2025-2026学年江苏省无锡市锡山区天一中学高二（下）期中数学试卷（理科）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年江苏省无锡市锡山区天一中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数f(x)=ln(2x−1)的导函数是f′(x)，且f′(1)=(

)A.12 B.−1 C.1 D.2.若变量y与x之间存在线性相关关系，且根据最小二乘法得到的经验回归方程为y=2x+a，样本点中心为(3,6.5)，则样本点(2.5,7)A.−1.5 B.1.5 C.0.5 D.−0.53.某农业科学院培育脐橙新品种，新培育的脐橙单果质量ξ(单位：g)近似服从正态分布N(180,100)，现有该新品种脐橙10000个，估计单果质量不低于150g的脐橙个数为(

)

附：若X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9974A.8413 B.9772 C.9974 D.99874.记(2x+1)2025=a0+aA.1 B.22025 C.42025 5.某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的20%，乙车间占35%，丙车间占45%.已知这3个车间的次品率依次为5%，4%，2%，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次品，则该次品由乙车间生产的概率为(

)A.331000 B.1033 C.14336.已知实数x1，x2满足x1ex1A.e B.4e−1 C.4e−27.数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第二行中的最大数为m，第三行中的最小数为n，则满足n<m的排列个数为(

)A.684 B.648 C.624 D.6008.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)和f′(x)的定义域均为R，若f(x)−f(−x)=2x，f′(x)+f′(2−x)=0，f(0)=0，f(1)=12，则n=18A.−66 B.−56 C.−38 D.28二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知A，B为随机事件，且P(A)=0.5，P(B)=0.4，则下列结论正确的是(

)A.若A，B互斥，则P(A∪B)=0.9

B.若A，B相互独立，则P(AB−)=0.2

C.若A，B相互独立，则P(A∪B)=0.7

D.若10.甲、乙两同学参加普法知识对抗赛，规则是每人每次从题库中随机抽取一题回答.若回答正确，得1分，答题继续；若回答错误，得0分，同时换成对方进行下一轮答题.据经验统计，甲、乙每次答题正确的概率分别是12和23，且第1题的顺序由抛掷硬币决定.设第i次答题者是甲的概率为Pi，第i次回答问题结束后中甲的得分是KiA.P2=14 B.P(K211.设函数f(x)=(x−e)ln|x|的极小值点为x0，其中e为自然对数的底数，则A.f(x)的单调增区间为(−∞,0)，(x0,+∞)

B.f(x)有且仅有两条斜率为3的切线

C.2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知(x−1)4+2x5=a13.某机器有四种核心部件A，B，C，D，四个部件至少有三个正常工作时，机器才能正常运行，若四个核心部件正常工作的概率分别为P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，其中P(A)=P(B)，P(C)=P(D)，P(A)+P(C)=43，且各部件是否正常工作相互独立，设X为在n次试验中该机器正常运行的次数，若E(X)=16，则至少需要进行的试验次数为

．14.设函数f(x)=[ax−(m+1)ex](ax−lnx)(其中e为自然对数的底数)，若存在实数a使得f(x)<0恒成立，则实数m的取值范围是

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某商场举办购物抽奖活动，在一个不透明的袋子中放入24个大小、材质都相同的小球，小球有红和蓝两种颜色，每个小球上都画有符号“〇”或“×”，不同颜色和符号的小球个数如表所示.从袋中随机摸出一个球，记事件A为“摸出红球”，事件B为“摸出画〇的球”．红球蓝球画〇610画×26(Ⅰ)求P(A)和P(A|B)．

(Ⅱ)该商场规定在一次抽奖中，每人有放回地摸两次球，每次只摸出一个球，根据两次摸出球的颜色和符号是否相同设置三种奖项：颜色和符号均相同则奖励200元；仅颜色相同或仅符号相同则奖励100元；颜色和符号均不相同则奖励50元.设一次抽奖获得的奖金为X元，求X的分布列和数学期望．16.(本小题15分)

已知函数f(x)=x和函数g(x)=alnx(a∈R)．

(1)若函数h(x)=f(x)−g(x)在区间[1,4]上不单调，求a的取值范围；

(2)若函数f(x)的图象与函数g(x)的图象在公共点处有相同的切线，求该公切线方程．17.(本小题15分)

人工智能中的文生视频模型Sora(以下简称Sora)，能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频.为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了150名视频从业人员进行调查，结果如表所示．Sora的应用情况视频从业人员合计减少未减少应用541872没有应用364278合计9060150(1)根据表格中所给数据，依据α=0.001的独立性检验，判断Sora的应用与视频从业人员的减少有关？

(2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀“的概率分别为23，12，13，每轮相互独立，有两轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora．

①求员工经过培训能应用Sora的概率；

②已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元，Sora培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后对剩余员工开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？

附：χα0.0100.0050.001χ6.6357.87910.82818.(本小题17分)

已知函数f(x)=aex+bcosx+12x2(其中a，b为实数)．

(1)若a=0，b=1，试判断函数f(x)的单调性；

(2)若a=1，b=−1，

①当x≥0时，f(x)≥mx，求实数m的取值范围；

②19.(本小题17分)

