【《基于数学史与数学教育（HPM）理论的高中数学弧度制教学设计》17000字（论文）】

基于数学史与数学教育（HPM）理论的高中数学弧度制教学设计目录TOC\o"1-3"\h\u29082基于数学史与数学教育（HPM）理论的高中数学弧度制教学设计 131333第一章HPM视角下弧度制教学设计 1306511.1课标与教材中的弧度制 2196511.1.1课标中的弧度制 2271341.1.2教材中的弧度制 2294491.2HPM视角下弧度制的教学设计 8216701.2.1教学目标的确立 873611.2.2教学设计 951291.3HPM教学案例分析 1315385第二章教学实施与效果分析 14256282.1控制班与实验班教学分析对比 14280752.1.1控制班与实验班教与学用时分析 15260242.1.2控制组与实验组具体教学环节用时分析 16131582.2教学效果分析 1835802.2.1控制班与实验班之间的成绩差异分析 18173952.2.2HPM教学对学生概念理解的影响 20238942.2.3HPM教学对学生情感态度的影响 30第一章HPM视角下弧度制教学设计根据HPM教学设计理论框架，本研究的教学设计将在发生教学法思想、学生对弧度制概念的理解、弧度制的历史与重构、课标教材中的弧度制四个方面的基础上进行教学设计.为确保课例的质量，本章还将利用HPM课例评价框架对初步设计的课例进行分析评价.1.1课标与教材中的弧度制1.1.1课标中的弧度制《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准（2017年版）》）是数学课程的纲领性文件，促进了学生的全面发展，为教师教学指明方向，是评价教学质量的基础.其中，《标准（2017版）》在任意角与弧度制内容上的变化见下表1.1.表1.1课标中弧度制教学目标的变化《标准（实验）》REF_Ref31276\w\h[39]《标准（2017版）》变化了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.增加“体会引入弧度制的必要性”.新课标增加了“体会引入弧度制的必要性”这一教学目标.这确实也是教师在教学弧度制时容易忽视的，通过弧度制教学可以让学生感悟数学抽象的层次性，在这一变化中，可以看出新课标在培养学生数学核心素养方面的变化，在HPM视角下弧度制的教学设计中更应注意这一目标的实现.并且在教育建议部分《标准（2017版）》给出了案例3以帮助教师体会引入弧度制的必要性，在这个案例中，课标给出“对于三角函数的教学，为什么初中数学通过直角三角形讲述，而高中数学要通过单位圆讲述？”REF_Ref27008\w\h[1]这一问题，明白这一问题将利于学生进一步体会学习弧度制的必要性.1.1.2教材中的弧度制教材中所呈现出关于弧度制的第一部分见下图1.1.图1.1弧度制的教材呈现1——弧度制的引入教材通过类比长度、质量有不同度量单位，引出角度的不同测量，主题的引入非常简明.尽管使用类比法给了弧度制引入的“理由”，但此种引入方式并不能使学生产生认知矛盾，不能使学生具备足够的学习动机，因此教师还应探索更合适的课题引入.比如在弧度制的历史发展过程中，我们可以看到弧度制引入的必要性体现在两方面：统一进制、简化公式及计算.为此，我们可以在这两方面考虑主题的引入，借鉴历史来还原知识的发生过程.教材中所呈现出关于弧度制的第二部分见下图1.2.图1.2弧度制的教材呈现2——弧度制的探究教材让学生在同心圆中比较lr与l弧度制的探究是本节课的关键所在，学生应在这个过程中明白为什么突然开始在圆中讨论角、弧与半径之间的关系？为什么不是在三角形中？讨论角由在三角形转到在圆中的原因，是高中与初中讨论三角函数不同的关键所在.另外，在该环节中学生还应不局限于教材，通过发散思想给出多元的解决问题的方法.因此，在教学实施时，教师应注意结合历史，让探究过程自然发生，注意引导学生独立发现解决问题的方法.事实上，欧拉对于弧度制的发现过程与教材所给出的方法不尽相同.教材中所呈现出关于弧度制的第三部分见下图1.3.图1.3弧度制的教材呈现3——弧度制概念的得出在弧度制概念得出中，教材首先给出1弧度的角的定义以及弧度的符号表示；接着，给出单位圆定义以及认识单位圆中1弧度的角.最后探索圆中任意角的弧度表示：|α|=l教材中所呈现出关于弧度制的第四部分见下图1.1.图1.4弧度制的教材呈现4——联系旧知该部分教材介绍了弧度制与角度制的换算以及弧度制与实数集之间建立的一一对应关系.在练习换算公式时，教材所给出的互化表格只有度、弧度两行，笔者认为可以中间添加“弧长”这一行.