人教版2024-2025年全国九年级数学中考试题汇编：一元二次方程及其应用

2.3一元二次方程及其应用

一、选择题

1.(2025•山东潍坊)若一元二次方程%2-2%+。=0有两个相等的实数根，则c的值为()

A.-1B.0C.D.1

2

2.(2025・四川广元)如图，在长为12m,宽为10m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要

求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的&那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为％m,

则可列方程为()

22

A.(12-x)(10-x)=12x10B.(12-2x)(10-x)=12x10x(

*Jo

22

C.(12-x)(10-2x)=12x10xD.(12-2x)(10-2x)=12x10x

3.(2025•四川乐山)若方程%2-1-2=0的两个根是石和%2,则君必+孙冬的值为()

A.-1B.1C.-2D.2

4.(2025•广东广州)关于x的方程/-1+幺+2=0根的情况为()

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.无实数根D.只有一个实数根

5.(2025•甘肃兰州)若关于x的一元二次方程%2+2%+Q=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是()

A.3B.2C.1D.0

6.(2025•辽宁)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共

六十步，问长多阔几何其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共6()步，问

它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为%步，根据题意可列方程为()

A.x(60-x)=864B.x(x-60)=864

C.x(60+x)=864D.2[x4-(x+60)]=864

7.(2025・广东)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器

人在今年5月产值达到250()万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6,7两个月产值的月均增长

率为X,可列出的方程为（）

A.2500（1+x）2=9100B.2500（1-x）2=9100

C.2500（1-2x）2=9100D.2500（14-2x）2=9100

8.（2025•北京）若关于x的一元二次方程a%2+2x+l=0有两个相等的实数根，则实数。的值为（）

A.—4B.-1C.1D.4

9.（2025•黑龙江）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某

品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均

每月增长率为筋则可列方程为（）

A.8000(1+2x)=1200B.8000(1+x)2=12000

C.8000+8000(1+x)+8000(1+x)2=12000D.8000x2(1+x)=12000

10.（2025・广西）已知是方程%2-20%-25=0的两个实数根，则与+为2=（）

A.-25B.-20C.20D.25

11.（2025・甘肃）关于x的一元二次方程3%2-6x+m=0有两个实数根，则阳的取值范围是（）

A.TN<3B.m<3C.m>3D.m>3

12.（2025・河北）若一元二次方程%（%+2）-3=0的两根之和与两根之积分别为771,n,则点［m,n）在平面

直角坐标系中位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

13.（2025・湖北）一元二次方程/-4“+3=0的两个熨数根为巧,也，下列结论正确的是（）

A.xx+x2=_4B.+%2=3

C•xj%2=4D.x^%2=3

14.（2025・河南）一元二次方程/-2x=0的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

15.（2025・新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用面墙（墙足够K）和24niK的围栏围成个

面积为40m2的矩形场地.设矩形的宽为xm,根据题意可列方程（）

A.x(24-2x)=40B.x(24-x)=40

C.2x(24-2x)=40D.2x(24-x)=40

16.（2025•新疆）若关于x的一元二次方程%2-2%+。=0无实数根，则实数。的取值范围是（）

A.a<1B.a>1C.a<1D.a>1

17.（2025•四川德阳）若关于x的一元二次方程-2炉+4%+k=0有两个相等的实数根，则〃的值是（）

A.2B.0C.-2D.-4

18.（2025•福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直

角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x米，根据题

意可列方程（）

A.5x2=6B.5(1+x2)=6C.x(5-x)=6D.5(l+x)2=6

19.（2025•江苏扬州）关于一元二次方程好一3%+1=。的根的情况，下列结论正确的是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断根的情况

20.（2025•安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）

A.x2+1=0B.x2-2x+1=0

C.x2+x+1=0D.x24-x-1=0

21.（2025・四川广安）关于x的一元二次方程%2+3%+1=0的根的情况是（）

A.没有实数根B.有两个不相等的实数根

C.有两个相等的实数根D.无法确定

22.（2025•云南）某书店今年3月份盈利6000元，5月份盈利6200元.设该书店每月盈利的平均增长率为

X，根据题意，下列方程正确的是()

