2026年高考数学总复习专项突破-概率中的递推关系

微专题23概率中的递推关系

［考情分析］概率中的递推关系与数列的交汇涉及面广，内涵丰富，是近几年高考追逐的热点，主要是概

率与数列的证明、求通项、求和等.

微点一排列组合中的递推关系

1.(2025•深圳模拟)从编号为1,2,…，〃(〃£N")的座位中按照如下方式选取座位：选取至少2个座

位，并且选取的库位中没有相邻的库位，则称这样的库位选取方案称为“社交排位”.

(1)若〃个座位排成一排，对应的“社交排位”数为％“例如〃=in寸，由于至少要选取2个座位，因此

i/i=0；〃=3时，由于只能选取第1,3个座位，因此〃3=1.

①求“4，

②求使42300的最小正整数〃；

(2)若〃个座位排成一圈，对应的“社交排位”数为七,求数列｛七｝中第2025个奇数对应的〃.

解⑴①当〃=4时,可以选取(1,3),(1,4),(2,4),共3种选法，于是〃4=3;

当〃=5时，可以选取(1,3),(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,5),(1,3,5),共7种选法，于是

“5=7.

②当汗23时，(〃+2)个座位的“社交排位”，可以分成两类：

(i)不包含(〃+2)号座位，此时，这便是(〃+1)个座位的“社交排位"，有“用种；

(ii)包含(〃+2)号座位，此时必不包含(〃+1)号座位，剩余被选中的座位来自1,2,.

当剩余被选中的座位数为1时，可以为1,2,…，〃号，有〃和选法；

当剩余被选中的座位数大于等于2时，此时剩余的位置数对应于〃个座位的“社交排位”数有〃”种，于是

〃“+2=孙+1+〃”+〃,由递推关系列出下表：

〃345678910111213

Un13714264679133221364596

由表可知，使〃,力300的最小正整数〃为12.

(2)易知厂i=万=〃3=°，尸4=2,厂5=5,

当〃。5时，排成一排的〃个座位的“社交排位”数％,去掉其中同时选取1号，〃号的方案，

即得到〃个座位排成一圈的“社交排位”数，即为厂”，

则〃一,”对应的方案分为3类；

①仅选取1号，〃号，有1种；

②选取1号，〃号，以及3,4,…，〃・2中的1个座位，有(〃-4)种；

③选取1号，〃号，以及3,4,…，机2中的大于等于2个座位，对于这类选取方案，

由于2号与(〃・1)号必不被选，其余3,4,…，〃・2的选法数对应于(〃-4)个座位排成一排的“社交排位”数

为,

则m=l+(〃-4)+〃"一4,

又由“”+2=〃”+1+〃“十〃，

则々尸[，伍I+(〃・2)]+[〃“-3+(〃-4)]-(〃・3)

=[〃"-2+〃"-3+(〃-3)+(〃-2月+[〃机3+(〃-4)卜(〃-3)

=〃“.2+2〃小3+2(〃-3),

则厂“与6.2(〃25)具有相同的奇偶性，

对于｛斯｝，由1+〃”+〃,

〃”+3=〃”+2+〃”+l+(〃+l)，

有〃"+3="，;+2〃n+l+2〃+l,

则〃”+3与斯有不同的奇偶性，〃“+6与〃”具有相同的奇偶性，

又由的=〃2=0为偶数，〃3，〃4，为奇数，〃6为偶数，

当〃=6什1,6〃+2,6〃+6(〃£N)时，/为偶数，

当〃=6〃+3,6H4,6〃+5(〃£N)时，〃”为奇数，

从而口，飞，厂7为奇数，心，/9，尸10为偶数，

更为一般地，当〃=6什5,6人6,6什7伏£N)时，厂〃为奇数，

当〃=6人3,6a4,6叶8(〃WN)时，9为偶数,

又由门=〃2=0为偶数,

从做包含切起，〃每6个一组，由3个偶数、3个奇数构成，

则数列｛仁｝中第2025个奇数出现在第675组第3个数，即对应的〃=675X6+1=4051.

微点二马尔可夫链

2.(2023・新课标I卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人维续投篮，若

未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率

均为。8由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为05

(1)求第2次投篮的人是乙的概率；

(2)求第£次投篮的人是甲的概率；

nn

(3)已知：若随机变量M服从两点分布，旦P(M=l)=l-P(”=0)=%,»=1,2,…，〃，则E(SX尸£

i=1i=1

分记前〃次(即从第1次到第〃次投篮)中甲投篮的次数为匕求E(Y).

解(1)记“第i次投篮的人是甲”为事件4，“第i次投篮的人是乙”为事件5，

所以P(4)=尸(小约)+尸(8归2)

=尸(4)尸(32卬)+尸(3)尸。2冈)

=0.5X(l-0.6)+0.5X0.8=0.6.