因为角度制与弧度制都以弧长为中介进行定义，这样让学生在填写表格时不断进行特殊角的弧度与角度互化的操作，根据杜宾斯基等人的APOS理论，让学生在操作中形成“过程对象”，再从过程中抽象出角度制与弧度制的关系，将会对学生产生更深刻的印象.教材中所呈现出关于弧度制的第五部分见下图1.5、1.6.图1.5弧度制的教材呈现5——巩固练习图1.6弧度制的教材呈现5——巩固练习该部分教材呈现了一些经典例题.例4利于让学生认识非特殊角的弧度计算，突破常态思维；例5借助计算器计算，帮助学生善于利用现代技术进行学习；例6让学生进一步了解到学习弧度制的必要性：简化公式.该部分中的“例题”是值得借鉴的，因此，本研究的设计中将保留部分例题的呈现.不过，对于教材的课后习题仅局限在“换算公式”与“弧度公式”两个知识点，形成的概念表象形式单一，可以考虑创新弧度制与图形相结合的题目，加深学生对弧度制的直观理解，进一步理解弧度制概念的本质.总之，教材之中值得借鉴之处非常多.比如教材展示的知识点是丰富的，另外教材给出的弧度制的探索过程是值得参考的，还有部分例题也非常精髓，这都为本研究的教学设计提供指导.但教材中关于历史元素的呈现仅利用附加式呈现在课本上，若能以历史发展顺序为依据重构知识，学生接受起来将会更流畅.因此本研究将在教材展示内容的基础上，扬长避短地进行HPM视角下弧度制的教学设计.1.2HPM视角下弧度制的教学设计1.2.1教学目标的确立结合对课标与教材的研究，笔者认为在设计弧度制这节课的教学目标时应注意以下几个方面.在知识与技能方面，课标中给出要实现“了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化”的目标，在教材中我们还发现学生也应理解角的集合与实数集合间一一对应的关系.在过程与方法方面，要借鉴数学史中弧度制的探索过程，重构学生的探索过程，过程中要重视学生的自主探究学习.在情感态度与价值观方面，除了让学生体会本节课渗透的数学思想方法外，课标也强调了应注意让学生体会引入弧度制的必要性.前面在弧度制数学史分析中，我们了解到弧度制必要性体现在两方面：统一进制、简化公式与计算，因此，我们应在这两方面来让学生深刻体会弧度制的优势.最终，笔者确定了弧度制教学的以下教学目标，见表1.2.表1.2弧度制教学目标弧度制教学目标知识与技能（1）理解1弧度的角及弧度的定义；（2）掌握角度与弧度的换算公式；（3）理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系.过程与方法（1）通过统一进制的需要体会引入弧度制的必要性；（2）通过数形结合的方法主动探索弧度制概念的生成；（3）比较两种度量角的方法探究角度制与弧度制之间的转化；（4）通过习题掌握弧长公式和扇形公式.情感态度与价值观（1）通过弧度制定义探索过程，培养学生主动探索、勇于发现的精神，渗透数形结合的思想方法体会引入弧度制的必要性；（2）通过弧度制与角度制之间的联系与转化，渗透辩证唯物主义思想；（3）通过简化扇形公式进一步体会弧度制优势.1.2.2教学设计在上述研究基础之上，笔者设计了HPM视角下的弧度制教学设计原型，形成以下最终的教学设计.教学环节教学过程设计意图（一）问题引入，揭示主题师：请同学们观察屏幕上学习过的函数，对比其自变量x的取值，找出最为不同的那个函数，并阐述理由.生：正弦函数f(x)=sinx最为不同.因为其他函数自变量的取值都是R，而正弦函数的自变量是一个角度.师：具体来说，角度和实数有什么不一样？生：进制不同.师：非常好.我们数学讲求对称美，然而在正弦函数中自变量x与因变量y进制却不同，违背了我们的数学美.并且在一个函数中使用不同的进制在解决问题时会产生不便.因此，本节课要解决的问题就是让这个式子变得对称.在历史分析中我们了解到弧度制引入的两个原因，其中，弧度制引入更重要的意义在于其对公式的简化，但其简便性更多体现在高等数学的微积分公式中，针对初等数学，仅限于弧长、扇形面积公式的简化，因此我认为这个引入的原因并不能使学生在现阶段感到深刻.相反，由于进制不统一使函数无法进行四则运算，或由于进制不一致使得三角函数左右不对称等，更能使学生体会到弧度制引入的必要与自然性并产生更大的学习动机.（二）追寻历史，探索新知师：要使x与y进制相同，那么我们应让x与y都是六十进制数或都为十进制数，大家想选哪种办法？生：第二种，现在人们习惯使用十进制数.师：大家的直觉非常准确.事实上，第一种办法已有数学家替我们走过.这个人叫做希帕霍斯，早于我们两千多年出生，那时人们习惯使用六十进制数，但随着十进制数的流行与使用，人们不得不开始探索第二种统一办法，但希帕霍斯进行统一的方法与思想仍值得我们借鉴.师：好了，现在我们要解决的问题是要将自变量x用十进制数来表示，自变量x是一个角度，也就是说，我们如何用一个十进制的数来度量角度呢？