辽宁盘锦市双台子区2025-2026学年度八年级上学期数学期末质量检测卷（试卷+解析）

双台子区2025-2026学年度第一学期期末质量检测

八年级数学试卷

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（）

2.在攻击人类病毒中某类新型冠状病毒体积较大，直径约为0.000000125米，含约3万个碱基，拥有RNA

病毒中最大的基因组，将0.000000125用科学记数法表示为（）

A.1.25x10-6B.1.25'10-7C.1.25xl06D.1.25xl07

3.下列运算正确是()

A.aa4=a'2B.(-d4)3=a'2C.(2/)3=6/D・42+/="。

4.下.列各式中，从左到右的变形正确的是（）

X+1X-xXXX2

A.-------=—B.----=-----D.

y+iy一yy广J2

5.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心。的光线相交于点P,点

口为焦点.若N2=25。，Z3=60°,则N1的度数为（）

C.135°D.130°

6.下列命题中，是真命题的是（）

A.等腰三角形两腰上的高相等B.到三角形三边距离相等的点是三条高的交点

C.等腰三角形的角平分线、中线和高重合D.有一个角等于60。的三角形是等边三角形

7.如图，已知VA8C,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在A8,AC上,

且这组对应边所对的顶点重合于点M,点M一定在（）

B

A.AC边的高上B.NA的平分线上C.ZB的平分线上D.AB边的中线上

8.某工厂生产人、3两种型号的内地机器人.b型机器人比八型机器人每小时的清扫面积多50%：消扫

lOOm?所用的时间A型机器人比〃型机器人多用40分钟.两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面

积？若设A型扫地机器人每小时清扫xn?,根据题意可列方程为（）

1001002八1002100

A.-------=------+一B.-------1—=------

0.5犬x30.5x3x

10021001001002

C-------F—=-------D.——=------+-

x3\.5xxl.5x3

9.己知△48C（4C<AC）,用尺规作图的方法在8。上确定一点P,使PA+PB=BC,则符合要求的

作图痕迹是（）

1().如图，在VA3C中，ZABC=60°,AB=12,BC=20，点、E在边BC上,且班1=4,的垂

直平分线分别交AC,BC于息M，N,点、P为直线MN上一动点、，点F为边AB上一动点、,当

PE+P尸的值最小时，好的长为（）

C.6D.8

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

11分解因式：xy2-4x=.

2

12.若分式」-有意义，则x的取值范围是____.

1-x

13.如图，AC平分NOC8,CD=CB,0A的延长线交4C于点E,若NE4C=37。，则/皮1E的度

数为.

14.如图，在VA8C中，ZACB=90°,AC=5cm,BC=2cm,CZ)为AB边上的高，点E从点8出

发,在直线3c上以2cm/s的速度移动，过点E作8c的垂线交直线C。于点F,当点E运动：

时，Cb=A6.

15.如图，△4OB和△COD是等腰直角三角形，ZAOB=ZCOD=90°,连接AO、BC.若

。4=2,00=4,则四边形ABCD面枳的最大值为

三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤）

16.计算：

(2丫

(1)

（2）解方程:

3.v—1

⑶先化简，再求值：f/1/1

,其中a—\/16■+1——

a(2

17.已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，VA3C的顶

点均在格点上，点C的坐标为(4,-1).

(1)请以x轴为对称轴，画出与VA3C对称的△A4C；

(2)点尸(a+3,〃-2)与点C关于)，轴对称，求曲的值；

(3)如果要使△A3。与VAAC全等，那么不同于点C的格点。的坐标是.

18.如图，A。是VA8C的角平分线，CE是VA8c的高，ZBAC=52°,ZBCE=30%求NAD8的

度数.

19.已知，如图，八4=4。,3。=。。,。石_1八区于点£。尸_4。于点尸.

(1)求证：ZABD=ZACD：

(2)求证：BE=CF.

20.某政府计划购置如下图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主日益增长的充电

需求，购置充电桩的相关信息如下表.

单枪充电桩双枪充电桩

单枪充电桩双枪充电桩

花费：40000元花费：3000（）元

单价：%元/个单价：1.5x元/个

（I）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单

价；

（2）在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共1。个，己知

单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%,双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了

10%,如果此次加购政府预备支出不超过60000元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量.

