内科大材料力学（土木类）课件第8章 组合变形及连接部分计算

材料力学第八章组合变形及连接部分的计算构件在拉伸(压缩)、剪切、扭转及弯曲等基本变形形式下的应力和位移构件往往同时发生两种或两种以上的基本变形，如几种变形所对应的应力（或变形）属同一量级，称为组合变形斜弯曲,拉弯组合,弯扭组合§8.l概述1组合变形工程实用:烟囱，传动轴，吊车梁的立柱烟囱：自重引起轴向压缩+水平方向的风力而引起弯曲，传动轴：在齿轮啮合力的作用下，发生弯曲+扭转立柱：荷载不过轴线，为偏心压缩=轴向压缩+纯弯曲2、组合变形的研究方法——叠加原理①外力分析：外力向形心(后弯心)简化并沿主惯性轴分解②内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。③应力分析：画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强度条件。3、连接件的近似计算

如桥梁桁架结点处的铆钉(或螺栓)连接,工程实际中，经常需要将构件相互连接。mnmnFFF2F2F

机械中的轴与齿轮间的键连接，

以及木结构中的榫齿连接等。

工程实际中,采用简化计算的方法，计算名义应力（包括剪切应力、挤压应力），称为工程实用计算法。

铆钉、螺栓、键等起连接作用的部件，统称为连接件。

主要包括连接件的剪切实用计算、挤压实用计算。

§8-2两相互垂直平面内的弯曲平面弯曲：在前面曾指出只要作用在杆件上的横向力通过弯曲中心，并与一个形心主惯性轴方向平行，杆件将只发生平面弯曲。对称弯曲：平面弯曲的一种。斜弯曲：挠曲线不位于外力所在的纵向平面内。------横向力通过弯曲中心，但不与形心主惯性轴平行斜弯曲时的应力与位移计算

在集中力F1、F2作用下（双对称截面梁在水平和垂直两纵向对称平面内同时受横向外力作用），梁将分别在水平纵对称面(Oxz)和铅垂纵对称面(Oxy)内发生对称弯曲。

在梁的任意横截面m-m上，F1、F2引起的弯矩为

xyzC(y,z)OyzmmF1Fa2MmmzOyzMy在F2单独作用下，梁在竖直平面内发生平面弯曲，z轴为中性轴在F1单独作用下，梁在水平平面内发生平面弯曲，y轴为中性轴。斜弯曲是两个互相垂直方向的平面弯曲的组合。(2)F1单独作用下求应力：m-m截面上第一象限某点C(y，z)(1)F2单独作用下(3)当F1和F2共同作用时，应用叠加法

note:应根据弯距在该点造成的应力方向,再叠加所以,C点的x方向正应力为压应力zyBD中性轴EFMy＋＝zMF2F1和共同作用时F2单独作用时''F单独作用时1'危险点：m-m截面上角点B有最大拉应力，D有最大压应力；

E、F点的正应力为零，EF线即是中性轴。可见B、D点就是危险点，离中性轴最远强度条件：B、D角点处的切应力为零，按单向应力状态来建立强度条件。设材料的抗拉和抗压强度相同，则斜弯曲时的强度条件为中性轴：正应力为零处，即求得中性轴方程

上式可见，中性轴是一条通过横截面形心的直线,E、F点的正应力为零，EF线即是中性轴。其与y轴的夹角

为

是横截面上合成弯矩M矢量与y轴间的夹角。

一般，截面Iy

Iz，即

，因而中性轴与合成弯矩M所在的平面并不相互垂直。所以挠曲线将不在合成弯矩所在的平面内，即是斜弯曲。

对圆形、正方形等Iy=Iz的截面，得

=

，即是平面弯曲Ozy例8-1图示悬臂梁，承受载荷F1与F2作用，已知F1=800N，F2=1.6kN，l=1m，许用应力[σ]=160MPa。试分别按下列要求确定截面尺寸：(1)截面为矩形，h=2b；(2)截面为圆形。

解：(1)矩形截面：

2、圆截面例8-2图示简支梁。工字钢型号为No.32a，F=60kN,[σ]=170MPa，φ=5o。试校核梁的强度。

解：（1）

（2）

（3）

（4）

例8-3

20a号工字钢悬臂梁承受均布荷载q和集中力F=qa/2如图。已知钢的许用弯曲正应力[

]=160MPa,a=1m。试求梁的许可荷载集度[q]

解：作计算简图,将自由端截面B上的集中力沿两主轴分解为

在xoz主轴平面内的弯矩图(y轴为中性轴)

