《数学广角：重叠问题》教案表格式 2025-2026学年人教版小学数学三年级下册

《数学广角：重叠问题》教学设计学科数学年级三年级课型新授课单元综合实践课题《数学广角：重叠问题》课时一课时课标要求《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“数与代数”领域对第二学段（3-4年级）的要求：经历解决重叠问题的过程，初步体会集合思想，能借助直观图（韦恩图）表示重叠关系。能运用“总数=两部分和-重叠部分”的思路解决简单的重叠问题，发展逻辑推理与问题解决能力。感受集合思想在生活中的广泛应用，体会数学与生活的联系，培养创新意识与应用意识。教材分析内容定位：以“科技节比赛获奖名单”为素材，引导学生发现“有人同时获得两项比赛奖项”的重叠现象，通过画图（韦恩图）直观表示重叠关系，探究解决重叠问题的计算方法，为后续学习集合知识奠定基础。编排结构：情境冲突：呈现两个班级的获奖名单，发现直接相加会重复计算，引发认知冲突。直观建模：引导学生用连线、韦恩图等方式表示重叠部分，理解“重叠人数”的含义。方法探究：归纳出解决重叠问题的公式：总人数=参加A项人数+参加B项人数-重叠人数。拓展应用：通过图形重叠、数字范围重叠、成语重叠等变式练习，深化对集合思想的理解。反思评价：通过“自我评价”梳理学习表现，培养自我反思意识。育人价值：在解决重叠问题的过程中，渗透集合思想，培养逻辑推理、直观建模与问题解决能力，感受数学的简洁美与实用性。学情分析知识基础：学生已掌握简单的加减法计算，有初步的分类与统计经验，但对“重叠”“集合”等概念陌生，缺乏用直观图表示数量关系的经验。能力特点：三年级学生以直观形象思维为主，能发现“重复计数”的问题，但在“如何用图表示重叠关系”“如何列式计算总人数”等环节需要引导；容易忽略重叠部分，直接将两部分相加，需要通过直观图强化认知。学习风格：对“比赛获奖、图形重叠”等趣味情境兴趣浓厚，喜欢动手画图、合作探究的学习方式，适合在“看一看、画一画、算一算、说一说”的活动中建构集合思想。核心素养目标1.经历“发现重叠→直观建模→归纳方法→解决问题”的过程，发展逻辑推理与归纳能力。2.能借助韦恩图等直观模型表示重叠关系，直观理解集合思想，发展空间观念。3.能运用集合思想解决生活中的重叠问题（如比赛获奖、兴趣班报名、图形重叠等），感受数学的实用性。4.创新意识：尝试用不同的直观图表示重叠关系，培养创新表达与问题解决能力。教学重点理解重叠问题的含义，能借助韦恩图表重点项:示重叠关系，掌握解决重叠问题的基本方法。教学难点掌握解决重叠问题的基本方法：总数量=两部分数量之和-重叠数量。教学准备多媒体课件教学过程教学环节教师活动学生活动设计意图一、引新创设情境，引入课题师：同学们，今天老师带来一个特别有意思的脑筋急转弯，想不想挑战一下？出示题目：两位妈妈和两个女儿一同去看电影，每人都要买一张票，可是她们只买了3张票，就顺利地进了电影院，这是为什么呢？师巡视倾听，然后提问：谁来说说你是怎么想？师：大家都发现了“2+2=4”和“3张票”的矛盾，那有没有人发现，这里面有一个人身份很特殊呀？师：太聪明了！你看，妈妈这个角色被重复算了一次，她既属于“妈妈”的集合，又属于“女儿”的集合，所以总人数才会变少。像这种有部分元素同时属于两个集合、被重复计算的问题，就是我们今天要研究的——重叠问题。板书课题：重叠问题学生：想。学生独立思考，随后同桌交流。学生1：是不是有一个人没买票？不行，题目说每人都得买一张票。学生2：难道有一个人是小孩不用买票？也不对，题目没说免票规则。学生：我知道！是外婆、妈妈、女儿三个人！妈妈既是外婆的女儿，又是女儿的妈妈！本环节以贴近生活的趣味脑筋急转弯为导入素材，能快速激发学生的参与兴趣与探究好奇心。这种导入方式将抽象的“重叠”概念转化为学生易懂的生活情境，为后续学习重叠问题的解决方法（如韦恩图）搭建了生活化的认知桥梁，自然引出课题，明确本节课的学习方向。二、探究合作探究，活动领悟探究1：尝试师：科技节刚结束，咱们年级的航空模型和机器人比赛获奖名单出来了，我们一起来看看三（1）班和三（2）班的情况。课件出示：下面是某校科技节中三（1）班、三（2）班航空模型比赛、机器人比赛获奖学生名单。三（1）班航空模型比赛获奖的有（）人，机器人比赛获奖的有（）人，三（1）班航空模型比赛、机器人比赛获奖的共有（）人。