A.6000(1+x)2=6200B.6000(1-x)2=6200

C.6000(1+2%)=6200D.6000X2=6200

23.（2025•四川遂宁）已知关于x的一元二次方程%2-3%+7几+1=0有实数根，则实数m的取值范围是（）

A.m<-B.m>-C.m>-D.m<-

4444

24.（2025・四川内江）若关于x的一元二次方程（a—1）%2+2X+1=0有实数根，则实数。的取值范围是

（）

A.a<2B.a<2C.a<2且aHlD.a<2且a#1

25.（2025・四川凉山）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨,月平均漕长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨,

若设月平均增长率为x,那么可列出的方程是（）

A.560（1+x）2=1860

B.560+560（1+x）+560（1+2x）=1860

C.560+560（1+x）+560（1+%）2=1860

D.560+560（1+2x）2=1860

26.（2025・重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客

达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（）

A.10%B.20%C.22%D.44%

27.（2024•江苏淮安）若关于x的一元二次方程%2-4%+%=0有两个不相等的实数根，则2的取值范围是

（）

A./c>4B./c>4C.k<4D.k<4

28.（2024•四川自贡）关于x的方程+mx-2=0根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.无实数根

29.（2024•青海西宁）如图，小区物业规划在一个长60m,宽22m的矩形场地48CD上，修建一个小型停

车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽2%m的道路.如果阴影部分的总面积

是600m2,那么x满足的方程是（〉

止60

八<-►

222x

BC

A.x2-41x4-180=0B.x2-41x4-225=0

C.x2-41x+30=0D.%2-41%-270=0

30.（2024•山东德州）把多项式r-3%+4进行配方，结果为•）

A.(%-3K—5

31.（2024・山东日照）已知,实数勺,%2（%1H%2）是关于x的方程匕2+2Z%+1=0（kW0）的两个根,若♦+

力

上=2,则4的值为（）

*2

A.1B.-1C.--D.——

22

32.（2024•江苏南通）红星村种的水稻2021年平均每公顷产7200kg,2023年平均每公顷产8450kg.求水

稻每公顷产量的年平均增长率.设水稻每公顷产量的年平均增长率为x.列方程为（）

A.7200（1+x）2=8450B.7200（1+2x）=8450

C.8450（1-x）2=7200D.8450（1-2x）=7200

33.（2024•内蒙古）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六

十四步，只云阔与长共六十步，同阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60

步，问宽和长各几步？若设长为万步，则下列符合题意的方程是（）

A.864B.x（60+x）=864C.x（60-x）=864D.x（30-x）=864

34.（2024•山东济南）若关于x的方程/一工一加二0有两个不相等的实数根,则实数利的取值范闱是（）

A.m<--B.m>--C.m<—4D.m>—4

44

35.（2024•山东东营）用配方法解一元二次方程/-2X-2023=0时，将它转化为（％+=b的形式，

则心的值为（）

A.-2024B.2024C.-1D.I

36.（2024•江苏宿迁）规定：对于任意实数a、b、c,有【a,bl★c=ac+b,其中等式右面是通常的乘

法和加法运算，如［2,3］★1=2x14-3=5.若关于x的方程［%,工+1】★（mx）=0有两个不相等的

实数根，则，〃的取值范围为（）

A.m<-B.m>-C.m>1且mH0D.mV1且mH0

4444

37.（2024•山东潍坊）已知关于x的i元二次方程/一根%-几2+7rm+i=o,其中m,n满足m-2几=3,

关于该方程根的情况，下列判断正确的是（）

A.无实数根B.有两个相等的实数根

C.有两个不相等的实数根D.无法确定

38.（2024•甘肃兰州）关于汇的一元二次方程9%2-6%+c=0有两个相等的实数根，则。=（）

A.-9B.4C.-1D.1

39.（2024•山东泰安）关于欠的一元二次方程2%2-3%+k=0有实数根，则实数々的取值范围是（）

QQQQ

A.kVgB.kWXC.k2xD.k<-g

8888

40.（2024•内蒙古通辽）如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一4'•一边靠墙（墙长5.5m）的矩形

