因式分解课件2025-2026学年北大师版八年级数学下册

4.1因式分解第四章

因式分解大单元结构因式分解注意事项方法概念平方差公式公式法提公因式法完全平方公式几个整式的乘积多项式整式的乘法单项式✖单项式单项式✖多项式多项式✖多项式乘法公式平方差公式完全平方公式1.经历从因数分解到因式分解的类比过程，感受类比的方法；2.经历用几何图形解释因式分解的意义的过程，发展几何直观；3.了解因式分解的意义，初步体会因式分解与整式乘法的联系；4.感受因式分解在解决相关问题中的作用.36可以被哪些整数整除？993-99能被100整除吗？你是怎样想的呢？解决这个问题，需要对36进行分解质因数

思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？(993-99)÷100=(970299-99)÷100=970200÷100=9702小亮的方法所以993-99能被100整除993-99=99×992-99×1=99×(992-1)=99×(99-1)(99+1)=98×99×100小明的方法所以993-99能被100整除你喜欢谁的方法呢？993-99能被100整除吗？你是怎样想的呢？能被100整除吗?

98×99×100还能被哪些正整数整除？小明的方法的基本思想.993-99几个数的积的形式还能被98、99整除又98=1×98=2×49=7×14，所以993-99还能被1、2、7、14、49整除.又99=1×99=3×33=9×11，所以993-99还能被3、9、11、33整除.变形小明的方法的基本思想.98×99×100993-99几个数的积的形式变形a3-a几个整式的积的形式变形类比上式想一想a3-a=a×a2-a×1=a×(a2-1)=a×(a-1)(a+1)=(a-1)×a×(a+1)类比数字的算法993-99=99×992-99×1=99×(992-1)=99×(99-1)(99+1)=98×99×100小明的方法所以993-99能被100整除观察下面的拼图过程，写出相应的关系式.

_____________=__________ma+mb+mcm(a+b+c)____________=__________x2+2x+1(x+1)²等号两边的代数式有何不同？把一个多项式化成几个整式乘积的形式,这种变形叫做因式分解.也可称为分解因式.(其中，每个整式都叫做这个多项式的因式.)

a3-a=a(a+1)(a-1)

注意：①分解的对象必须是多项式②因式分解的结果：积的形式

③结果中的每一个因式都必须是整式④必须分解到每个因式都不能再分解为止

t2-16+3t=(t+4)(t-4)+3t多项式am+bm+cm=m(a+b+c)整式乘积多项式整式乘积归纳整式乘法因式分解两种变形互为逆运算变形过程.根据左面的算式进行因式分解：(1)3x2-3x=________，(2)ma+mb-m=_________，(3)m2-16=

，(4)y2-6y+9=________.

计算下列各式：(1)3x(x-1)=

，(2)m(a+b-1)=

，(3)(m+4)(m-4)=

，(4)(y-3)2=

.3x2-3xma+mb-mm2-16y2-6y+93x(x-1)m(a+b-1)(m+4)(m-4)(y-3)21.下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？(1)(a+3)(a-3)=a2-9；(2)m2-4=(m+2)(m-2)；(3)a2-b2+1=(a+b)(a-b)+1；(4)2mR+2mr=2m(R+r).从左到右不是因式分解，是整式乘法不是因式分解，因为最后结果不是几个整式的积的形式2.连一连x2-y2

(x+3)29-25x2

y(x-y)x2+6x+9(3+5x)(3-5x)xy-y2(x+y)(x-y)3．下列等式：①(3a－1)(3a＋1)＝9a2－1；②9a2－1＝(3a－1)(3a＋1)，由左边到右边的变形，其中__________是整式乘法，__________是因式分解．(填“①”或“②”)①②4．下列多项式中，可因式分解成(x＋2)2的是(

)A．x2＋2 B．x2＋4C．x2＋4x＋2 D．x2＋4x＋4D5．(2025深圳期末)如图，将图1沿虚线剪开后，可以拼成如图2所示的长方形，据此写出的多项式的因式分解为(

)A．x2－y2＝(x＋y)(x－y)B．x2＋y2＝(x＋y)(x－y)C．(x＋y)(x－y)＝x2－y2

D．(x＋y)(x－y)＝x2＋y2A6.若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a(x

2)(x+3)，求a，b的值.解： ∵x2+ax+b=a(x-2)(x+3)=ax2+ax-6a.∴a=1，b=-6a.∴a=1，b=-6.因式分解定义与整式乘法运算的关系把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解，也可称为分解因式