开动脑筋，大胆思考，你们有什么办法吗？生：将1°对应到实数1；2°对应到实数2……师：这种办法是否可以做到角度集合与实数集合间一一对应？生：可以！师：这不失为一种办法，此处应有掌声！师：但美中不足，这种办法仅从数的角度出发做了一个人为规定，好像不太严谨与合理.我们数学上有一种重要的思想叫数形结合，看能否从“形”上先进行统一，再实现对应的“数”的统一，最终实现进制一致？“形”在哪里？生：自变量x代表角，因变量y代表边，在“形”上将角用边表示，即可在“数”上实现将角用十进制数表示.师：太棒了！当务之急想办法用边来表示角.但单独来看角和边并不能找到它们的联系，我们应找到一个既含有角又含边的图形来进行研究.生1：三角形！生2：我认为应选择圆形.我们学习了任意角，而三角形中的角都小于180°，而圆中既有半径作为边的元素又有圆心角可以表示任意角.师：非常好.那么我们想用边表示角，能否用圆中的半径表示角？生：不可以，同心圆中相同的角所对应的半径不相同师：也就是没有实现角与实数间的一一对应（PPT展示），那圆中还有别的元素吗？生：弧长.师：是的，18世纪的欧拉也想到了“用角所对应的弧长来表示角”，那这种方法可行吗?生：不可行，仍不能实现一一对应.师：那怎么办呢？欧拉没有放弃，在形上行不通，他又在数上进行了分析.对比l与l’的弧长公式，我们发现，是什么影响了相同角的弧长？生：半径，应考虑消除半径的影响.师：如何消除半径的影响？给大家三分钟小组讨论.生1：根据几何意义l2πr=n360，这样角度生2：lr=nπ180，这样角度师：大家的想法有很多，并且都是合理的，但实践证明第2组同学的方法是最简洁对称且实用的，后面学习大家会慢慢体会，但大家积极动脑的精神值得表扬.师：现在老师用几何画板为大家直观的演示一下，看看当n固定时，在任意圆中lr生：α=师：但是还有个问题，lr是个正值，但α生：给α加绝对值师：那么当l=R时，α=？因此，我们有了1弧度角的定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.单位用符号rad.师：1935年，弧度被称为“弪”，意为圆心角的弧度数由弧长l与半径r共同决定，但在1956年版《数学名词》中废除了此字，定为“弧度”.以往的弧度制课堂仅呈现弧度制的最终形式，而了解其历史发展过程后发现，角与边在统一进制时不仅一种方式，二者既可以统一为六十进制，又可以统一为十进制，并且统一为十进制的方式实则也不止一种，之所以如今这样“规定”弧度制，只不过由于其特殊优势才在历史筛选中得以保留.因此，此环节是学生“火热思考”的过程，学生经历确定研究问题、研究方向，最终将本节课任务确定为使角度的度量用十进制数表示.在统一为十进制时，激励学生自己思考确定其十进制统一方式，在多种方式中最终体会弧度制本质与优势，真正经历知识发生过程，使知识发生的更加自然.本环节学生在探索环节最重要的思想方法是数形结合,这也是本节课的创新点.学生在仅仅用“数”解决问题时，解决方法并不合理；而数形结合后可以使解决办法更加严谨.在这个过程中，我们借助圆为工具，为学生摒弃使用直角三角形研究三角函数，代替以在单位圆中学习三角函数做铺垫.最重要的是学生在这个过程中将体会到“α=l另外，本环节中三次提及数学史，目的在于使学生感悟数学家在解决问题时遇到困难时的坚定的意志，同时也增强学生学习数学的自信心.（三）巩固新知，加深理解例1当AB弧的长度为2r、3r时，正角∠AOB为多少弧度？例2观察图中标出的角，请用弧度表示角的大小？例3利用弧度制证明下列关于扇形的公式：（1）l=αr（2）S=师：对比角度制与弧度制下的弧长、面积公式，体会公式简洁性，再给出弧度制与角度制下的高等数学中的一些重要公式，进一步体会弧度制的优越性.在探索出弧度制定义后，为了加深学生的理解，笔者选择三个例题进行练习.其中，在分析教材后我们保留了例3，并进一步拓展弧度制优势；另外由于多数学生靠死记硬背记住公式，缺少对应图形的理解，因此笔者增加例2.（四）联系旧知，同化新知师：学习了新知识，不能忘记旧知识.那角度制与弧度制间能否实现相互转化呢？请同学们来看一下：若一个半径为r的圆的圆心角为下列特殊角，你能填写表格吗？角度0°30°45°135°360°弧长弧度πππ师：同学们来观察一下，以前我们说30°的正弦值为12，式子表示为sin30°=12师：请同学们再思考：1°=_____rad在弧度制下将57.3°变为了1rad，将一个大数变成了小数，这样简化了计算，再一次印证弧度制的优越性例4−210°=______rad67这属于历史外的知识点，在以往的课堂中，不少教师把这部分当做本节课的重难点，但笔者认为，在经历了前面的教学过程后，该部分内容将自然发生，且学生接受起来会非常轻松.在这个过程不强调记忆公式，而是继续在公式中体会弧度概念的内涵.