三（2）班航空模型比赛获奖的有（）人，机器人比赛获奖的有（）人，三（2）班航空模型比赛、机器人比赛获奖的共有（）人。课件出示：说一说你想怎样解决这个的问题？师：先请大家仔细数一数，三（1）班在两个比赛中分别获奖的有多少人？师：那三（2）班的情况，谁来数一数？师：三（1）班两项比赛获奖的一共有多少人？能直接用6+6计算吗？师：说得很清楚！那三（2）班两项比赛获奖的一共有多少人？也能直接用6+6计算吗？学生：航空模型比赛获奖的有6人，机器人比赛获奖的有6人。学生：三（2）班也是航空模型6人、机器人6人获奖。学生：可以！因为我仔细看了名单，三（1）班没有同学同时参加两项比赛，所以直接相加就行，6+6=12（人）。学生：不行！我发现罗阳和杨明两个比赛都获奖了，直接相加会把他们算重复！本环节通过对比三（1）班（无重叠）和三（2）班（有重叠）的科技节获奖名单，让学生自主统计人数并思考“能否直接用相加法计算总人数”，借助两个班级的结果差异引发认知冲突，让学生直观感知“存在重复元素时不能直接相加”，为后续探究重叠问题的解决方法搭建认知起点，同时帮助学生初步识别重叠问题的产生场景。探究2：探究师：我们先把三（2）班的获奖名单读一遍。课件出示：师：请大家小组讨论，怎样才能清楚地表示三（2）班获奖学生的情况呢？画图试一试。师巡视指导，然后提问：哪个小组愿意分享你们的方法？展示：师：大家还有不同的方法吗？展示：师：能介绍一下吗？师：上图重叠的部分表示什么意思呢？师：大家的方法都很有想法！像这样用两个圈来表示的图，我们叫它韦恩图，它能帮我们一眼看清重复的部分。课件出示：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为韦恩图（也叫文氏图），是由英国数学家约翰·维恩发明创造的，韦恩图常用来研究表示数学中的“集合问题”，也叫集合图。师：我们一起把名字贴到韦恩图里吧！课件出示：师：先找只参加航空模型比赛的人，他们不在机器人名单里，应该贴在哪里？师：再找只参加机器人比赛的人，他们不在航空模型名单里，贴在哪里？师：那杨明和罗阳呢？他们两个比赛都参加了，应该贴在哪里？师指着重叠部分，问：谁能说说这部分表示什么意思？师：现在我们能算出三（2）班获奖总人数了吗？请大家先独立列式，再和小组同学说说你是怎么想的。师巡视，收集不同算法。师：谁来分享你的算式？师：为什么要减2？师：还可以怎么列式？师：大家的方法都对！当有重复的时候，我们一般用“两部分的和－重复的部分=总数”来计算。学生齐读：航空模型比赛：杨明、王爱华、罗阳、陈东、马超、丁旭；机器人比赛：罗阳、于力、周晓、杨明、朱小东、陶伟。学生分组活动。学生：我们把两个比赛都获奖的人用线连起来，杨明和罗阳连了线，他们是重复的。学生：我画两个圈。学生独自观察，然后回答：左边圈航空模型，右边圈机器人。学生：中间重叠的地方放表示两个比赛都获奖的人。学生了解韦恩图。学生：贴在左边圈里，不重叠的地方：王爱华、陈东、马超、丁旭。学生：贴在右边圈里，不重叠的地方：于力、周晓、朱小东、陶伟。学生：贴在两个圈重叠的地方！学生：表示既参加航空模型比赛，又参加机器人比赛的人，也就是两项都获奖的同学。学生独立计算。学生：6+6-2=10（人）。学生：因为杨明和罗阳被算了两次，要减去重复的2个人。学生1：我是4+4+2=10（人），只有航空模型获奖的4人，只有机器人获奖的4人，两项都获奖的2人，加起来就是总人数。学生2：我先数航空模型获奖的6人，再加上只有机器人获奖的4人，6+4=10（人）。本环节引导学生通过画图自主表示三（2）班的获奖情况，在分享不同画图方法的过程中引出韦恩图，通过“贴名字”的操作让学生直观理解韦恩图各部分的含义（只参加单一项的、两项都参加的重叠部分）。通过列式计算总结出重叠问题的核心计算逻辑，让学生从具象的名单梳理过渡到抽象的集合图认知，培养学生的动手操作能力和抽象概括能力，同时让学生掌握重叠问题的解题方法。探究3：反思师：今天我们解决了三（2）班的获奖问题，谁能说说：为什么三（2）班获奖总人数不能直接相加？师：总结得非常到位！当两个集合有重叠元素时，直接相加会重复计算，必须减去重叠的部分。像这样的情况，在我们身边还有哪些？师：大家说得真好！生活中很多地方都有这样的重叠问题，我们都可以用今天学的集合思想来解决。学生：因为三（2）班有2位同学同时获奖，直接相加就重复了，所以要减去重复的部分。学生1：计算参加兴趣班人数时，有人同时参加美术兴趣班和舞蹈兴班。