二次根式及运算（9大题型）原卷版-八年级数学上学期北师大版

专题05二次根式及运算

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题型1判断是否为二次根式（常考点）题型6二次根式的混合运算（常考点）

题型2判断是否为最简二次根式题型7二次根式中的新定义型问题（重点）

即型3判断是否为同类二次根式题型8二次根式中的分母有理化（重点）

题型4利用同类二次根式求参数题型9二次根式中的规律探究问题（难点）

题型5利用二次根式的性质化简（难点）

［题型通关•靶向提分1

题型一判断是否为二次根式（共5小题）

1.（24-25八年级下•云南昆明•期中）下列各式是二次根式的是（）

A.CB.75C.yjl.—71D.衿

2.（24-25八年级下•福建厦门•期中）下列各式中是二次根式的是（）

A.J5B.盛C.石D.7^7

3.（24-25八年级下•甘肃定西•阶段练习）下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.B.6c.QD.77

4.（23-24八年级下•山东泰安•期中）下列各式中，属于二次根式的是（）

A.-B.2x+lC.6D.^6

X

5.（24-25八年级上・甘肃张掖•期末）下列式子一定是二次根式的是（）

A.4xB.Jx+2C.&-2D.叵

题型二判断是否为最简二次根式（共5小题）

6.（24-25八年级下•福建福州•期中）下列式子中，为最简二次根式的是（）

A.AB.&C.7（）3D.y/8

7.（24-25八年级下•广西百色•期中）下列根式是最简二次根式的是（）

A.V02B.</2C.GD.y/4

8.（24-25八年级上•江苏苏州•期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

I

A.y/20B.yj2\C.D-正

9.（24-25八年级下•广西南宁•期中）下列式子中是最简二次根式的是（）

A.725B.x/6C.J|D.VL4

10.（24-25八年级下•福建福州•期中）下列根式是最简二次根式的是（）

A.y/sB.&C.D.yf\2

题型三判断是否为同类二次根式（共5小题）

11.（24-25九年级上•甘肃天水•期中）下列与2G是同类二次根式的是（）

A.2匕B.3及C.V24D.775

12.（24-25八年级下•安徽阜阳•期中）下列二次根式中，能与后合并的是（）

A.3>/2B.C.>/?8D.V24

13.（24-25八年级下•湖北武汉•期中）下列各式中，与否是同类二次根式的是（）

A.V10B.>/20C.>/30D.x/40

14.（24-25九年级下•重庆忠县•期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的为（）

A.百和弧B.八和岳C.也和RD.7^可和/凉

15.（24-25八年级下•浙江绍兴•期中）二次根式：①〃；②际；③J/：④炳中，与正是同类二次

根式的是（）

A.①和②B.①和③C.②和④D.③和④

题型四利用同类二次根式求参数（共5小题）

16.（24-25八年级下•吉林・期中）若4应与最简二次根式36五可以合并，则〃=.

17.（24-25八年级下•天津南开•期末）已知最简二次根式岳币与二次根式血可以合并，见x的值

为.

18.（24-25八年级下•安徽合肥・期中）若最简二次根式而与而是同类二次根式，则〃u—.

19.（24-25八年级下•浙江杭州•期中）已知最简二次根式《匚石与炳可以合并，则。的值为.

20.（24-25八年级下•宁夏石嘴山•期中）已知最简二次根式75^与弓可以合并，则〃的值

4

为_________

题型五利用二次根式的性质化简（共5小题）

21.（24-25九年级上•海南海口•期中）当xvO时，化简：国+&-2大+1=

22.（24-25八年级下•四川绵阳•期中）化简：疡而衰e>0,c>0）=.

23.（24-25八年级下•湖北武汉•期中）已知。+人=-11,ab=5,则嗜+^=

三、解答题

24.（24-25八年级上•四川巴中•期中）实数〃，力，c•在数轴上的对应点的位置如下图所示.