鸭舍，其面积为15m2,在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则8c长为（）

A.5m或6mB.2.5m或3mC.5mD.3m

41.（2024•黑龙江牡丹江）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，

则每次降价的百分率为（）

A.20%B.22%C.25%D.28%

42.（2024•吉林）下列方程中，有两个相等实数根的是（）

A.（%-2）2=-1B.（%-2）2=0

C.（—2）2=1D.（r-2）2=2

43.（2024•内蒙古赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程%2-10%+21=0的两个根，则这个三角形的周

长为（）

A.17或13B.13或21C.17D.13

44.（2024•黑龙江大兴安岭地）关于x的一元二次方程（771-2）f+4%+2=0有两个实数根，则小的取值

范围是（）

A.m<4B.m>4C.m>—4且m-r2D.m<4且?n+2

45.（2024•黑龙江绥化）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数

项，因而得到方程的两个根是6日1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是-2

和-5.则原来的方程是（）

A.x2+6x+5=0B.x2—7x+10=0

C./-5%+2=0D.x2-6x-10=0

46.（2024MD一元二次方程一—=0的解是（）

A.必=3,x2=1B.xl=2,x2=0C.M=3,x2=-2D.xr=-2,

x2=-1

47.（2024•北京）若关于无的一元二次方程x2-4x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）

A.-16B.-4C.4D.16

48.（2024•四川眉山）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区,该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了

水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长

率为X,则可列方程为（）

A.670x（1+2%）=780B.670x（1+x）2=780

C.670x（1+7）=780D.670x（1+x）=780

49.（2024•云南）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种

药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为人根据题意，下列方程正确的是（）

A.80（1-X2）=60B.80（1-%）2=60

C.80（1-%）=60D.80（1-2%）=60

二、填空题

50.（2025•四川巴中）关于x的一元二次方程/一4%+m=0有两个相等的实根，则机=.

51.（2025•青海西宁）若关于x的一元二次方程%%2-2%+1=0有两个不相等的实数根，请写出一个满足

条件的k的俏.

52.（2025•江苏常州）若关于x的一元二次方程“2-2x+m=0有两个相等的实数根,则实数m=.

53.（2025•四川广元）若关于x的一元二次方程（。一1万2+3-1比一^=0有两个相等的实数根，则

54.（2025•江苏宿迁）方程7-2024%-2025=0的两个根分别是m、n,贝式一一2023m-2026）（九2一

2023n-2026）=

55.（2025•青海）若x=1是一元二次方程“2-4x+c=0的一个根，贝Uc的值为.

56.（2025•广东）不解方程，判断一元二次方程2/+%-1=。的根的情况是.

57.（2025•黑龙江绥化）已知m,八是关于％的一元二次方程炉一2025%+1=0的两个根，则

（TH+l）（n+1）=.

58.（2025•江苏苏州）己知巧,工2是关于x的一元二次方程/+2%-771=0的两个实数根，其中勺=1,则

x2=----------

59.（2025•四川眉山）已知方程5-2》-5=0的两根分别为句,x2,则（占+1）（必+D的值为________•

60.（2025•山东）若关于》的一元二次方程%2+4x-m=0有两个不相等的实数根，则实数mH勺取值范围

是.

61.（2025•四川广安）已知方程/一5%-24=0的两根分别为a和田则代数式/一4a+b的值

为.

62.（2025・上海）已知关于工的一元二次方程2必+万一小=0没有实数根，则加的取值范围是

63.（2025•四川达州）已知关于x的方程为2+加工-3=0的一个根是1,则m的值为.