通过抛掷质地均匀的硬币产生随机数列{an}，具体产生方式为：若第n次抛掷的结果为反面朝上，则an=0；结果为正面朝上，则an=1.所有总项数为k项的数列{an}组成集合Ak．

(1)已知{an}∈A12，且{an}所有项的和为S，求S=2的概率；

(2)可用软件产生类似的随机数列{cn}，也满足cn∈{0,1}.若“c1=1”的概率为12，“c2=1”的概率为参考答案1.D

2.B

3.D

4.C

5.C

6.C

7.B

8.C

9.ACD

10.BCD

11.ABD

12.4

13.27

14.(115.(Ⅰ)因为事件A为“摸出红球”，事件B为“摸出画〇的球”，

因为画〇的红球有6个，蓝球有10个，画×的红球有2个，蓝球有6个，

所以P(A)=824=13，P(A|B)=n(AB)n(B)=616=38；

(Ⅱ)在一次摸球的结果中，

P(AB)=624=14,P(A−B)=1024=X20010050P1117故E(X)=1116.解：(1)由题意，有h(x)=x−alnx，所以h′(x)=x−2a2x，

要使h(x)在[1,4]上不单调，则h′(x)在(1,4)上有变号零点，

即x−2a=0在(1,4)上有解，令φ(x)=x−2a，

由φ(x)在(1,4)上单调递增，

可得ϕ(1)=1−2a<0ϕ(4)=2−2a>0，解得12<a<1，

故a的取值范围是(12,1)；

(2)设两函数的公共点为(x0,y0)，则有x0=alnx012x0=ax0，

由第二个方程得a=x02，代入第一个方程得x0=x02lnx0，

解得x0=e2，a=e2，

故公共点为(e2,e)，切线斜率为k=12e，

故切线方程为y−e=12e(x−e2)，化简得x−2ey+e2=0，

故两函数的公切线方程为x−2ey+e2=0．

17.解：(1)a=54，b=18，c=36，d=42，样本容量n=150，

零假设H0：Sora的应用与视频从业人员的减少无关，

χ2=150×(54×42−18×36)272×78×90×60=150×(2268−648)272×78×90×60=150×1620230326400=12.98，

已知α=0.001对应的临界值χ0.001=10.828，

由于12.98>10.828，由此可推断零假设不成立，

即认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关；

(2)①设事件A，B，C分别为第一、二、三轮培训获“优秀”，

则P(A)=23,P(B)=12,P(C)=13，且三轮相互独立；

能应用Sora的条件是“两轮及以上获优秀”，包含以下4种情况：

A，B优秀，C不优秀：P(ABC−)=23×12×(1−13)=29，

A，C优秀，B不优秀：P(AB−C)=23×(1−12)×13=19，

B，C优秀，A不优秀：P(A−BC)=(1−23)×12×13=118，

A，B，C均优秀：P(ABC)=23×12×13=19，

总概率P=29+19+118+19=12；

②设调走x人，则剩余100−x人，原年利润：100×6=600万元，

培训后：能应用Sora的员工有12(100−x)人，每人利润10−1=9万元，

不能应用的员工有12(100−x)人，每人利润6−1=5万元，

年利润不低于原利润的条件为12(100−x)×9+12(100−x)×5≥600

化简得7(100−x)≥600⇒700−7x≥600⇒7x≤100⇒x≤1007≈14.29，

由于x为整数，故xmax=14，即视频部最多可调离14人．

18.解：(1)当a=0，b=1时，f(x)=cosx+12x2，f′(x)=x−sinx，

令g(x)=x−sinx，则g′(x)=1−cosx≥0，

故f′(x)在R上单调递增，又f′(0)=0，

所以当x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0，

故f(x)在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增；

(2)①当a=1，b=−1时，f(x)=ex−cosx+12x2，

设h(x)=ex−cosx+12x2−mx,x≥0，

h′(x)=ex+sinx+x−m，h′′(x)=ex+cosx+1>0，

故h′(x)在[0,+∞)上单调递增，h′(0)=1−m，

若m≤1，则h′(x)≥h′(0)≥0，h(x)单调递增，h(x)≥h(0)=0，满足条件；

若m>1，则存在x0>0，使得h′(x0)=0，

当x∈(0,x0)时，h′(x)<0，h(x)递减，h(x0)<h(0)=0，不满足条件；

综上所述，实数m的取值范围是(−∞,1]；

②令函数g(x)=lnx+sinx，定义域为(0,+∞)，

当x∈[π,+∞)时，lnx>1，sinx≥−1，所以g(x)=lnx+sinx>0；

当x∈[1,π)时，lnx≥0，sinx>0，所以g(x)=lnx+sinx>0；

当x∈(0,1)时，由g′(x)=1x+cosx>0知，g(x)在(0,1)上单调递增，

又g(1)=sin1>0,g(1e)=−1+sin1e<0且函数连续不间断，

所以∃x0∈(0,1)，使得g(x0)=lnx0+sinx0=0，

综上所述，函数g(x)在(0,+∞)有唯一的零点x0∈(0,1)，

且g(x)在(0,x0)上恒小于零，在(x0,+∞)上恒大于零；

令函数φ(x)=f(x)−|lnx+sinx|，讨论如下：

(i)当x∈(0,x0)时，φ(x