（五）归纳总结，梳理新知生：总结本节课所学内容师：希望大家能在生活当中提出问题并解决问题，在解决问题的过程中就是一个创新的过程.知识拓展：小明建造一个扇形的小花园，由于材料有限，最多只能围成周长为80米的扇形，那么该花园最大能建成多少面积？巩固本节课所学并回顾概念产生过程，体会数学思想与方法，感受弧度制在数学中所体现的对称美，感悟数学文化.最后的拓展题使学生体会弧度制简化公式的作用.1.3HPM教学案例分析（1）史料的适切性本节课选取的史料有古希腊数学家希帕霍斯与他的首张弦表、欧拉与弧度制的发明、“弧度”的由来.三则史料皆符合史实，有确切依据，且涉及数学背后的故事，符合科学性原则与趣味性原则；三则史料由前到后介绍了弧度制的产生过程，便于学生了解弧度制本质，从而实现教学目标，具有有效性；三则史料选自发展过程中具有代表性的史实，希帕霍斯的首张弦表因理解难度大，仅展示其统一进制的数学思想，各史料符合学生认知基础，具有可学性；希帕霍斯与他的弦表教材中虽未涉及，但可以体现统一进制的思想，笔者在课上进行了补充，也为弧度制产生进行过渡，另外，欧拉与弧度制的产生这段数学史采用学生亲身经历并探索的方式进行学习，在新颖性上比较突出.（2）方式的多元性本教学设计意在通过重构弧度制的历史，让学生通过探究活动经历弧度制产生过程.本节课的引入是在总结弧度制产生的必要性后，选择了最能激发学生学习动机的方式进行设计；在学生探索过程中笔者将历史中所体现的数学思想贯穿其中，并截取具有代表性的数学史来重构知识的发生发展，比如略讲希帕霍斯的弦表，仅突出其统一进制的思想.详讲欧拉探索弧度制的过程，明白弧度制本质与必要性等；在欧拉与弧度制的史实中，笔者提出具有引导性的问题“如何消除弧长公式中半径对角的表示的影响？”，采用顺应式的方式应用数学史来引导学生探索弧度制；另外，笔者在讲课中会附加数学家的图片，但由于时间限制，没有更多的讲述逸闻趣事，略缺乏人文元素.因此，本设计中对数学史的应用结合了重构式、附加式、顺应式等多种方式，具有多元性.（3）融入的自然性本节课的设计是在学生理解方面、课标教材分析、数学史分析的预研究基础上进行的，既不是完全按照历史发展顺序不加删除地教，也不是仅按照教材上的逻辑顺序进行，而是考虑逻辑顺序、心理顺序和历史顺序三者的统一，将数学史进行重构自然地融入数学教学.（4）价值的深刻性首先，本节课采用重构数学史的方式进行设计，力求弧度制自然地发生与发展，促进学生理解，这呈现了“知识之谐”；第二，数学史中展现给我们的数学方法，笔者加以提炼运用在学生探索过程中，拓宽学生思维，这展示了“方法之美”；第三，本节课基于数学史，跟着前人的思考方向，给学生提供了一个自主学习的机会，在探究中积累活动经验，营造了“探究之乐”；第四，本节课在培养学生直观想象、数学抽象等核心素养方面具有积极作用，提供了“能力之助”；第五，本节课学生体会了数学家在解决问题中遇到困难时的坚韧意志，利于培养学生积极的数学情感、品行，彰显着“德育之效”.第二章教学实施与效果分析2.1控制班与实验班教学分析对比对于控制班与实验班的教学分析（控制班实录详见附录3），笔者将从课堂时间的分配，以及课堂具体教学环节的用时来综合进行对比.2.1.1控制班与实验班教与学用时分析控制班的《弧度制》教学课共用时近45分钟.首先采用了教材中的引入方法，通过类比长度、重量具有不同度量单位来引出弧度制.接着让学生观察始边在旋转n°的过程中，其始边上的不同点P、Q所形成的轨迹，其对应弧长与半径之比的关系，最终得到角与弧长与半径之比之间是一一对应的，并给出弧度制定义，至此共用时9'30″.接下来，老师带领学生进一步对弧度制的概念本质进行理解，用时5'30″.随后，讲解角度制与弧度制的换算公式用近三分半钟，最后将本节课重点放在了新知运用上，共用时25'37″，占整节课的一半时间以上.其中角度与弧度的换算用时最多，共用14'20″.最后教师展示课堂小结花了1分钟.笔者从教与学的角度将该节课用时表整理如下（见表2.表2.1控制班教与学用时表分析角度类别次数及用时总计用时学生学习学生做题4次，14'57″14'57″教师教学讲授知识6次，16'36″29'48″教师解题2次，9'35″教师板书3次，20″师生问答5次，3'17″课的性质探究课44'45″控制班采用的教学设计是比较常规的，在教师的带领下学生们顺利完成本节课的教学目标，并且很明显地学生对弧度与角度的换算公式印象深刻，并能较熟练地进行运算.但从教与学的角度分析可以看出学生学习在整节课的用时占比上不足三分之一，且形式单一，仅体现在做题方面.这无疑不利于学生的持续发展.实验班的《弧度制》教学课共用时也近45分钟.但实验班的教学过程首先从进制不一致出发得出研究问题，再进一步明确研究方向，并尝试解决问题.