64.（2025•四川成都）从-1,1,2这三个数中任取两个数分别作为a,b的值，则关于x的一元二次方程a/+

以+1=0有实数根的概率为.

65.（2025•四川泸州）若一元二次方程2%2—6%—1=0的两根为a,0,则2a2-3a+30的值

为•

66.（2025・贵州）一元二次方程x2-1=0的根是.

67.（2025•山东东营）若关于》的方程（幺一1沈2+（4+1%+；=0无实根，则k的取值范围是______.

4

68.（2024•广东深圳）一元二次方程比2-3%+。=0的一个解为3=1,则。=.

69.（2024•江苏南京）已知4一的豆是关于"的方程0-2）（。无2+8*+（;）=0（a,b,c是有理数，aH0）的

一个根，则该方程的另外两个根分别是，.

70.（2024•青海西宁）已知方程好+2%-1=0的两根分别为。和4则4a2+8ab+4/?2的值为.

71.（2024•山东德州）已知。和b是方程%2+2024%-4=0的两个解，则a2+2023a-b的值为.

72.（2024•江苏徐州）关于x的方程/+心：+1=0有两个相等的实数根，则左值为.

73.（2024•山东青岛）如图，某小区要在长为16m,宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小

路的宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为m.

74.（2024•江苏南通）已知关于x的一元二次方程%2-2工+攵=0有两个不相等的实数根.请写出一个满足

题意的左的值：.

75.（2024•江苏镇江）若关于x的一元二次方程/+6x+m=0有两个相等的实数根，则根=.

76.（2024•广东）如果关于x的方程d+2%+m=0有两个相等的实数根，则m=.

77.（2024・四川巴中）已知方程/-2x+k=0的一个根为-2,则方程的另一个根为.

78.（2024•广东广州）定义新运算：次二?Q三?例如：一2⑥4=（一2>一4=0,2㊈3=-2+

（-a4-D,a>0,

3=1.若则x的值为______.

4

79.（2024•河南）若关于%的方程="2一%+。=0有两个相等的实数根，则。的值为.

80.（2024・湖南）若关于x的一元二次方程/—4x+2k=0有两个相等的实数根，则左的值为.

81.（2024•新疆）若关于x的一元二次方程“2+3%+忆=0有两个不相等的实数根，则％的取值范围

为.

三、解答题

82.（2025•黑龙江齐齐哈尔）解方程:x2-7x=-12

83.（2025•山东威海）如图，某校有一块长20m、宽14m的矩形种植园.为了方便耕作管理，在种植园的

四周和内部修建安度相同的小路（图中阴影部分）.小路把种植园分成面积均为24m2的9个矩形地块，请

你求出小路的宽度.

84.（2025・四川南充）设％。必是关于％的方程（X-1）（%-2）=大2的两根.

（1）当修=一1时，求%2及用的值・

（2）求证：（/-1）（%2-l）＜0.

85.（2024•四川攀枝花）解方程：（x+一4=0.

86.（2024・西藏）列方程（组）解应用题

某商场响应国家消费品以旧换新的号召，开展了家电惠民补贴活动.四月份投入资金20万元，六月份投入

资金24.2万元，现假定每月投入资金的增长率相同.

（1）求该商场投入资金的月平均增长率；

（2）按照这个增长率，预计该商场七月份投入资金将达到多少万元？

87.(2024•山东淄博)“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身

运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人.

(1)求该市参加健身运动人数的年均增长率；

(2)为支持市民的健身运动，市政府决定从力公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买不超过100

套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元.但最低售价不得少于1000

元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数.

88.(2024•广东广州)关于汇的方程、2-2》+4-772=0有两个不等的实数根.

(1)求机的取值范围;

1-m2.m-1m-3

(2)化简:

|m-3|2m+1

x2-3xy-4y2=0①

89.(2024・上海)解方程组:

x+2y=6@

90.(2024•四川南充)已知％1，孙是关于工的方程炉-2履1=。的两个不相等的实数根.

