新疆乌鲁木齐市2025届高三数学第三次质量监测试题【含答案】

（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1．本试卷分为问卷和答卷，答案务必书写在答卷（或答题卡）的指定位置上．2．答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚．第I卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.已知抛物线，则的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据抛物线方程计算可得.【详解】抛物线的焦点坐标为.故选：A2.已知，则p是q的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即得解【详解】由题意，推不出，故充分性不成立；但可以推出，故必要性成立故p是q的必要不充分条件故选：B3.已知复数满足，则的取值范围是（）A. B. C.（1，3） D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的模的几何意义作图，数形结合即可求得的取值范围.【详解】由可理解为复数表示的点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，而则可理解为圆上的点到原点的距离，作出图形如下.如图，当点在时，与原点距离最大为3，当点当点在时，与原点距离最小为1，故的取值范围是.故选：D.4.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式求得集合，可求得，解不等式，求得集合，进而求得.【详解】由，得，解得，所以，所以，由，可得，所以，所以.故选：A.5.已知是等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用数列的性质得到，进而求出公差，即可求解.【详解】因为，则，所以，又，所以数列的公差为，所以，则，故选：B.6.溶液酸碱度是通过计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度（单位：）．某强酸溶液加水稀释后值增加2，则稀释后溶液中氢离子的浓度与稀释前溶液中氢离子的浓度比值为（）A.2 B. C.100 D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，列出方程，利用对数的运算性质和指对数的互化计算即得.【详解】设稀释前溶液的值为，氢离子的浓度为，加水稀释后值为，氢离子的浓度为.则，两式相减，可得，化简得，解得.故选：D.7.函数的部分图象如图所示，，，则（）A. B.1 C. D.【答案】C【解析】【分析】记与轴的交点为，连接，设，则，在中，利用余弦定理可求得，进而在中，求得，进而利用周期可求.【详解】记与轴的交点为，连接，由题意可得在函数的图象上，且为一个对称中心，设，则，又，，在中，由余弦定理可得，即，整理得，解得，在中，由余弦定理可得，所以，所以，所以函数的最小正周期为，所以，所以.故选：C.8.已知椭圆，直线，若，都存在椭圆上两点，关于对称，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用点和点关于直线对称得出和，再利用点差法得出，将前两个式子代入化简即可求得，，最后利用等比数列的前项和公式计算即可.【详解】由题意可得，线段的中点坐标为，则点坐标满足直线的方程，即，即，①又由题意可得，则，②因点，都在椭圆，则，，两式相减得，，即，将①式和②式代入得，，化简得，则，则，则.故选：A二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9.甲，乙，丙，丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的同学是（）A.甲：平均数为3，中位数为2 B.乙：众数为3，平均数为2.4C.丙：平均数为2，方差为2.4 D.丁：中位数为3，众数为2【答案】BC【解析】【分析】根据选项中的数字特征通过举例说明A，D满足条件但出现了点数6，对于B，C项，则通过分析说明没有出现点数6即可判断.【详解】对于A，当甲的统计结果为时，满足平均数为3，中位数为2，故A不正确；对于B，因乙同学的统计平均数为2.4，则总点数为，又众数为3，则至少有两个3.当有两个3时，另外三个骰子点数之和为6，则任何一个骰子不可能出现点数6；当有三个3时，另外两个骰子点数之和为3，不可能出现点数6；有四个3更不可能，故B正确；对于C，因丙同学的统计平均数为2，若出现了至少一次点数6，设其余四次点数分别为，则其方差为，故C正确；对于D，当丁同学的统计结果为时，满足中位数为3，众数为2，故D不正确.故选：BC.10.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，互相不垂直且有公共原点的两条数轴构成平面斜坐标系，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点的斜坐标这样定义：若，（其中，是分别与轴，轴方向相同的单位向量），则点的斜坐标为，且向量的斜坐标为．已知点的斜坐标分别为，则下列结论正确的是（）A.B.C.若，则D.【答案】ABD【解析】【分析】根据斜坐标定义将表示成的形式，可判断A正确，再由数乘运算可得B正确，利用向量数量积的坐标运算可得，不一定为0，即C错误；再由向量模长的坐标表示计算可求得D正确.【详解】对于A，由定义可知，所以，即可得，可知A正确；对于B，易知，所以，即B正确；对于C，若，则，因此，不一定为0，即C错误；对于D，易知，所以，即D正确.故选：ABD11.设函数的定义域为，的导函数满足，且，则下列结论一定成立的是（）A.的最大值为1B.在点处的切线为C.若方程有两个不同的解，，则D.若，，，则【答案】ABD【解析】【分析】先求表达式：由，根据求导法则得，再代入求出，进而得到，用除法求导法则对求导.对于A选项：令得极值点，根据导数正负判断单调性，求出最大值.对于B选项：先求处的函数值和导数值，再用点斜式求切线方程.对于C选项：设，通过构造函数，判断其单调性来证明.