接下来在教师引导下，从数形结合方面进行分析，并不断进行尝试，最终通过小组讨论的形式给出解决问题的办法，进一步抽象出弧度制的概念，至此共用时18'30″.接下来，与控制班类似进行概念加深理解环节，不同的是实验班还练习了图形结合的例题来加深概念理解，共用时6'27″.随后，教师引领学生探索了弧度与角度换算公式，并进行习题练习，用时12'36″，最后，学生归纳本节课所学进行课堂小结，教师留下课后任务，共用时4分钟.为了更好地对比控制班与实验班教学过程的不同，笔者对实验班的教学过程从相同维度进行分析（见表2.2）.表2.2实验班教与学用时表分析角度类别次数及用时总计用时学生学习学生讨论3次，11'10″21'07″学生做题5次，9'57″教师教学讲授知识6次，14'12″23'28″教师解题2次，3'48″教师板书3次，1'师生问答3次，4'28″课的性质探究课44'35″实验班的教学设计是在历史方面、学生理解方面、教材与课标等方面的分析基础上得出，各环节过渡相对自然，对于知识的获得过程中学生自主性更高.从教与学用时表可以看出，与控制班不同，实验班放给学生的时间明显更多，且形式不限于学生自己做题，还包括学生讨论环节，将更多的时间下放给学生，有利于激发学生思维.2.1.2控制组与实验组具体教学环节用时分析为进一步探究两组教学在具体环节的用时分析，笔者将各班级的用时表整理如下（见表2.3、表2.4）表2.3控制班具体教学环节用时表课堂环节具体环节具体用时环节用时课题引入类比长度、重量有不同的度量单位，引出弧度制.1'45″1'45″新知探究利用弧长公式，探索相同圆心角与其所对的弧长与半径的比值之间的关系.4'50″4'50″形成概念给出1弧度角的定义55″2'55″由2弧度、1.5弧度角归纳得出如何规定任意角α的弧度大小2'理解概念半个圆弧所对的圆心角、周角以及负角的弧度.5'30″5'30″联系旧知探索角度制与弧度制的换算公式3'20″3'20″新知运用角度与弧度的换算14'20″25'37″用弧度制写出终边相同的角9'17″扇形弧长、面积公式推导2'课堂小结教师展示总结的知识表格1'1'控制班在各具体教学环节用时分析（表2.3）中可以看出，控制班教学重点放在了弧度制与角度制的换算公式上，对于弧度制概念的得出用时少之又少.这样一来学生忽视了对知识本质的理解，限制了学生的思维，冰冷地接受从天而降的知识，这样易导致学生在一开始学习弧度制便产生许多疑问，只能死记硬背定义与公式，其中体现的宝贵思想与方法并无法体会，将本该进行火热思考的课堂变为了一堂计算课，不利于学生核心素养的发展.另外，控制班很大程度的借鉴了教材中的教学过程，但没有涉及数学史，对于弧度制引入的必要性没有明显的介绍，课堂过渡显得不那么自然.而实验班在具体教学环节来看（见表2.4），学生课上用时最多的地方在概念得出环节，实验班重视知识产生过程，很明显本节课的教学重点与控制班之间存在明显不同.除此之外，HPM教学在习题设计、概念得出等方面也存在很大差异.表2.4实验班具体教学环节用时表课堂环节具体环节具体用时环节用时回顾旧知，揭示主题对比所学函数的自变量取值，找出最为不同的一个函数1'12″3′找到角度与实数之间不同的本质，明确研究问题1'48″探索发现，引出新知明确研究方向：将角度用十进制数来度量1'20″18'30″大胆思考解决问题的方法：（法一）单纯从“数”的角度作人为规定来解决问题.1'50″教师引导从数形结合的角度：（法二）在圆中解决问题，找到用边表示角的方法.15'20″巩固新知，加深理解例1：计算弧长为3r、1.5r时所对圆心角的弧度47″6'27″例2：给出图中所示角的弧度数1'05″例3：利用弧度制证明扇形公式4'35″新旧融合，知识重建探索角度与弧度换算公式7'10″12'36″例4与例55'26″归纳总结，梳理新知学生归纳本节课所学3'3'布置作业布置今天的作业1'1'2.2教学效果分析2.2.1控制班与实验班之间的成绩差异分析笔者采用SPSS统计软件对所获得的问卷数据进行分析，下表2.5是对测试问卷（附录1）收集数据的描述性统计分析.表2.5测试卷之描述性统计表N均值中值众数标准差极小值极大值百分位数有效缺失255075控制班394160.9560.0060.0011.7940.0060.0051.0060.0069.00实验班2068.3969.0060.0010.6540.0060.0060.0069.0072.00由上表可以看出，实验班的平均值明显高于控制班，且实验班的成绩标准差较小.从描述性统计中的各个维度进行对比，不难看出实验班均优于控制班.