[111人

cb0a

⑴用或“="填空：b0,a-c0,a+b0；

（2）化简：|«+c|+/（b-a），+y[c7.

25.（24-25八年级上•福建漳州•期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写

成另一个式子的平方，如3+2&=（1+拒尸，善于思考的小明进行了以下探索：

a+by/2=（m+H>/2）2=m2+2n2+2mn\l2（其中〃、〃、〃？、〃均为整数），

则有a=〃/+2],b=2mn.这样小明就找到了一-种把类似〃+方拒的式子化为平方式的方法，请你仿照小

明的方法探索并解决下列问题：

（1）若。+=（加+人石了，当。、〃均为整数时，用含相、〃的式子分别表示“、b,得：4=

,b=；

⑵若〃+66=（〃?+〃6）2,且。〃均为正整数，求〃的值；

（3）化简：75-717+2V7+V5+717+2V7•

题型六二次根式的混合运算（共5小题）

26.（24-25八年级上•甘肃兰州•期中）化简求值:

(l)V27xV3-4

(2)26+厉一J

⑶(6-币)(石+6)+2

/八加+&Q

(4)——7=----3

72

27.(24-25八年级上•江苏苏州•期中)计算:

(1)727-712+73;

⑵拉(瓜-G)+回+百.

28.(24-25八年级下•湖北十堰•期中)计算:

(1)，48-3>/6+^2+6^^；

Q)忠-近尸+(石+2)(#-2).

29.（25-26八年级上•全国•期中）计算:

(l)i：V32+V2)x

⑵书叵+3；

⑶[3+2&)(2&-3)；

30.（23-24八年级上•宁夏银川・期中）计算:

⑴5

(2)46+历-次+4友；

⑶5A-6候+4同b5

5__________4_________2

(4)4-Vn-VH-V7-3+V7'

题型七二次根式中的新定义型问题（共5小题）

31.（24-25八年级下•青海海东•期中）定义新运算：对于任意实数。、b,者|5有。㊉人=。（。一4+1,例如

2e5=2x（2-5）+l=-5.

(1)求(⑺+3)㊉(夕+1)的值;

⑵求(G-1)㊉㊉1)的值.

32.(24-25八年级下•江西赣州•期中)对于实数小〃定义一种新运算“。”，规定aOb=.2—岳，

如3O2=32-&X2=9-2&.

(1)201=,(-x/6)OV2=；

(2)若JIUOx=8,求x的值.

33.(24-25九年级上•福建漳州•期中)我们定义新运算：〃冲=&+/_2,例如：

l*2=Vl2+22-2=>/3-

⑴计算：1*(-3)=；

(2)若a为实数,试化简(a-2)*(1*6).

34.(24-25八年级下•浙江杭州•期中)定义：若两个二次根式“，〃满足a-b=c,且。是有理数，则称。

与6是关于c的共扼二次根式.

⑴若3拒与上是关于c的共枕二次根式，则。=；

(2)若。与百-6是关于4的共扰二次根式，求〃的值；

(3)若3+G与6+6〃是关于12的共扼二次根式，求机的值.

35.(24-25八年级下.福建福州•期中)定义：我们将(K+振)与(瓜-血)称为一对“对偶式”.

因为(G邳右_如=阿-耐="b,所以构造“对偶式”，再将其相乘可以有效的将(石+〃)

和(6-甸中的“「法掠，于是我们学习过的二次根式除法可以这样计算：如

2+>/2

=3+2应.像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根

2-V2(2-0)(2十司

号中的分母化去，叫做分母有理亿.