在xoy主轴平面内的弯矩图

(z轴为中性轴)yqzaa40°FOCBAFyzqaaABCDFzyx0.642qa0.444qa0.321qa222ADCByM图(Nm)0.617aADCBMz图0.456qa0.383qa0.266qa222(Nm)危险截面：由弯矩图，可确定B、D两截面为危险截面

按叠加法，在xoz主轴平面内、xoy主轴平面内的弯曲正应力，在x方向叠加

B、D截面在xoz、xoy平面的弯曲截面系数，可查表得

可见，梁的危险点在截面A的棱角处。危险点处是单轴应力状态，强度条件为

即解得

§8-3拉伸(压缩)与弯曲包括：轴向拉伸(压缩)和弯曲偏心拉（压）,截面核心1.横向力与轴向力共同作用

对于EI较大的杆，横向力引起的挠度与横截面的尺寸相比很小，因此，由轴向力引起的弯矩可以略去不计。可分别计算由横向力和轴向力引起的杆横截面上的正应力，按叠加原理求其代数和，即得在拉伸(压缩)和弯曲组合变形下，杆横截面上的正应力。

上图示由两根槽钢组成杆件的计算图，在其纵对称面内有横向力F和轴向拉力Ft共同作用，以此说明杆在拉伸与弯曲组合变形时的强度计算。FtFtF2hh2

xyz

在拉力Ft作用下，杆各个横截面上有相同的轴力FN=Ft,

拉伸正应力

t在各横截面上的各点处均相等

在横向力F作用下，杆跨中截面上的弯矩为最大，Mmax=Fl/4。跨中截面是杆的危险截面。该截面上的最大弯曲正应力

按叠加原理，杆件的最大正应力是危险截面下边缘各点处的拉应力,值为

t=FAN

=bMmaxWmaxM当b＞t

正应力沿截面高度的变化情况还取决于

b、t值的相对大小。可能的分布还有：

Note:当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，杆内的最大拉应力和最大压应力必须分别满足杆件的拉、压强度条件。

危险点处为单轴应力状态，故可将最大拉应力与材料的许用应力相比较，以进行强度计算。

当t=bb当＜t例8-4一折杆由两根无缝钢管焊接而成，已知两钢管的外径均为140mm，壁厚均为10mm。试求折杆危险截面上的最大拉应力和最大压应力。

解：求支反力,由平衡方程

作折杆的受力图,折杆及受力对称，只需分析一半即杆AC

将FA分解,得杆的轴力FN、弯矩M(x)AxFFAyABCmmfgFBx10kNBFAF'FAABCa1.6m1.6m1.2m10kN

最大弯矩在C处的m-m横截面，m-m截面为危险截面

按叠加原理，最大拉应力

t和最大压应力

c分别在杆下边缘的f点和上边缘的g

点处，其值分别为根据已知的截面尺寸

代入应力表达式得例8-5图示折杆结构，已知材料许用应力[σ]=160MPa，试校核强度。解：（1）求支反力

（2）作内力图，确定危险截面

（3）强度校核

上次课回顾1、两相互垂直平面内的弯曲有棱角的截面圆截面2、横向力与轴向力共同作用2.偏心拉伸(压缩)

当直杆受到与杆的轴线平行但不重合的拉力或压力作用时，即为偏心拉伸或偏心压缩。

如钻床的立柱、厂房中支承吊车梁的柱子。F1F2

以横截面具有两对称轴的等直杆承受距离截面形心为e(称为偏心距)的偏心拉力F为例，来说明.

将偏心拉力F用静力等效力系来代替。把A点处的拉力F向截面形心O1点简化，得到轴向拉力F和两个在纵对称面内的力偶Mey、Mez。

因此，杆将发生轴向拉伸和在两个纵对称面O1xy、O1xz内的纯弯曲。

在任一横截面n-n上任一点C(y,z)处的正应力分别为z1yOeFA(y

,z

)FFO1yzFFMeyzF=eMz=FyFOnnzy,yC(z)轴力FN=F

引起的正应力弯矩My=Mey

引起的正应力弯矩Mz=Mez

引起的正应力按叠加法，得C点的正应力A为横截面面积；Iy、Iz分别为横截面对y轴、z轴的惯性矩。

利用惯性矩与惯性半径间的关系

C点的正应力表达式变为

取

=0，以y0、z0代表中性轴上任一点的坐标，则可得中性轴方程yOz中性轴

可见，在偏心拉伸(压缩)情况下，中性轴是一条不通过截面形心的直线。

求出中性轴在y、z两轴上的截距

对于周边无棱角的截面，可作两条与中性轴平行的直线与横截面的周边相切，两切点D1、D2，即为横截面上最大拉应力和最大压应力所在的危险点。相应的应力即为最大拉应力和最大压应力的值。