接下来，为了检验两个班级的测验分数是否服从正态分布，笔者采用SPSS统计软件对两个班级的测试成绩分别进行单样本K-S检验，其结果显示见下表：表2.6控制班单样本Kolmogorov-Smirmov检验N正态参数最极端差别Kolmogorov-SmirnovZ渐近显著性(双侧)均值标准差绝对值正负控制班3960.9511.79.109.109-.101.682.741表2.7实验班单样本Kolmogorov-Smirmov检验N正态参数最极端差别Kolmogorov-SmirnovZ渐近显著性(双侧)均值标准差绝对值正负控制班4168.3910.65.126.126-.091.807.533由K-S检验结果表明：控制班检验的Z值Z=0.682，显著性水平P=0.741＞0.05；实验班的Z值Z=0.807，显著性水平P=0.533＞0.02.可以认为两个班级的问卷测试成绩均来自服从正态分布的总体，可以对其进行两个独立样本的均值差异显著性检验，其结果见下表2.8：表2.8测试卷之独立样本检验方差方程的Levene检验均值方程的t检验FSig.tdfSig.(双侧)均值差值差分的95%置信区间下限上限成绩假设方差相等.072.790-2.9678.004-7.44-12.44-2.44假设方差不相等-2.9676.24.004-7.44-12.45-2.43对控制班和实验班的测试成绩的独立检验结果显示：方差具有齐性（F=0.072，p=0.790＞0.05），且两个班级的测试成绩存在显著性差异（t=-2.96,p=0.004＜0.05），由表2.5可得控制班平均分（60.95分）低于实验班（68.39），因此，我们可以认为在HPM教学设计下进行学习的实验班的学生，其测试成绩优于控制班.2.2.2HPM教学对学生概念理解的影响本部分笔者将对每个班级在测试卷中的答题情况进行量化分析，通过对比得出HPM教学对学生概念理解的影响；并在此基础上进行定性分析，以期给出可供参考的教学建议.测试卷第1题：1°所对的弧长是圆周的_________；1rad角度的测量与其所对的弧长紧密相关，因此该题目涉及的是对角度制与弧度制概念的理解.控制班与实验班在第1题中的做题结果统计如下表2.9所示.表2.9第1题各班级做题情况统计做题情况人数统计做对2空做对第1空做对第2空做错2空合计控制班16711539实验班2580841可以看出，在第1小题中实验班做对两个空的学生（占61%）明显高于控制班做对两空的学生（占41%）；对于两空都填错的学生来说，（控制班占38.5%，实验班占19.5%）他们没有明白角度测量与弧长之间的密切关系，而不管是角度制还是弧度制，弧长恰是测量角度的重要工具.相较来说，实验班学生更能体会到弧长对度量角的大小的作用；对于只错一空的学生来看，绝大部分学生能填对第一个空.由此结果可以看出HPM教学对学生关于弧度制概念的理解具有促进作用.另外，进一步分析该题的错题结果可以看到，实验班中共有6位同学对该问题的回答与换算公式有关，控制班中共有13位同学的回答与换算公式有关（如图2.1）.图2.1某控制班学生在第1题中给出的答案为进一步了解这些同学的内心真实想法，笔者在给出这类答案的学生中抽取了一位同学进行访谈，以下是这次访谈的片段：T：做这个题目时，为什么你会想到换算公式？S：因为题目里有1°度还有1radT：那本节课学习中你印象最深的是？S：换算公式.T：那你认为角的测量与弧长有什么关系？S：不太清楚.可见，不少学生对换算公式印象深刻，从统计结果来看，控制班学生对该公式的记忆尤为深刻，这与两节课的不同教学设计以及教学目标有关，因此，教师在教学中更应重视弧度制概念的生成过程.测试卷第2题：图（图2.2）中圆的半径为R，则𝜃角的大小为__________.图2.2测试卷第2题该题目依然是关于弧度制概念的理解问题，且涉及图形结合来更直观的理解概念.在该题目中，共含以下四种答案类型，满分答案分两种：其一是用弧度制表示的答案；其二是用角度制表示的答案.除此外，还将答案“（2π−6）R表2.10第2题做题情况及人数统计人数统计答案类型及赋分控制班实验班2π−6，5分59360°−（1080π911（2π−6）33空白或无关答案，0分2218由表2.10可以看出控制班的满分率为32.9%，实验班满分率为48.8%，因此，接受HPM教学的班级的满分率略高.另一方面，该题所给出的图形中，采用了半径R来度量弧长，明显与弧度制表示角有关，但仍有不少学生利用弧度制做出结果后，再利用换算公式将结果转化成了角度表示.为此，笔者抽取给出“360°−（1080π）T：你是利用弧度制知识完成这个题目的吗？S：是的.T：那为什么最后结果利用了角度来表示，而不直接用弧度制表示角的大小？S：更习惯用角度制表示角.T：用弧度制表示角的大小也是正确的，希望你能进一步体会弧度制优势并乐于使用弧度制.