(1)求k的取值范围.

(2)若kv5,且k,勺，外都是整数，求k的值.

91.(2024•四川遂宁)已知关于工的一一元二次方程d-(m+2)x+m-1=0.

(1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根：

(2)如果方程的两个实数根为%1，必,且就+力一%1必=9,求m的值.

92.(2025•四川泸州)某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着

生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元.

(1)求乙种商品每件进价的年平均下降率：

(2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品.

93.(2025•四川达州)为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品.已

知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价

1元，每天可以多售出10件.

(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是件；

(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物应该降价多少元，文旅公司每天的利润是630元；

(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为田元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是

多少？

94.(2025・四川巴中)如图，计划用长为40m的绳子围一个矩形围栏，其中一边靠墙(增长25m).

(1)矩形围栏的面积为150m2时，三边分别长多少m?

(2)矩形围栏的面积最大时，三边分别长多少m?

95.(2024・辽宁)某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y(件)与每件售价》(元)满足一次

函数关系，部分数据如下表所示：

每件售价Y元・・・455565•••

口销售量y/件•••554535…

(1)求y与％之间的函数关系式(不要求写出自变量工的取值范围)；

(2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价：如果不能，请说明理由.

96.（2024•青海）（1）解一元二次方程：X2-4X+3=0；

（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长.

97.（2024・山东烟台）每年5月的第三个星期口为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，

康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出

60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润

不低于180元，设每辆轮椅降价X元，每天的销售利润为y元.

（1）求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？

（2）全国助残日当天，公司共获得俏售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？

参考答案与解析

一、选择题

1.(2025•山东潍坊)若一元二次方程》2—2x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为()

A.一1B.0C.iD.1

【答案】D

【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数c的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程

ax2+bx+c=0(aH0)根的判别式A=b2-4ac,当方程有两个不相等的实数根时，△>()；当方程有两个

相等的实数根时，A=0；当方程没有实数根时，A<0.

【洋解】解：•••一元二次方程¥2-2x+c=()有两个相等的实数根，

；・△=(-2)2—4c=0,

解得：c=l，

故选:D.

2.(2025•四川广元)如图,在长为12m,宽为10m的矩形地面的四周种植花卉,中间种植草坪.如果要

求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的g那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为xm,

则可列方程为()

A.(12-x)(10-%)=12X10B.(12-2x)(10-x)=12x10x1

77

C.(12-x)(10-2x)=12x10D.(12-2x)(10-2x)=12x10x^

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条

件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程.

确定矩形总面积：矩形地面长12m、宽10m,总面积为12xl0m2；分析草坪的长和宽：花卉带宽度为%m,且

在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度(共2%),即12-2%;草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度

(共2%),即10-2为列面积关系方程：草坪面积为(12-2x)(10-2x),且等于总面积的，由此确定方程形式.

【详解】解:根据题意，矩形地面的总面积为12xlOn?,草坪面积为总面积的，即草坪面积为12x10x5m2.

•・•花卉带宽度为％m,且分布在矩形四周，

・•・中间草坪的长应等「原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽%m）,即12-2x;

草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽%m）,即10-2%.

因此，草坪的面积可表示为（12-2x）（1。-2%）,结合面积关系可列方程：

2

（12-2x）（10-2x）=12xl0x-.

J

故选:D.

3.（2025•四川乐山）若方程叱一1一2=0的两个根是%1和必，则必里+小越的值为（）

A.-1B.1C.-2D.2

【答案】C

【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：

■—元二次方程的两个根为打和％2，则/+%2=-芯

【详解】解：•••修和次是方程好一%-2=0的两个根，

•••X1+乃=1，xlx2二一2,

•­x]x2+=X1x2（x1+X2）=—2x1=—2,

故选：C

4.（2025•广东广州）关于x的方程/一%+M+2=0根的情况为（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.无实数根D.只有一个实数根

【答案】C

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式.通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况.