根据以上材料，理解定义并运用材料提供的方法，解答以下问题:

⑴请直接写出近+血的对偶式_____:

(2)已知〃?=+'〃=+'求/器的值,

题型八二次根式中的分母有理化（共5小题）

36.（24-25八年级上•甘肃兰州•期中）我们知道，（血了=2,（3+&）（3-应）=3?-（贬f=7,L,如果两

个含有二次根式的非零代数式相乘，它们的积不含有二次根式，就说这两个非零代数式互为有理化因

式.如3+夜与3-夜互为有理化因式，石+&与石-4互为有理化因式.利用这种方法，可以将分

母中含有二次根式的代数式化为分母是有理数的代数式，这个过程称为分母有理化.例如:

1_42_>/21_6+2_肉2_6+2_n

V2->/2X>/2"（73-2）（734-2）~（V3）2-22--1一

⑴京分母有理化的结果是十二方分母有理化的结果是-.

⑵利用以上知识计算：出+入+入+…+晟痢.

37.（24-25八年级上•江苏苏州•期中）阅读下列材料，然后回答问题：

在进行二次根式化简时，形如美、7占这样的式子可以进一步化简：

1_1x72_V222叩）2回1）二

~42~42X42~~2'6+1-（6尸_1-；

以上化简过程称为分母有理化，其中垃与垃，百+1与0-1互为有理化因式.

（1）"的有理化因式是」行+夜的有理化因式是「

⑵化简：哥百

（3）化简：f+1.

V5-1

38.（24-25八年级下•北京•期中）在解决问题“已知。=4后，求+1的值”时，小蓝是这样分析

与解答的:

12-6

=2-5

・"二耳=（2+同（2叫

二.a-2=—\/3,

二（"-2）2=3,a2—4^+4=3»

cf-4«=-1»

/.2t/2-8«+l=2（«2-46/）+1=2x（-1）+1=-1.

请你根据小蓝的分析解答过程，解决如下问题：

2

⑴化简：口7=-----；

（2）若"=-~~,求+6〃一4的值.

39.（24-25八年级下•广东惠州•期中）阅读下列材料，并回答问题

1五-1&-1二61

727i-（V24-i）（V2-i）"（V2）2-i-；

]_______g-近_______Fi_rj

G+&=（百+⑹（痒0）二网2一（可=":

1_\[i-y/3__rrn

2T可"r；

⑴填空:号^=-----------:

（2）观察上述算式，请写出算式~『（〃是正整数）的结果；

x/n+1+\Jn

⑶试比较Jil-JFT与JFT-Ji6的大小；

（4）计算：念y+七石+寻百+…+而方力笳（提示：452=2025）.

40.（23-24八年级下•山东潍坊•期中）【阅读材料】

黑白双雄.纵横江湖：双剑合璧，天卜.无敌.这是武侠小说中的常见描述，其意是指两个人合在一起，取

长补短，威力无比.在二次根式中也有这种相辅相成的“好搭档”，如（石+3）（逐-3）=-4,

+=它们的乘积不含有二次根式，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个

是另一个的有理化因式.

于是，二次根式除法可以这样解：如二=-毕Q=W，主申=出黑上空=7+46.像这

66x632-V3（2-石）（2+6）

样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫分母有理化.

【解决问题】

（1）将下列式子分母有理化：1,=______.

]

（2）比较大小：R（用“或“=填空）；

\/5—

【能力提升】

(3)已知有理数m,n满足旧+3+/~=5，则=；

2222

⑷।：3+45++3亚+1亚+5万"•’+99屈闪回

题型九二次根式中的规律探究问题（共5小题）

41.（23-24八年级下•湖南长沙•期中）先来看一个有趣的现象：居=g=百2=26,这里根号里

的因数2经过适当的演变，2竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的

数还有许多,如:旧=3号忌=4后等等.

⑴请你写•个有“穿墙”现象的数，并验证；

⑵你能只用一个正整数〃（〃22）来表示含有上述规律的等式吗？证明你找到的规律；

⑶按此规律，若51=忐（a.b为正整数），则.+〃的俏为.

42.（24-25八年级下•广东东莞•期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题：

（V2+1）（V2-1）=1,

加夜）曲甸=1,

-6）=1,

（石+"）（石-4）=1

（1）观察以上规律，请写出第5个等式：