21.若一个整数能表示成/+〃（小〃是整数）形式，则称这个数为“完美数”.

例如，5是“完美数”.因为5=2?+12.再如，M=x2+2A>'+2y2=（x+y）2+y2（x,y是整数），所

以亚也是“完美数”.

（1）请说明13是“完美数”；

（2）已知5=犬+4：/+8工―12），+攵（x,），是整数，%是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件

的一个出值，并说明理由；

（3）已知实数x与），的和是“完美数”，且满足一工2+7X+）,-11=0,请求出R+），的最小值.

22.“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式.

图1图2图4

（1）通过观察图1的大正方形的面积,请直接写出此公式;

（2）有两类正方形纸片A，B,其边长分别为〃，bQa>b）,图2是由两张A正方形纸片和两张4正方

形纸片排成的一个正方形，其中两张A型纸片有重叠（图中阴影部分），图3是将A,“纸片并列放置后

构造出来的新的正方形；用含。，〃的代数式分别表示图2中阴影部分的面积和图3中阴影部分的面积

（列出式子并化简）

（3）在（2）的条件下，若图2和图3中阴影部分的面枳分别为4和48,将三个正方形纸片A和两个正

方形纸片4如图4摆放，求阴影部分的面枳.

23.已知VA8C中，ZA=90°,ZACB=30°,射线平分NABC,交AC于点。，动点。从。点

出发以每秒2cm的速度在射线。尸上向右运动，连接CP,以CP为边，在CP的左侧作等边△CPE,连

接。瓦

（1）如图1,当点£在线段8c上时，/BPC=；

（2）当点P运动到如图2位置时，此时点A与点E在直线族异侧，猜想。P、DE>0c三条线段的

数量关系，并说明理由；

（3）若8。=6,在点P运动的过程中，。石所在直线与相交于点M,设点尸的运动时间为/秒，当

S.DECSADMC=12时，请求出।的值.

双台子区2025-2026学年度第一学期期末质量检测

八年级数学试卷

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

注意：所有试题必须在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（）

【答案】A

【解析】

【分析】根据轴对称图形的定义即可进行解答.

【详解】解：根据题意得：

A为轴对称图形，B、C、D不是轴对称图形，

故选：A.

本题主要考查了轴对称图形的定义，解题的关键是掌握：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的

部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形.

2.在攻击人类的病毒中某类新型冠状病毒体积较大，直径约为0.000000125米，含约3万个碱基，拥有RNA

病毒中最大的基因组，将0.000000125用科学记数法表示为（）

A.1.25x10"'B.1.25x107C.1.25X106D.1.25X107

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：axl0”,l＜同〈1（）,〃为整数，进行表示即可.

【详解】解：0.000000125=1.25x107;

故选B.

3.下列运算正确的是()

A.a3a4=a}2B.(-d4)3=«12C.(2.y2)3=6y6D.42="。

【答案】D

【解析】

【分析】根据辕的乘除和积的乘法判断即可.

【详解】A.该选项错误；

B.（"）3=-d,该选项错误；

C.(2/)3=8y6,该选项错误;

D.42="0,该选项正确;

故选D.

本寇考查幕的乘除和积的乘法,关键在「掌握基础运算法则.

4.下列各式中，从左到右的变形正确的是（）

x+\X-XXxyXxX2

A.-------=—B.一=C.-=—D.—=—

y+iyyyyy）广

【答案】c

【解析】

【分析】本题考查了判断分式变形是否正确，分式的性质：分子和分母同时乘以或者除以非0的数或整式,

分式的值不变；根据分式的性质进行逐项分析，即可作答.

【详解】解：A、=W*,故该选项不符合题意;

），I1），

—XXX

B、---=一二---，故该选项不符合题意;

一），y），

C、?=三，故该选项符合题意;

Xr-x

D、-=—^―,故该选项不符合题意;

故选：C

5.如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心。的光线相交于点P,点

产为焦点.若N2=25。，Z3=60°,则N1的度数为（）

C.135°D.130°

【答案】A

【脩析】

【分析】本题考查平行线的性质，三角形外角的性质，对顶角的性质，由对顶角的性质得到NPO/=N2=25。,

由三角形外角的性质即可求出NP尸O的度数,由平行线的性质求出Z1的度数即可.