【详解】解：对于方程%2一%+公+2=0,其判别式为：

△=（一1）'-4x1x（/C2+2）=1-4（fc2+2）=1-4/C2-8=-4/C2-7.

由于好工0,则一4k2工0,因此一4k2-7三一7Vo.

故判别式A恒为负数，方程无实数根，

故选：C.

5.（2025•甘肃兰州）若关于x的一元二次方程/+2x+a=0有两个不相等的实数根，则a的值可以是（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】D

【分析】根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于0时，方程有两个不相等的实数根.将方程化为标

准形式后，计算判别式并解不等式即可确定4的取值范围.熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关

键.

【详解】解：对于方程x2+2x+a=0,其判别式为

△=b2-4ac=22-4-l-a=4-4a,

•・•方程有两个不相等的实数根，

:.A>0,

即4-4。>0,

解得Q<1.

故选：D.

6.(2025•辽宁)中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共

六十步，间长多阔几何.”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共6()步，问

它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为X步，根据题意可列方程为()

A.x(60-x)=864B.x(x-60)=864

C.x(60+x)=864D.2[x+(x+60)]=864

【答案】A

【分析】本题考查根据实际问题列一元二次方程，根据题意，设宽为x步，则长为(60-0步，利用矩形面

积公式即可列出方程.

【详解】解：设宽为x步，则长为(60-%)步

由题意，得：x(60-x)=864,

故选：A.

7.(2025・广东)广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势.某公司工业机器

人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元.设该公司6,7两个月产值的月均增长

率为工，可列出的方程为()

A.2500(1+x)2=9100B.2500(1-%)2=9100

C.2500(1-2x)2=9100D.2500(1+2x)2=9100

【答案】A

【分析】本题考杳一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解

题的关键.设该公司6,7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可.

【详解】解：设该公司6,7两个月产值的月均增长率为X,

根据题意，得2500(1+x)2=9100.

故选：A.

8.(2025・北京)若关于x的一元二次方程a/+2%+l=0有两个相等的实数根，则实数。的值为()

A.-4B.-1C.1D.4

【答案】C

【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到A=0,进行求解即可.

【详解】解：由题意，得：A=2?-4a=0,

解得：Q=1;

故选C.

9.(2025•黑龙江)随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某

品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均

每月增长率为x,则可列方程为()

A.8000(1+2x)=1200B.8000(1+x)2=12000

C.8000+8000(1+%)+8000(1+x)2=12000D.8000x2(1+x)=12000

【答案】B

【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用.已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000

辆，需建立平均每月增长率x的方程.根据连续增长模型，每月销量为前一个月的(1+%)倍，故三月份销

量为8000(1+#)2,据此列方程即可.

【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为8000(1+%),三月份销量为二月份的(1+无)倍，即8000(1+%)2.

根据题意，三月份销量为12000辆，可得方程为：8000(1+x)2=12000.

故选B.

10.(2025・广西)已知％卜％2是方程%2-20N-是=0的两个实数根,则％i+%2=()

A.-25B.-20C.20D.25

【答案】C

【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系.利用一元二次方程根与系数的关系解答即可.

【详解】解：是方程d-20%-25=0的两个实数根，

.*.%1+%2=20.

故选：C

11.(2025・甘肃)关于x的一元二次方程3"2-6%+m=0有两个实数根，则〃?的取值范围是()

A.m<3B.m<3C.m>3D.m>3

【答案】B

［分析］本题考查了根据方程根的情况求参，根的判别式，一元二次方程+bx+c=0低工0)的根与A=

扶-4ac有如下关系：当A>0时，方程有两个不相等的实数根：当△=()时，方程有两个相等的实数根；

当AV0时，方程无实数根.根据方程有两个实数根得到ANO,然后解关于m的不等式即可.

【详解】解：对于方程3d-6%+血=0,

其根的判别式为：△=(-6)2-4x3xm=36-12m,

•・•方程有两个实数根，

AA>0,

即36-12mN0,

解得m<3,

故选:B.