(2)设P(4)=R,依题可知.P(B)=1-R.

则尸(4+1)=尸(44+1)+尸(8/4汁।)

=P(4)P(4z|4)+P(a)P(4+iI瓦)，

=

即Pi~i0.6pi+(1-0.8)X(1-p/)=0.4/;；+0.2,

构造等比数列匕+»,

设Pi-1+2=|(pi+a)，解得A=-1,

贝I'汁厂皆(Pi-D，

又P《，Pl仁，

所以酎一3是首项为:，公比为|的等比数列，

即p,*Hx(9,漏X®'飞

(3)因为p,X(|)g,i=l,2,/?,

所以当〃£N*时，£(7)=〃"+•••+%*；与+靠［1一(矿］4

故E⑴鼎1-G)］与

3.(2025・武汉模拟)小华、小明、小红三人为某比赛制定了如下规则：先确定挑战权，挑战权属于某人

时，该人可挑战另外两人.经商定，小华首先获得挑战权，他挑战小明、小红的概率均为。若他挑战小

L

明，下一次的挑战权即属于小明，且小明再挑战小华、小红的概率分别为*P若他挑战小红，下一

次的挑战权即属于小红，且小红再挑战小华、小明的概率分别弟i

(1)经过3次挑战后，小华己使用的挑战权次数记为X,求X的分布列及均值；

(2)若经过〃次挑战后，挑战权属于小华、小明、小红分别记为事件4,&，G.

①证明：P(B,尸

②求事件4发生的概率.

⑴解X的可能取值为1和2,且P(X=l)=1x/jx长；

P(X=2)4X找x14

则X的分布列为

X12

13

p

44

贝U均值氏A尸］X$2X谷.

(2)①证明当〃=1时，易知尸(81)=P(G)=1；

当时，。(&)今(4川)母(CQ,(i)

PC)=#(4Q+(S.i),(ii)

(i)-(ii)得，尸(&)-P(C“尸—[P(8nT)-P(Cn-i)],〃22.

又尸(8>尸(G)*=0，

则尸(8,r)・P(C”)=0,即P⑻尸PG).

综上，P(8〃尸尸(C“)得证.

②解?(4)中(凡」)帝(C'j)，〃22.(iii)

(i)+(诃)得，P(乩)+P(C〃)=P(4/)+[P(8”/)+P(C”Q].

由(iii)知P(B,Q+P(C.渭P(4J,

又1-P(4)=P(8”)+P(C〃尸P(4z)审(4),

则有,。(4)手卷卜(4八一1)一切，〃22,

Q3

其中P(小尸0,P(4)千方,

则｛P(4J一2是以3为首项，悔为公比的等比数列.

可得P(4)等5乂(一9"一，

所以P⑷若x(-旷|嗡J.

微点三随机游走

4.有一个质地均匀的正方体骰子与一个有61个格子的矩形方格图，矩形方格图上从0,1,2,…，60

依次标号.一个质点位于0号格子中，现有如下游戏规则：先投掷骰子，若出现1点或2点，则质点前

进1格，否则质点前进2格，每次投掷的结果互不影响.

(1)求经过两次投掷后，质点位于4号格子的概率；

(2)若质点移动到59号格子或60号格子时，游戏结束，设质点移动到〃号格子的概率为从，求P59和

P60的值.

解(1)设事件小为“质点前进1格”，事件4为“质点前进2格”，

则尸(小)=|=1,?(42)=智，

设事件8为“质点经过两次投掷后位于4号格子”，

所以F(，尸尸(424)=?(42)尸(4)奇.

(2)质点移动到〃(〃=3,4,5,…，59)号格子的情况可分为两种：

由〃-1号格子移动至〃号格子；

由〃.2号格子移动至〃号格子，

则Pi=P(小)』

2117

P2=P(42)+P(小小)二石乂不节，

4

P产产(41>„.1+尸(42)Pn-2=^Pn-l+|〃"-2，

2

因此Pn-Pn-1I-Pn-2)♦

4?

则数列{p八一Pn-i}QW〃W59)是以$为首项，w为公比的等比数列,

+++)5-

因此pn=p)+(P2-P1)+(P3-Pl)***(Pn-1-Pn-2)(P，rPn-1丁+(穹…(-旷+(-沪(-孤

2212,2、S9

［总结提升］

该部分内容考查逻辑推理素养，要求有逻辑地思考问题，推理要有根据.要明确问题是如何提出的，证明思

路和计算方向是如何形成的，懂得分析“来龙去脉”，运算过程中要步步有据等，理清楚这些来龙去脉，

才能够提炼解决该类问题的通性通法.

专题突破练

［分值：60分］

1.(13分)如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔1s向左或向右移动一个

单位长度，设每次向右移动的概率为p(OvpVl).