【详解】解：・・・/2=25。,

・•・ZPOF=Z2=25°,

•・•Z3=60°,

ZPFO=60°-25°=35°,

•・•一束平行于主光轴的光线,

/.Zl=180°-35°=145°,

故选:A.

6.下列命题中，是真命题的是（）

A.等腰三角形两腰上的高相等B.到三角形三边距离相等的点是三条高的交点

C.等腰三角形的角平分线、中线和高重合D.有一个角等于60。的三角形是等边三角形

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查真假命题的判断，涉及等腰三角形的性质、角平分线的性质、等边三角形的判定等知识点,

需根据相关定义和性质逐项分析判断.

【详解】解：A、•・•等腰三角形的面积=gx腰长x腰上的高，且两腰长相等，三角形面积固定.••两腰上的

2

而相等，该命题是真命题，故本选项符合题意.

R、•.•到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，而非三条高的交点.•.该命题是假命题,

故本选项不符合题意.

C、•・•等腰三角形只有顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合，并非所有的角平分线、中线

和高都重合，该命题是假命题，故本选项不符合题意.

D、•・•有一个角等于60。的等腰三角形才是等边三角形，普通三角形有一个角为60。不一定是等边三角形・•・

该命题是假命题，故本选项不符合题意.

故选：A.

7.如图，已知VA8C,两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在A8,AC上,

且这组对应边所对的顶点重合于点M,点M一定在（）

NA的平分线上C.的平分线上D.A8边的中线上

【答案】B

【解析】

【分析】根据角平分线的判定推出M在/B4C的角平分线上，即可得到答案.

【详解】解：如图:

QME1AB,MF1AC,ME=MF，

.•.M在的角平分线上，

故选B.

本题主要考查对角平分线的判定定理的理解和掌握，能熟练地利用角平分线的判定定理进行推理是解此题

的关键.

8.某工厂生产A、4两种型号的三地机器人.4型机器人比A型机器人每小时的清扫面积多50%；清扫

lOOnf所用的时间A型机器人比8型机器人多用40分钟.两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面

积？若设A型扫地机器人每小时清扫MB'根据题意可列方程为()

10010021002100

A.-------=——+—B.-------4一=——

0.5xx30.5x3x

100210010()1002

C.-----+-=-------D.-----=-------+-

x31.5xx1.5x3

【答案】D

【解析】

【分析】根据清扫100m2所用的时间4型机器人比8型机器人多用40分钟列出方程即可.

【详解】解：设A型扫地机器人每小时清扫内产，

一，1001002

由题意可r/得II：——=-----+-

x1.5x3

故选D.

本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系.

9.已知△ABC（ACcBC）,用尺规作图的方法在8c上确定一点P,使PA+PB=BC,则符合要求的

作图痕迹是（）

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了尺规作图一线段的垂直平分线的基本作图，熟练掌握线段的垂直平分线的基本作图是

解寇的关键.根据以+依=8。，结合图形分析可得Q4=PC,只需作线段AC的垂直平分线，分析

选项即可得出结论.

【详解】解：根据题意，PA+PB=BC,

由图可知，PC+PB=BC,

:.PA=PC^

故符合要求的作图是作线段AC的垂直平分线，

由作图痕迹可知，只有B选项符合题意.

故选：B.

10.如图，在VA8C中，ZABC=60°,AB=\2>BC=23点E在边BC上,且8石=4,8c的垂

直平分线分别交AC,BC于息M，N,点P为直线MN上一动点,点F为边AB上一动点,当

PE+P/7的值最小时，AP的长为（）

C.6D.8

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了轴对称的性质、两点之间线段最短、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质、线

段垂直平分线的性质，正确找出PE+相的值最小时，点尸的位置是解题关键.

作点E关于直线MN的对称点G,连接尸GRS,得出相等的线段，根据两点之间线段最短和垂线段最短

确定点F的位置，然后利用线段的和差以及含30度角的直角三角形的性质进行求解即可.