中性轴D(y

,z222

)2azayOzyD(y,z

)111

对于周边具有棱角的截面，其危险点必定在截面的棱角处。如，矩形截面杆受偏心拉力F作用时，若杆任一横截面上的内力分量为FN=F、My=FzF，Mz=FzF，则与各内力分量相对应的正应力为：按叠加法叠加得OD2D1

AFyzyOzhbD1D2

FWzFyzyOD2D1

FyFWz中性轴yzOD1

st,maxsD2c,max

可见，最大拉应力和最大压应力分别在截面的棱角D1、D2处，其值为危险点处仍为单轴应力状态，其强度条件为

解：两柱均为压应力

例8-6图示不等截面与等截面杆，受力F=350kN，试分别求出两柱内的绝对值最大正应力。图（1）图（2）F300200200F200200MFFd例8-7图示立柱，欲使截面上的最大拉应力为零，求截面尺寸h及此时的最大压应力。

解：（1）内力分析

（2）最大拉应力为零的条件

解得

h=240mm

（3）求最大压应力

3.截面核心

当偏心拉（压）作用点位于某一个区域时，横截面上只出现一种性质的应力(偏心拉伸时为拉应力，偏心压缩时为压应力)，这样一个截面形心附近的区域就称为截面核心。对于砖、石或混凝土等材料（如桥墩），由于它们的抗拉强度较低，在设计这类材料的偏心受压杆时，最好使横截面上不出现拉应力。因此，确定截面核心是很有实际意义的。为此，应使中性轴不与横截面相交。作一系列与截面周边相切的直线作为中性轴，由每一条中性轴在y、z轴上的截距ay1、az1，即可求得与其对应的偏心力作用点的坐标(

y1,z1)。有了一系列点，描出截面核心边界。（一个反算过程）前面偏心拉（压）计算的中性轴截距表达式Ozyaay1z12211443355圆截面:

对于圆心O是极对称的，截面核心的边界对于圆心也应是极对称的，即为一圆心为O的圆。

得

作一条与圆截面周边相切于A点的直线①，将其看作为中性轴，并取OA为y轴，于是，该中性轴在y、z两个形心主惯性轴上的截距分别为dzyO8d8d1A1矩形截面:

边长为a和b的矩形截面，y、z两对称轴为截面的形心主惯性轴。得

将与AB边相切的直线①看作是中性轴，其在y、z两轴上的截距分别为

b66h1AzybhCDB

h66bO31344221

同理，分别将与BC、CD和DA边相切的直线②、③、④看作是中性轴，可求得对应的截面核心边界上点2、3、4的坐标依次为

当中性轴从截面的一个侧边绕截面的顶点旋转到其相邻边时，相应的外力作用点移动的轨迹是一条连接点1、2的直线。于是，将1、2、3、4四点中相邻的两点连以直线，即得矩形截面的截面核心边界。它是个位于截面中央的菱形，例8-8

试确定图示T字形截面的截面核心边界。图中y、z轴为截面的形心主惯性轴。解：先求出截面的有关几何性质

EH0.45m0.45m0.6m0.6m0.2m0.2mBCDAFGOzy

作①、②、…等6条直线，将它们看作是中性轴，其中①、②、③和⑤分别与周边AB、BC、CD和FG相切，而④和⑥则分别连接两顶点D、F和两顶点G、A。

依次求出其在y、z坐标轴上的截距，并算出与这些中性轴对应的核心边界上1、2、…等6个点的坐标值。再利用中性轴绕一点旋转时相应的外力作用点移动的轨迹为一直线的关系，将6个点中每相邻两点用直线连接，即得图中所示的截面核心边界。453216EH0.45m0.45m0.6m0.6m0.2m0.2mBCDAFGOzy123456§8-4弯曲与扭转以圆截面杆在弯扭组合时的强度计算问题曲拐,AB段为等直实心圆截面杆,作受力简化,作M、T图BAFlaFABMe=Fa_图TFa_FlM图F力使AB杆发生弯曲，外力偶矩Me=Fa使它发生扭转由弯矩、扭矩图知，危险截面为固定端截面A危险截面上与弯矩和扭矩对应的正应力、切应力为A截面的上、下两个点C1和C2是危险点C1点的应力状态，取单元体得---二向应力状态C12CCC34A1C2C3CC4C1可用相应的强度理论对其校核，如第四强度理论，第三强度理论。在这种特定的平面应力状态下，这两个强度理论的相当应力的表达式可得（前面强度理论讲过）强度条件为按应力状态分析的知识，C1点三个主应力为