-6-5445-^246123456

(1)当时，求5s后质点移动到点0的位置的概率：(5分)

(2)记3s后质点的位置对应的数为X,若随机变量X的均值仅㈤>0,求〃的取值范围.(8分)

解(l)5s后质点移动到点0的位置，则质点向左移动了3次，向右移动了2次，所求概率为髭Xp2X(l・

P)3=CsX(i)噎

(2)X所有可能的取值为-2,0,2,4,

尸*・2尸《(1・夕产(12)3,

P(X=O户C*(l-p)2=3〃(1-〃)2,

P(X=2)=髭2p(1_p)=3p2(1-p),

P(六4)=C>=p3,

由E(X)=-2(\-p)3+2X3〃2(1-〃)+4p3=6p-2>0,

解得尾,

又因为Ovpvl,故p的取值范围为g,1).

2.（15分）从甲、乙、丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传

出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.

（1）记甲、乙、丙三人中被抽到的人数为随机变量X,求X的分布列；（4分）

⑵若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记〃次传球后球在甲手中

的概率为〃〃，

①直接写出〃I，P2，夕3的值；（4分）

②求为+］与p„的关系式（〃£N）并求p”（〃£N）（7分）

解（1）X所有可能的取值为I,2,3,

p（jr=i）=^=A,

S

所以随机变量X的分布列为

X123

331

P

10510

（2）①若刚好抽到甲、乙、丙三个人相互做传球训练，且〃次传球后球在甲手中的概率为%，〃6N*,

O1

则有?|=。，22干芍，

21

Pi=2^4-

②记4表示事件“经过〃次传球后，球在甲手中”，

所以P”+I=P（4I/"+I+4J4+I）

=尸（见4+1）+P（4/“+1）

=P（%）P（4+i冈n）+P（4）/ae%）=（1-P）$P”O4（1-P〃），

即P*+I=%T〃£N*）,

所以夕的—=3（口〃-9，且〃igg,

所以数列｛p?l—3是以4为首项，』为公比的等比数列，

所以P"±gx（_y,

所以°"=恭（一94

当1-（-9］（“CN）

3.（15分）甲、乙两人进行投篮比赛，两人各投一次为一轮比赛，约定如下规则；如果在一轮比赛中一人

投进，另一人没投进，则投进者得1分，没进者得-1分，如臭一轮比赛中两人都投进或都没投进，则

都得0分，当两人各自累计总分相差4分时比赛结束，得分高者获胜.在每次投球中甲投进的概率为

0.5,乙投进的概率为0.6,每次投球都是相互独立的.

(1)若两人起始分都为。分，求恰好经过4轮比赛，甲获胜的概率；(5分)

(2)若规定两人起始分都为2分，记尸⑺(尸0,1,2,3,4)为甲累计总分为，时，甲最终获胜的概率，

则尸⑼=0,尸(4)=1.

①求证｛Pa+l)・P(i)｝(i=0,1,2,3)为等比数列;(5分)

②求P(2)的值.(5分)

(1)解记“在每一轮比赛中甲得分”为事件4,

/60=05X(1-06)=0.2,

“乙得分”为事件&P(5)=(l-0.5)X0.6=03,

“得0分”为事件C,P(C)=1-P(m-P(8尸0.5.

记“恰好经过4轮比赛，甲获胜”为事件。，

则P(D)=CX0.2X0.52X0.2+CX0.2X0.3X0.22=0.0348,

所以恰好经过4轮，甲赢得比赛的概率为0.0348.

(2)①证明记“甲累计总分为，时，甲最终获胜”为事件

则P(M)=P(A)•P(M\A)+尸(8)•P(M8)+P(C)•P(MC),

即P(0=O.2P(/+l)+O.3P0-l)+O.5P(i),

整理可得P(/+1)-P(/)=|[P(/)-P(M)],

且显然?(1)-尸(0)=尸(l)W0,

所以｛尸(i+i)一尸(。｝(20,1,2,3)为等比数列，且首项为P(D,公比为|.

②解P(l)-P(0)=P(l),P(2)-P(1)=M(1),

927

尸(3)・P(2)qP(l),P(4)-尸(3)=1rp()

累加可得?(4)孑(0)苧(1),

O

O

又1(4)=1,所以P(1)=R,

所以P(2)争(1)』.

4.(17分X2025•淮北模拟)定义“小数”：(〃%=1+夕+夕2+…其中,户0,1,・1.利用%-数”可以进

©5)■

q=(9q.，)！q，kW

N,k，.

(1)计算(3)2和(J)的值；(4分)

(2)证明：对任意攵£N,器)=(£1)+/"(2_；)；(7分)

qqq

⑶证明：对任意〃，加WN,：7+1)-(：+I)=.E+')<6分)

(1)解由题意知⑶2=1+2+22=7,

易知002=1+2+22+…+2""=2”・1,

则(?)一⑹匕

⑶2(3)!.(3