时，在区间上的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】举例说明当时，得根据三次函数的单调性确定函数的极值，即可判断A；当时，利用作差法判断得符号，即可判断B；当时，求导函数确定函数的极值点，从而得极值，即可判断C；当时，判断函数在区间上的单调性得最值即可判断D.【详解】当时，，函数在上单调递减，函数无极值，故A项正确；当时，，且，则故B项错误；当时，，且，当或时，，当时，，则在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值故C项正确；当时，同上分析知在上为减函数，在上为增函数，当时，在区间上有最小值，故D项正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若函数的最小正周期是，则__________.【答案】3【解析】【分析】根据正切型函数的周期性求解的值即可.【详解】因为函数的最小正周期是，所以，则.故答案为：3.13.已知数列满足，若，则__________.【答案】【解析】【分析】根据数列的递推关系式可得，结合累加法可得，从而可得所求.【详解】，，将这个式子的左右两边分别相加可得，，.故答案为：.14.已知正四棱锥的高为3，侧面与底面所成的角为，球与该正四棱锥的四个侧面及底面都相切，依次在该正四棱锥内放入球，使得球与该正四棱锥的四个侧面均相切，且球与外切，则球的体积为__________，球的表面积为__________.【答案】①②.【解析】【分析】在四棱锥中，点为底面正方形的中心，则有底面，记球的半径为，设四棱锥的高为为球与四棱锥的切点，根据侧面与底面所成角确定线段关系即可得，从而得球的体积；结合等比数列的定义可得，从而可得球的表面积.【详解】如图，在四棱锥中，点为底面正方形的中心，则底面，令为的中点，连接，记球的半径为，设四棱锥的高为为球与四棱锥的切点，，侧面与底面所成的角为，球的体积为.设，由于，即，，两式相减可得，即，，球表面积为.故答案为：；.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是找出可得.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在如图所示的多面体中，平面，且是的中点.（1）求证：平面平面.（2）求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明平面结合面面垂直的判定定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解平面与平面的法向量，由面面夹角的余弦值的坐标运算求解即可.【小问1详解】是的中点，.平面，平面平面，平面平面，平面平面平面平面.【小问2详解】以为原点，分别以所在直线为轴，过点且竖直向上的直线为轴，建立如图所示的坐标系，则，则，设平面的法向量为，则取，解得.设平面的法向量为，则取，解得.记平面与平面夹角为，，平面与平面夹角的余弦值为.16.已知的内角的对边分别为，且.（1）求的值.（2）已知.（i）求的值；（ii）求的面积.【答案】（1）（2）（i）2；（ii）【解析】【分析】（1）根据已知等式结合三角恒等变换化简求得的值，从而得的值；（2）（i）由正弦定理化简可得的关系，再根据余弦定理可得的值；（ii）根据三角形面积公式即可得结论.【小问1详解】，，，，..【小问2详解】（i）∴由正弦定理得，由（1）知，∴由余弦定理得，解得.（ii）的面积为.17.已知双曲线的渐近线方程为，且其焦距为.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线交于不同的两点，且在由点与构成的三角形中，，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程与的关系即可得双曲线的方程；（2）根据直线与双曲线交点坐标关系，结合三角形几何性质以及可得的关系，从而可得实数的取值范围.【小问1详解】渐近线方程为.又，双曲线的方程为.【小问2详解】直线与双曲线交于不同的两点，由，得，，且，，且.设，则，，线段的中点坐标为，线段的垂直平分线的方程为，即，又在由点与构成的三角形中，，点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上，，又，且，解得，或，实数的取值范围是.18.已知函数，且曲线在点处的切线方程为.（1）求实数的值.（2）当时，证明：当时，.（3）当时，若存在，使得成立，证明：.【答案】（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求导函数，由切线斜率可得的值，从而得实数的值；（2）求导函数，从而得函数的单调性与最值，即可证得结论；（3）结合函数在时的单调性将等式转换为不等式，则，设，求导确定单调性即可证得结论.【小问1详解】.曲线在点处的切线方程为.【小问2详解】当时，，在上恒成立，在上单调递增，当时，.【小问3详解】当时，，当时，存在成立，，得.由（2）可知，当时，单调递增，，即，，设，则，当时，，则，，，.19.若数列满足，则称数列为项数列.集合是由所有的项数列构成的，现从集合中任意取出两个数列，记随机变量.（1）求集合中元素的个数；（2）求概率的值；（3）若的期望，求的最小值.【答案】（1）个元素（2）（3）32【解析】【分析】（1）根据数列中1的个数可得集合中元素的个数为即可得到答案；（2）当时，数列中有项取值不同，有项取值相同，将问题转化为组合问题，所有的情况会重复1次，再结合古典概型的概率公式可求得结果；（3）由（2）得到分布列，结合求和，得