12.(2025•河北)若一元二次方程%(%+2)-3=0的两根之和与两根之积分别为m,n,则点(m,n)在平面

直角坐标系中位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的

关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限.

【详解】解：原方程x(x+2)-3-0展开并整理为标准形式：x2+2x-3-0

其中a=l,b=2,c=-3.

・••点(m,n)即(-2,-3)的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限.

故选：C.

13.(2025・湖北)一元二次方程炉一4%+3=0的两个实数根为41，外，下列结论正确的是()

A.Xj+x2=-4B.Xj+x2=3

C.xAx2=4D.xtx2=3

【答案】D

【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的

和与积，结合选项判断正确答案.

【详解】解：对于方程好一4%+3=0,设其根为与和血，

根据根与系数的关系:

..b-4Ac3

.・％1+%2=-----=---------=4,XiX=-=-=3o;

a112ca1

故选:D

14.（2025・河南）一元二次方程/—2x=o的根的情况是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根D.没有实数根

【答案】A

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握A>0,方程有两个不相等的实数根：A=0,方程有两

个相等的实数根；AV0,方程没有实数根是解题关键.根据一元二次方程根的判别式求解即可.

【详解】解：一元二次方程%2-2%=0,

vA=（-2）2-4xlx0=4>0,

•••方程有两个不相等的实数根，

故选：A.

15.（2025・新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个

面积为40m2的矩形场地.设矩形的宽为xm,根据题意可列方程（）

C.2x（24-2x）=40D.2x（24-x）=40

【答案】A

【分析】本题考查的是一元二次方程的应用.根据题意列出方程即可.

【详解】解：设矩形的宽为xm,则矩形的宽为（24—2x）m,

Az（24-2x）=40

故选:A.

16.（2025•新疆）若关于x的一元二次方程X2一2》+。=0无实数根，则实数。的取值范围是（）

A.a<1B.a>1C.a<1D.a>1

【答案】B

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式.根据一元二次方程根的判别式，当判别式△<（）时，方程无

实数根.代入方程系数计算判别式并解不等式即可.

【洋解】解：•・•关于x的一元二次方程好一2%+。=0无实数根，

:=（-2）2—4a=4-4a<0,

解得：a>1.

故选：B.

17.（2025•四川德阳）若关于工佗一元二次方程一2%2+4x+k=0有两个相等的实数根，则左的值是（）

A.2B.0C.-2D.-4

【答案】C

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识是解题的关键.当判别式A二卅一4ac=0

时，方程有两个相等的实数根.代入方程系数计算判别式并解方程即可.

【详解】解：•••方程一2%2+4%+上=0有两个相等的实数根，

:.A=b2-4ac=42-4x（-2）1=16+8%=0,

:・k=-2.

故选：C.

18.（2025・福建）为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5米的篱笆，在两边都足够长的直

角围墙的一角，围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x米，根据题

【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，先用x表示出矩形的另一条边长，利用矩形的面积公式，列

出方程即可.

【洋解】解：设矩形的一边长为x米，则另一边长为（5—幻米，由题意，得：

x（5—x）=6；

故选：C.

19.（2025•江苏扬州）关于一元二次方程x2-3工+1=0的根的情况，下列结论正确的是（）

A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根

C.没有实数根D.无法判断根的啃况

【答案】A

【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，解题的关键在于熟练掌握：当〃-4叫>0时，方程有两个不

相等的实数根；当房-4℃=0时，方程有两个相等的实数根：当b2-4QCV0时，方程没有实数根.

通过计算一元二次方程的判别式△，即可判断方程根的情况.

【详解】解：x2-3x4-1=0,

a=l,b=—3,c=1

・•・△=b2-4ac=（-3）2-4xlxl=9-4=5>0,

・••方程有两个不相等的实数根，

故选：A.

20.（2025・安徽）下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）

A.x2+1=0B.X2-2X+1=0

C.x2+x+1=0D.x2+x-1=0

【答