【详解】解：如图，作点E1关于直线MN的对称点G,连接PG,R7,

・•・PE+PF=PG+PF,

由两点之间线段最短可知，当点F,P,G共线时，PG+0夕的值最小，最小值为AG,由垂线段最短

可知，当PG1A8时，AG的值最小，即PE+P9的值最小，

•••MN垂直平分3C,且8C=20,

・•・BN=CN=LBC=M

2

•・•BE=4,

・•・GN=EN=BN—BE=10-4=6,

:.BG=BN+GN=10+6=16,

•・•FG1AB,ZABC=60°,

・•・ZBGF=30°,

・•・BF=—BG=8,

2

VAB=\2,

当尸E+刊7的值最小时，AF的长为43—3少=12—8=4,

故选:B.

二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

11.分解因式：xy2-4x=.

【答案】x(y+2)(y-2)

【解析】

【分析】先提公因式再利用平方差公式分解因式即可.

【详解】解：盯2_4X

=4/-4)

=x(y+2)(y-2)

故答案为:My+2)(〉，—2).

本题考查利用提公因式、平方差公式分解因式等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关

键.

12.若分式工有意义，则x的取值范围是.

\-x

【答案】

【解析】

【分析】本题主要考查了分式有意义条件，熟记分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键.

根据分式的分母不为零列出不等式求解即可.

【详解】解：由题意得：1—X于0,

解得：X。1.

故答案为：

13.如图，AC平分NOC3,CD=CB,D4的延长线交于点七，若ZE4C=37。，则N8AE的度

数为.

D

【答案】106°

【解析】

【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，证明△/W0AAOC得NCAD=NCAB,根据NE4C

求出NCA。即可解答.

【详解】解：•♦•AC平分NOC5,

:"BCA=/DCA,

在VA8c和AADC中，

CB=CD

<N8CA=ADCA,

CA=CA

:.AABC&AADC(SAS),

:"CAD=/CAB,

•••NE4C=37。，

:.NCAB=ZC4£>=180°-37°=143°,

ZBAE=/CAB-ZCAE=143°-37°=106°.

故答案为：106°.

14.如图，在VABC中，ZACB=90°,AC=5cm,BC=2cm,。。为4B边上的高，点E从点8出

发，在直线BC上以2cm/s的速度移动，过点E作3C的垂线交直线CO于点E当点E运动s

【解析】

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关犍.

由题意易得？AC。？A?ACD?DCB90靶ACB=?CEF90?,则有

ZA=ZDCB=ZECF,然后可分当点E在直线CO的上方时，当点E在直线C〃的下方时，进而分类进

行求解即可.

【详解】解：•・•CD八AB,?ACB90痛砂BC,

：.?ACD?4?ACD2DCB90靶ACB=?CEF90?,

:.ZA=/DCB=/ECF,

由题意可分：当点E在直线CO的上方时，

在△AC3与斯中，

ZA=ZECF

,ZACB=ZCEF=90°f

CF=AB

:.AACB%CEF（AAS）,

:、CE=AC=5cm,

BE=BC+CE=2+5=7cm,

7

・••点E的运动时间为7+2=-s：

2

当点E在直线CO的下方时，

同理可得：CE=AC=5cm,

・•.BE=CE-BC=5-2=3（cm）,

3

・••点E的运动时间为3+2=；；s；

2

73

综上所述：当点F运动一s或一s时，有Cb=A5：

22

73

故答案为：不或大.

22

15.如图，“108和△（%>£>是等腰宜角三角形，ZAOB=ZCOD=90°,连接A。、BC.若

04=2,00=4,则四边形ABC。面积的最大值为

D

【答案】18

【解析】

【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是正确作出辅助线；延长

A。到点E,使QE=AO,连接力E,可得△OE*AOBC,进而得出

SABCD=S4八/J。+《DO+^AED，从而得到当DO_LAE时，面积最大•

【详解】解：延长A。到点E,使QE=AO,连接OE,

•••△AQ8和△C。。是等腰直角三角形，ZAOB=ZCOD=9QP,

:.0A=OB.OC=OD.ZBOE=180°-ZAOB=90°.