学生2：参加运动会，有人既参加跑步又参加跳远。学生3：班级同学，有人既会唱歌又会跳舞。……本环节通过引导学生反思“三（2）班不能直接相加的原因”，总结出重叠问题的本质——存在同时属于两个集合的重复元素，再让学生联系生活中的重叠实例，将数学知识与生活实际结合，深化对重叠问题的理解，让学生体会到数学知识的实用性，培养学生的知识迁移能力和应用意识。三、变式师生互动，变式深化探究4：挑战自我师：同学们，刚刚我们已经解决了简单的重叠问题，接下来，我们就一起来解决一些有趣的挑战题，在解决问题的过程中巩固知识、提升能力。课件出示：1.两个长8厘米、宽3厘米的长方形按下图的样子重叠在一起，这个图形的面积是多少？师：请大家仔细观察这个图形，它是由两个长8厘米、宽3厘米的长方形重叠而成的。你能发现重叠部分的形状和大小吗？师：我们可以怎么计算这个图形的面积呢？师：非常好！在练习本上列出算式，并算一算。​展示：8×3×2-3×3=48-9=39（平方厘米）课件出示：2.在下面的圈中填上所有适合的整数。​（1）两个圈里都出现的数有多少个？请你用画图的方法表示出来。（2）请提出其他数学问题并解答。师：请大家按要求填数。师：两个圈里都出现的数有哪些？请你用集合圈画出来。师巡视指导，展示学生作品：师揭示：两个范围的重叠部分就是同时满足两个条件的数。师：请提出其他数学问题并解答。课件出示：3.三个小朋友比赛，看谁写出带“春”字的成语多。小亮写出了15个，小丽写出了8个，小红写出了10个。小丽写出的8个成语小亮都写出来了，小红写出的成语中有5个小亮也写出来了。（1）小亮和小丽一共写出了多少个成语？（2）小亮和小红一共写出了多少个成语？师：读题后想一想，“小丽写出的8个成语小亮都写出来了”是什么意思？“小红写出的成语中有5个小亮也写出来了”呢？师：请大家用两个圆圈表示小亮和小丽的成语数量。展示：师：要求小亮和小丽一共写出了多少个成语，怎样列式？师：看来当两个集合完全包含时，总数就是较大集合的数量。现在你能画图表示小亮和小红的成语数量，重叠部分是5个。展示：结合圈15+10-5=20（个）师总结：两个集合的总数=各自数量之和－重叠部分数量。学生观察后汇报：重叠部分是一个边长为3厘米的正方形。学生独自思考，然后回答：先算两个长方形的总面积，再减去重叠部分的面积。学生独自列式计算，然后展示反馈。学生独立在圈中填写整数，然后展示反馈。学生尝试画图。学生独自完成，然后集体反馈：两个圈里一共有多少个不同的整数？19+19-9=29（个）。……学生交流后明确：小丽和小亮的成语完全重叠，小红和小亮有部分重叠。学生尝试画图，然后展示反馈：我发现小丽的圈完全在小亮的圈里。学生：15+8-8=15（个）。学生尝试画图，然后展示反馈。本环节通过三类不同场景的重叠问题（图形面积重叠、数的范围重叠、集合包含关系），拓展学生的思维边界，让学生掌握不同类型重叠问题的解决方法，巩固“总数=各部分数量之和-重叠部分数量”的核心公式，同时培养学生的审题能力、分析能力和知识灵活运用能力，让学生感受到重叠问题在不同领域的应用价值。四、尝试尝试练习，巩固提高1.把下面动物的序号填写在合适的圈里。2.全班一共有多少人？3.小明喜欢看的动画片有12部，小红喜欢看的有9部，其中3部是两人都喜欢的，他们一共喜欢多少部不同的4.两个同学各写了20个词语，其中有5个词语两人都写了，他们一共写了多少个不同的词语？学生独自完成，然后集体订正。引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。五、提升适时小结，兴趣延伸师：回顾这节课你学到了什么？师：同学们，今天我们一起解锁了有趣的重叠问题。希望大家课后做个生活中的“数学小侦探”，去找找身边藏着的重叠问题，试着用今天学到的方法解决它。老师相信，只要你们多观察、多思考，一定能更熟练地掌握重叠问题的知识，发现更多数学里的有趣奥秘，期待下次课堂上你们分享更多精彩的生活发现！学生1：我会用连线和画图解决重叠问题了。学生2：我学会了用“两部分的和－重复的部分=总数”来解决重叠问题。引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。板书设计数学广角：重叠问题6+6-2=10（人）两部分的和－重复的部分=总数利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。