在这段访谈片段中可看出仍有学生不能将弧度制看作一种独立的度量制度，仍将弧度制看作依赖于角度制而存在的一种度量方式，为此，教师应重视弧度制优势的讲解，让学生善于且乐于使用弧度制.测试卷第3题：当x=30°时，求fx=sinx+x=该题目要求学生准确掌握角度制与弧度制的转化，并能够根据具体情况灵活地选择角度制或弧度制的使用.并且该题目还要求“结果尽量简便”，这体现了弧度制可以简便计算的优势.分析学生答案后，将第3题做题结果分为以下几类：对于“3+π6”答案，赋值满分5分，因给出该类型答案的学生能想到采用弧度制表示角的大小，从而简便函数计算结果，达到了该题考察目的；对于“12+π6表2.11第3题各班级做题情况及人数统计班级答案类型及赋分控制班实验班3+π691412111312+35612169该题虽然给出的角是用角度制表示的，但在要求结果尽量简便的前提下，在控制班能够想到选择用弧度制表示角的大小的学生（赋值4分与5分的情况）占51.3%，而在实验班占比达到62.9%，这也是HPM教学成功的表现.另外，在该题目中，两个班级获得零分的学生均不在少数，这与学生遗忘了关于初中“三角函数”的相关知识有关.另外，在赋值0分的答案中，还有3位学生给出了“612”的答案，且均来自控制班.为此，笔者抽取了一位给出“61T：你是怎么计算出612S：30+T：可是等号左边两个数单位不一致可以相加吗？S：但如果不能加的话我就不会算了.T：两个数之所以不能相加是因为其进制不一致，但我们昨天刚学习的角的新的度量方式：弧度制，它是十进制的.S：哦，我明白了!可以用弧度表示角再相加.T：是的，这也是我们学习弧度制的必要性之一.笔者了解到这几位学生直接将角度与实数相加，说明没有意识到二者之间存在进制不一致的问题，而这是学习弧度制必要性原因之一.在实验班未出现这样的结果表示，原因在于在HPM教学中，是由进制不一致引入的主题，教师自然地引进弧度制，学生感受着知识发生发展过程，形成较好的教学效果.测试卷第4题：角π2该题目难度较大，需要学生对“π”具有充分认识.一方面π可以作为无理数，另一方面π也可以表示一个角的大小.只有将关于“π”的这两种表象联系起来，才能真正理解“π”的含义并做对该题.在这个题中，控制班共8人回答正确，正确率为20.5%，实验班共15人回答正确，正确率为36.6%，虽然回答情况都不太乐观，但实验班的做题情况仍略优于控制班.对于做对的学生，他们大多将“π2”看作“π·π”，第一个π是无理数，可先近似看作3，第二个π相当于180°，在学生的演算过程中可看出，其思考过程如下（见下图2.图2.3学生在第4题中给出的正确答案对于做错该题目的学生中，不少学生给出类似于“y轴非负半轴”、“一、二象限分界线”等答案，如下图2.4所示.图2.4学生在第4题中给出的错误答案为了解给出此类答案的学生的内心真实想法，笔者抽取了其中一位学生进行访谈，访谈片段如下：T：你是如何得出角在y轴非负半轴这个答案的？S：π相当于180°，180个180°相乘得出的.T：你认为角度与角度可以相乘吗？S：好像不能.T：在弧度制中，π相当于角度制的180°；但π还有个身份，它本身也是个实数啊.S：哦，所以这里相当于问180°的π倍的角在哪个象限？T：是的，所以你现在的答案是？S：第三象限.可见，这些学生得到这样结果的原因在于，学生对“π”相当于180°过于深刻，忘记了π本身也是一个无理数.因此，通过学生的以上回答可以看出，在弧度制教学后，教师应重视学生对π的理解，这也是教师容易忽视的地方.测试卷第5题：弧度制是唯一一种将角的集合与实数集R之间建立起一一对应关系的方法.判断_______理由________________________________________________________________；（2）如果一个角用弧度制表示了，那它一定含有π.判断_______理由________________________________________________________________；（3）若圆弧l1=2l理由________________________________________________________________；该题为判断题，均考查生对弧度制概念的理解问题，共分三个小题，为了便于分析学生的理解程度，每小题都需学生写出判断对错的依据，其中判断与理由各占五分，若判断错误直接判零分.各班级每小题的平均得分如下图2.5所示.可以看出，实验班在第（1）（3）小题中得分远高于控制班，而在第（2）题中实验班得分略低于控制班.图2.5各班级在第五题中的平均得分其中，第（1）小题考查将角的集合与实数集R之间建立一一对应关系的方法.