,:ZLBOE+ZEOC=Z.COD+NEOC,

・•・/BOC=/EOD,

・•・△BOCMAEOD(SAS),

•c_q

••J^BOC_JAEOD'

+

**•^ABCD~SJOB+S&COD+^&AOD^BOC

=S4AOB+St1cOD+^^AED

11

992

=-OA~+-OD+SAEN

•：

OA=2yOD=4,

・♦・当。OJLAE时，最大：!x(2+2)x4=8,

此时S,WO最大为：1X22+1X42+8=18,

故答案为：18.

D

三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步

骤）

16.计算：

(23，3143

(1)一1"尹二冷'1

14

(2)解方程：-------3=---------；

3x-l6x-2

2iQ1(i\/[、

(3)先化简，再求值：y--------ra.其中a=+—I

a-+aka)\2)

【答案】（i）-|x4y3+^x3/；

JJ1J

2

⑵户履

⑶I

a-\」

【解析】

【分析】本题考查了整式的混合运算、解分式方程、分式的化简求值，关键是熟练应用运算方法进行计

算；

（1）先算积的乘方，再算单项式与多项式相乘，最后合并同类顷即可;

（2）把分式方程化为整式方程求解即可：

（3）先将括号内的通分化简后再算除法，然后求出。的值，代入即可.

.1')3->

【详解】⑴解:--Xy+-xy^--xiy

[4')3

143434I4

=——xy+—ry——xy

3“153

243434

=——XV+—XV;

315-

14

（2）解：----3=~-

3x—16.V—2

去分母,得2-3（6%-2）=4,

去括号，得2—18叶6=4,

解得

2

检验，当工=一时，6%一2二0,

9

・♦・原方程的解为x=£；

a~+2cl+1

（3）解:

a+。

41)2.小"

"(a+1)[Q)

〃+1a

--------------------

a(4+1)(〃-1)

1

=----,

<7-1

a=V16+1—=4+1—2=3,

；・当。=3时，原式=­、=：7'=:.

a-13-12

17.已知：方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面立角坐标系后，VA8c的顶

(1)请以x轴为对称轴，画出与VA3C对称的△A4C；

（2）点。（。+3口-2）与点C关于），轴对称，求他的值；

（3）如果要使△480与VA8C全等，那么不同于点C格点。的坐标是_________.

【答案】（1）作图见解析

（2）-7

⑶（2,-1）或（2,-7）或（4,一7）

【解析】

【分析】本题主要考查了轴对称图形的绘制、关于坐标轴对称的点的坐标特征以及全等三角形的性质;

（1）根据关于x轴对称的点的坐标特征来画出对称图形；

（2）利用关于>轴对称的点的坐标关系求出。、〃的值；

（3）依据全等三角形对应边相等的性质找出满足条件的点。的坐标.

【小问1详解】

解：・・•点C的坐标为（4,-1）,

又1•点尸（。+3力-2）与点。关于>轴对称,

•**+3=-4>/?-2=—1,

tz=—7>〃=1,

；・=­7x1=—7；

【小问3详解】

解：要使△A3D与VA8C全等，

则AD=或AO=AC或,

如图，根据格点的特点，找到三个符合条件的点。,

・••使AABO与VA3C全等，那么不同于点C的格点O的坐标是（2,-1）或（2,-7）或（4,一7）,

故答案为:（2,-1）或（2,-7）或（4,一7）.

18.如图，AD是V49C的角平分线，CE是VA6C的高，ZMC=52°,Z^CE=30%求的

度数.

【解析】

【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线和高的性质，熟练掌握相应知识是解题的

关键.

首先根据AO是VA8C的角平分线，求出N8AD的度数，然后根据CE是VA8c的高，求出N8=60。，

最后根据三角形内角和定理即可求解.

【详解】解：•••NB4C=52。，4力是AABa勺角平分线，

・•・ABAD=ZDAC=-ZBAC=26°,

2

・・・CE是VA8C的高，

・•・ZCEB=90°,

•・•/BCE=30。，

・•・ZZ?-90°-30°-60°,

・•.ZADB=180°-(ABAD+ZB)=180°-(26°4-60°)=94°,

答：NADB的度数是94°.

19.已知，如图，AB=AC,BD=CD,DE工AB于点、E,DF_AC于点、F.