注意到

=M/W、

=T/Wp,相当应力改写为

上式同样适用于空心圆截面杆，对其它的弯扭组合，可同样采用上面的分析方法。统一形式：

其中：①外力分析：外力向形心简化并分解。②内力分析：每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危险面。③应力分析：建立强度条件。弯扭组合问题的求解步骤：例8-9

图示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮C上作用有铅垂切向力5kN，径向力1.82kN；齿轮D上作用有水平切向力10kN，径向力3.64kN。齿轮C的节圆直径dC=400mm，齿轮D的节圆直径dD=200mm。设许用应力[

]=100MPa，试按第四强度理论求轴的直径。

解：将每个齿轮上的切向外力向该轴的截面形心简化。ABxyzCD5kN1.82kN10kN3.64kN300300100AB1.82kNC5kN1kN.mD10kN3.64kN1kN.m

作出轴在xy、xz两纵对称平面内的两个弯矩图以及扭矩图

对于圆截面杆，通过圆轴轴线的任一平面都是纵向对称平面，可将My、Mz按矢量和求得总弯矩。并用总弯矩来计算该横截面上的正应力。横截面B上的总弯矩最大。再考虑扭矩图，得B截面是危险截面.1kN.m0.227kN.mM图z0.568kN.m0.364kN.mM图y_T图1kN..mBxyzMyBzBMMzByBMMBByz解得解：拉扭组合,危险点应力状态如图例8-10直径为d=0.1m的圆杆受力如图,T=7kNm,F=50kN,[

]=100MPa,试按第三强度理论校核此杆的强度。故，安全。AAFFTT练习题：[σ]=100MPa,W=0.1d3,确定d.3kN.m4kN.m§8-5连接件的实用计算法以螺栓(或铆钉)连接为例，

螺栓破坏实验表明,连接处的破坏可能性有三种：FFFF(1)螺栓在两侧与钢板接触面的压力F作用下，将沿m-m截面被剪断；(2)螺栓与钢板在相互接触面上因挤压而使连接松动；(3)钢板在受螺栓孔削弱的截面处被拉断。其他的连接也都有类似的破坏可能性。FFmm

在局部面积上的受压称为挤压或承压。相当复杂的问题。工程上对螺栓连接的强度计算，均采用直接实验为依据的实用计算。1.剪切的实用计算

剪切面:螺栓将沿两侧外力之间、与外力作用线平行的截面m—m发生相对错动，这种变形形式为剪切。m-m截面发生剪切变形,称为剪切面

用截面法，可得剪切面上的内力，即剪力FS。FFFmmFsmm在剪切实用计算中，假设剪切面上各点处的切应力相等，得剪切面上的名义切应力和剪切的强度条件注意：连接件计算中，连接件材料的许用切应力[

]是通过直接试验，按上式得到剪切破坏时材料的极限切应力，再除以安全因数，即得[

];可在有关的设计规范中查到，它与钢材在纯剪应力状态时的容许剪应力显然是不同的。

FS为剪切面上的剪力；

AS为剪切面的面积。

对大多数的连接件(或连接)来说，剪切变形及剪切强度是主要的。

例8-11

图示的销钉连接中，构件A通过安全销C将力偶矩传递到构件B。已知荷载F=2kN，加力臂长l=1.2m，构件B的直径D=65mm，销钉的极限切应力

u=200MPa。试求安全销所需的直径d。解：取构件B和安全销为研究对象，其受力为

由平衡条件

剪力为剪切面积为FFDOdDACBlOFssFeM

当安全销横截面上的切应力达到其极限值时，销钉被剪断，即剪断条件为

解得2.挤压的实用计算

分析受力、确定挤压面:

实际的挤压面是半个圆柱面，而在实用计算中用其直径平面Abs来代替

在螺栓连接中，在螺栓与钢板相互接触的侧面上，将发生彼此间的局部承压现象，称为挤压。在接触面上的压力，称为挤压力Fbs

挤压力过大，可能引起螺栓压扁或钢板在孔缘压皱，从而导致连接松动而失效

实际接触面直径投影面bsFF[

bs]是通过直接试验，并按上式得到材料的极限挤压应力，从而确定之。名义挤压应力和挤压强度条件

解：

键的受力分析如图例8-12

齿轮与轴由平键（b=16mm，h=10mm，）连接，它传递的扭矩m=1600Nm，轴的直径d=50mm，键的许用剪应力为[

]=80MPa，许用挤压应力为[

bs]=240MPa，试设计键的长度。

mmdFbhLmdFbhL

剪应力和挤压应力的强度条件

综上AS例8-13销钉连接如图。已知F=18kN,t=8mm,t1=5mm,d=15mm,材料许用剪应力[τ]=60MPa,许用挤压应力[σbs]=200MPa,