对于控制班来说，在课堂上得出弧度制概念所用的时间较少，且学生几乎没有自己思考的时间，思路跟着老师走，多数学生所能想到的方法仅限于书本上给出的弧度制；而对实验班来说，在HPM课堂中，弧度制概念得出所用的时间长，且在概念得出过程中借鉴了知识的历史发生过程，学生解决问题的方法不限于课本所给，在课堂上充分发挥了学生自主性，因此，在该小题中实验班的得分率明显高于控制班.该小题的具体做题情况及人数统计如下表2.12所示.表2.12各班级在第5(1)题中的做题情况统计得分情况人数统计0分5分10分控制班181011实验班81023由统计结果可以明显看出，控制班得0分的学生（46.2%）明显高于实验班（19.5%）；对于得5分的学生，虽然判断正确，但理由只给出了“唯一太绝对”、“还有很多方法”、“书上没这么说”等等这样笼统的答案；对于该小题中得满分的学生，控制班（28.2%）明显低于实验班的满分率（56.1%）.因此，在该小题中实验班学生的作答情况优于控制班.进一步分析拿到满分学生的答案，笔者发现实验班能够给出更丰富的理由，思维更加发散，能创造性地给出更多理由.见下图2.7.图2.7实验班某学生在第(1)题中的满分答案第（2）小题考察学生对“π”的认识，其作答情况如下表2.13所示.表2.13各班级在第5(2）题中的做题情况统计得分情况人数统计0分5分10分控制班11622实验班131117由上述结果可以得出在该小题中，控制班平均得分（6.41分）比实验班平均得分（2.49分）略高，我们可以认为，在这个小题中控制班的回答情况相对较好.也就是说在本论文所设计的HPM教学设计下，对于学生理解该问题的帮助不大.对于该小题中0分答卷的学生，其理由有如下几种情况：表2.14第5(2）题中0分答卷回答类型及人数统计回答类型人数空白没有理由81°=π18011弧长都与π有关，根据弧度制定义，一定含有π3其它2合计31对于该小题中5分答卷的学生所给出的理由有“π可以用180°代替”等不正确理由，以及一些“不一定”等笼统的理由，因此判分5分.对于该小题中满分答卷的学生，多以给出具体例子来说明，所给出的理由较为恰当.比如“1.5rad、2rad、3rad……”“1rad角的定义”“0°角的弧度数为0”“由换算公式得1π°=1180T：“弧度制可以让角的集合与实数集一一对应”这句话你认为是正确的吗？S：是的.T：那1是不是实数？S：是的.T：那按照“弧度制可以让角的集合与实数集一一对应”这句话，说明一定有一个角的大小为1radS：同意.T：所以1rad角用πS：没有.T：为什么会记得“弧度制可以让角的集合与实数集一一对应”，却还是做错这个题目？S：记得那些特殊角转化为弧度时都含有π，想当然的认为所有弧度制表示的角都含有π了.也就是说学生们对弧度制的掌握还不够熟练，对弧度制的表象较刻板单一，为此，笔者认为在HPM教学设计中应加深学生对1rad定义的理解.第（3）小题通过另一种表述，考察学生对弧度制公式的理解.该小题的具体做题情况及人数统计如下表2.15所示.表2.15各班级在第5(3)题中的做题情况统计得分情况人数统计0分5分10分控制班10821实验班21425对于该小题，控制班获得0分、5分、10分的百分率依次是22.6%、20.5%、53.8%；而实验班获得0分、5分、10分的百分率依次是1.9%、31.1%、61.0%.令人惊喜的是，实验班能够判断正确该小题的学生（95%）远远超过控制班的学生（71.4%）.该小题中5分答卷的学生，他们能够对该小题正确判断，但其理由叙述并不准确；该小题中满分答卷的学生，他们能够给出“可能不是同圆或等圆”、“半径可能不一致”、“角还有正负之分”等恰当的理由来说明这句话的问题所在.测试卷第6题：请你给出弧度制与角度制转换的一般公式，并将以下所给出的角度（弧度）转换成弧度（角度）.一般公式：1°=____________rad；1rad=（______________）°180°=_____________；②π3③−76π=_____________；该题涉及角度制与弧度制的换算公式，该公式一直以来都是该节课的教学重点.控制班与实验班学生在第一题中的两个公式以及五个小题的正确率如下图2.8所示.统计结果显示，换算公式的掌握与学生对弧度制概念的理解有一定关联.图2.8各班级测试卷第6题的正确率在统计图中可以看出，对于公式一、二以及第①小题的正确率两个班级均为100%；第②—④小题正确率均在95%左右，错误原因大多在角度与弧度的单位混淆等细节问题上.因此，在教学中教师应注意强调用角度制表示角的大小时，单位“°”不可省略；在两个班级中第一题的最低准确率均在第⑤小题，各班错因统计人数如下表2.16所示.其中，两个班级中因忘记加“-”号而出错的同学占多数，特别是控制班因符号问题而出错的同学占到了该小题总出错人数的75%.对比两个班级在此知识点的教学过程，我们可以得知：弧度制在形成一般定义时，对于|α|=lr表