(1)求证：ZABD=ZACD；

(2)求证：BE=CF.

【答案】(1)见解析；

(2)见解析.

【解析】

【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及角平分线的性质定理，熟练掌握全等三角形的性质与判

定及角平分线的性质定理是解题的关键.

(1)连接A拉，先证△A3。乌△ACO(SSS),然后根据全等三角形的性质可进行求证：

(2)由(1)可得N8AO=NC4。，进而根据角平分线的性质定理可进行求证.

【小问1详解】

证明：连接AO，如图所示：

在△ABD和dCD中，

AB=AC

<BD=CD,

AD=AD

ACD(SSS),

ZABD=ZACD；

【小问2详解】

证明：由(1)可知：△ABOg/XAC。,

/LBAD=ACAD.

,.DE-LABfDF-LAC.

:.DE=DF，

在Rt△。匹B和RtADFC中，

DB=DC

'DE=DF'

Rt△DEB=.Rt&DFC(HL),

:.BErCF.

20.某政府计划购置如卜.图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足新能源汽车车主口益增长的充电

需求，购置充电桩的相关信息如下表.

单枪充电桩双枪充电桩

单枪充电桩双枪充电桩

花费：40000元花费：30000元

单价：X元/个单价：1.5x元/个

（1）若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单

价；

（2）在（1）的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共10个，已知

单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%,双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了

10%,如果此次加购政府预备支出不超过60000元,求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数最.

【答案】（1）单枪新能源充电板的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个；

（2）政府最少需要购买单枪新能源充电桩6个.

【解析】

【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关

键.

（1）根据表格信息以及本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桃的数量多4个列出分式方程求解即司.；

（2）先分别求出两种充电桩调价后的单价，设再次购进单枪新能源充电桩。个，则购进双枪新能源充电

桩（10-。）个，总花费为「55004+6750（10-〃）］元，再根据此次加购政府预备支出不超过60000元列出

不等式求解并取最小整数解即可解答.

【小问1详解】

根据题意可得竺30000

解:=4,

x1.5A

解得x=5000,

经检验，r=5000是原方程的解，且符合题意,

1.5A:=1.5x5000=7500（元/个），

答：单枪新能源充电桩的价格为5000元/个，双枪新能源充电桩的价格为7500元/个;

【小问2详解】

解：单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了10%,

则现在单枪新能源充电桩的单价为5000X（1+10%）=5500（元/个）,

双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了10%,

则现在双枪新能源充电桩单价为7500x（1—10%）=6750（元/个）,

设再次购进单枪新能源充电桩〃个，则购进双枪新能源充电桩（10—。）个,

总花费为［5500〃+6750（10-a）］元，

•・•此次加购政府预备支出不超过60000元，

・•・5500〃+6750（10-^）<60000,

解得。之6,

•，•6的最小值为6,

答：政府最少需要购买单枪新能源充电桩6个.

21.若一个整数能表示成/+〃（«,8是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.

例如，5是“完美数”.因为5=2?+^.再如，M=x2+2x>'+2y2=（x+.y）2+y2（x,y是整数），所

以M也是“完美数”.

（1）请说明13是“完美数”；

（2）已知S=W+4y2+8x-12y+Z（x,），是整数，后是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件

的一个攵值，并说明理由；

（3）已知实数K与），的和是“完美数”，且满足―Y+7工+），-11=0,请求出上+y的最小值.

【答案】（1）见解析；

（2）%=25,S是完美数，见解析；

（3）x+丁的最小值等于2.

【解析】

【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法是关键.

（1）根据13是“完美数”定义证明即可；

（2）利用完全平方公式，将S配成完美数，可求攵的值，

（3）由一V+7x+），-11=0得到x+），=V-6x+ll,再由完全平方的非负性求解最值.

【小问1详解】

解：:13=22+32,

・・・13是“完美数”；

【小问2详解】

解：攵=25,S是完美数,

理由如下：S=x2+4y2+8x-12y+A

=d+8x+16+(4y2—i2y+9)+A-25

=(X+4)2+(2^-3)2+A:-25,

•・・My是整数，

・・・工+4,2），一3也是整数,

・•・当攵-25=0,即女=25,S是完美数；

【小问3详解】

解：*.*—X2+7x+y—11=0

x+y=x2-6x+11,

二x+y=x2-6x+9+2=(x-3)2+2,

V(X-3)2>(),

A(X-3)2+2>2,

又・.・x+y是“完美数”，且2=1?+是大于等于2的最小“完美数”，

当上+)，=2时.可由(丫一3y+2=2解得丫=3符合题意.

故工+y的最小值等于2

22.“数形结合”是数学上一种重要的数学思想，在整式乘法中，我们常用图形面积来解释一些公式.

（1）通过观察图1的大正方形的面积，可以得到一个乘法公式，请直接写出此公式；

（2）有两类正方形纸片4,B,其边长分别为b（a>b）,图2是由两张A正方形纸片和两张"正方

形纸片排成的一个正方形，其中两张A型纸片有重叠（图中阴影部分），图3是将A，3纸片并列放置后

构造出来的新的正方形：用含。，b的代数式分别表示图2中阴影部分的面积和图3中阴影部分的面积

（列出式子并化简）

（3）在（2）的条件下，若图2和图3中阴影部分的面积分别为4和48,将三个正方形纸片A和两个正

方形纸片“如图4摆放，求阴影剖分的面积.

【答案】（1）（。+32=/+29+/：

（2）图2阴影部分面积为（。一与二图3阴影部分面积为2。力；

（3）图4中的阴影部分的面积是76.

【解析】

【分析】本题考查完全平方公式与图形面积，掌握数形结合的思想，是解题的关键；

（I）根据大正方形的面积等于两个阴影部分的面积加上两个长方形的面积，即可得出结果；

（2）根据图形列出表示面积的代数式即可；

（3）根据（〃一〃『=4,2ab=48,求出〃二"二一2。，然后代入化简后的阴影部分的面积表达式求值

即可.

【小问1详解】

解：・・・（〃+〃）2="+（力+〃〃+/，

/.（a+b）2-cr+2ab4-b2；

【小问2详解】

解：•・•两个正方形A，B,边长分别为。，b,

・•・阴影部分正方形的边长为(。-〃)，

・••图2阴影部分面积为：(〃一32；

图3阴影部分面积为：-(/+/?2)=cr+2ah+b2-a2-b2=lab.

答：图2阴影部分面积为图3阴影部分面积为26活.

【小问3详解】

解：根据题意得：

一=4>a>b,

a-b=2,

由题意可知：2"=48,

4ab=96,

V(a+b)2=(«-Z?)2+4ub,

/.(6/+Z?)2=4+96=100,

*.*<74-Z?>0>

/.“+〃=10,

：.(a+b)(a-b)=a2-b2=\0x2=20,

Ab2-a2=-20

・•.图4阴影部分面积为：

(2/7+a)2-3〃2-2R

=4b2^-4ab+a2-3b2-2a2

=b2+4ab-a2

--20+96

=76.

答：图4中的阴影部分的面积是76.

23.已知VABC中，ZA=90°,ZACB=30°,射线A/平分NA8C,交AC于点Q,动点。从。点

出发以每秒2cm的速度在射线。尸上向右运动，连接CP,以CP为边,在CP的左侧作等边连

接DE.

（1）如图1,当点E在线段8。上时，ZBPC=；

（2）当点尸运动到如图2位置时，此时点A与点E在直线异侧，猜想。尸、DE、0c三条线段的

数最关系，并说明理由；

⑶若BD=6,在点户运动的过程中，OE所在直线与3c相交于点设点。的运动时间为，秒，当

S.DEC5/wc=l2时，请求出，的值•

【答案】（1）90°

（2）OC=OP+OE,见解析

915

（3），的值为一或一

44

【解析】

【分析1（1）根据三角形内附和定理得出NA3c=60。，根据角平分线的定义得出NPBC=30。，根据等

边三角形的性质得出/BCP=60），最后利用三角形内角和定理求解即可；

（2）在射线。尸上截取。〃=DC,连接C”,判定△"DC是等边三角形，然后得出相等的边和角，证

明ACED^ACPH,得出相等的边，然后利用线段的和差以及等量代换即可得出结论：

（3）分两种情况进行讨论，当点A