对于D选项：由得，将变形，换元后根据二次函数性质求最值.【详解】已知，可知.可得（为常数）.因为，将，代入，可得，即，解得.所以，则，.对求导，可得：.对于选项A，令，即，解得.当时，，则，单调递增；当时，，则，单调递减.所以在处取得极大值，也是最大值，，但当时，，所以没有最小值，A选项正确.对于选项B，当时，..根据点斜式方程可得，即，所以在点处的切线为，B选项正确.对于选项C，由前面分析可知在上单调递增，在上单调递减.不妨设，若，则，因为，且在上单调递减，所以只需证明，又因为，所以只需证明.令，，则.当时，，，，，所以，在上单调递增，则，即，所以，与矛盾，C选项错误.对于选项D，因为，所以..令，则，所以.对于二次函数，其对称轴为，开口向下，所以当时，取得最大值，.则，D选项正确.故选：ABD.第II卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．12已知，，则_____．【答案】1【解析】分析】根据条件，利用指对数互换和换底公式，即可求解.【详解】因为，则，又，所以，故答案为：.13.单位圆上位于第一象限的点按逆时针方向旋转后到点，若点横坐标为，则点横坐标为_____．【答案】【解析】【分析】先由题设，接着结合题意得到，再结合两角和的余弦公式、以及求根公式求出x即可得解.【详解】由题可设，则，则由题，所以，即，解得，又，所以.故答案为：.14.已知正三棱锥，底面边长为，二面角的正切值为，则正三棱锥的外接球半径为_____，分别为正三棱锥内切球，外接球球面上的动点，则线段长度的最大值为_____．【答案】①.②.【解析】【分析】过作面，利用正三棱锥的性质，知是的中心，再利用几何关系和条件，可得，由正三棱锥的性质知外接球球心在上，再利用勾股定理，即可求出外接球的半径，再利用等体积法，求出内切球的半径，根据条件转化成求两球心距和内切球、外接球半径之和，即可求解.【详解】如图，过作面，因为是正三棱锥，则是的中心，连接并延长交于，则是的中点，连接，因为，，所以为二面角的平面角，又，是中心，则，，在中，由，得到，因为是正三棱锥，则的外接球球心在上，设球心为，半径为，连接，如图，由，得到，解得.因为，所以，则，又，，设正三棱锥内切球的圆心为，半径为，易知在上，由，得到，所以，又，，则线段长度的最大值为，故答案为：，.四、解答题：本大题共5小题，共计77分．解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤．15.已知，，分别为三个内角A，，的对边，且．（1）求A；（2）若，的面积为，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）先由题和正弦定理边化角并结合两角和正弦公式化简得，接着由两角差的正弦公式得到即可求解角A；（2）结合（1）求出角C，接着由即可求解.小问1详解】由题和正弦定理得，所以，所以，因为，所以，所以，即，又，所以，所以，即；【小问2详解】由题意可得，，解得．16.如图，点在以为直径的圆周上运动，平面，，是的中点．（1）若，求三棱锥P－AMC的体积；（2）当面积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先证平面，推得的长即点平面的距离，利用是的中点可得，即可求出三棱锥P－AMC的体积；（2）依题意建系，写出相关点的坐标，求得平面的法向量，利用两空间向量的夹角的坐标公式计算即得.【小问1详解】因为直径，则，可得，因是的中点，则点到平面的距离等于点平面的距离的一半.因平面，平面，则，因平面，则平面，则的长即点平面的距离.故.【小问2详解】因为直角三角形，，故当且仅当时，面积最大，此时以点为坐标原点，，所在直线为轴、轴，过作轴平面，建立空间直角坐标系，则，，，，．，，．设平面的法向量为，则，则可取，于是直线与平面所成角的正弦值为17.在数字通信中，信号的每一次传输都是从一个基站发到下一个基站，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送信号0或1有可能被错误地接收为1或0．已知正确接收的概率为0.9，错误接收的概率为0.1．（1）在计算机内部，所有的信息都表示为一个二进制的字符串，八个二进制位被称为一个字节（byte），上个世纪60年代制定了一套字符编码，对英语字符与二进制位之间的关系做了统一规定，这被称为ASCII码，一直沿用至今，比如小写字母a的编码值是97（二进制01100001），d的编码值是100（二进制01100100），ASCII码一共规定了128个字符的编码，这128个字符只占用了一个字节的后面7位，最前面的1位统一规定为0．假如信息录入人员不小心将字母a看成了，求接收端仍然接收为的概率．（2）假如发送字符a时，接收为a和d的概率分别为0.99和0.01，发送字符d时，接收为a和d的概率分别为0.01和0.99，试求发送字符a经过次传输后仍然接收为的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意直接计算即可；（2）设第次传输后仍然接收为的概率为，则，构造等比数列可求得.【小问1详解】由题知，.【小问2详解】设第次传输后仍然接收为的概率为，则，，，，又，所以数列是以0.49为首项，0.98为公比的等比数列，，.18.已知函数，．（1）若在定义域上单调递增，求的取值范围；（2）当时，设，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据函数二次求导，分类讨论原函数的单调性，求解不等式即得；（2）由（1）得时，，使，即，则得，令，通过求导求出该函数的最大值，即得的最大值.【小问1详解】由可得，设，则①当时，，则在上单调递增．因为当时，此时不可能在上单调递增；②当时，．则在上单调递增，符合题意；③当时，令，得－0+递减极小递增故需使，解得，故．综上，的取值范围是．【小问2详解】由（1）知，时，，使．即，可得，－0+递减极小递增令，．令，得－1+0-递增极大递减所以，即的最大值为.19.材料一：二次方程（不同时为）可以表示圆，椭圆，双曲线，抛物线等二次曲线，其中椭圆，双曲线，抛物线的曲线方程可以通过坐标旋转变换，平移变换得到相应曲线的标准方程．材料二：在平面直角坐标系中，点绕原点按逆时针方向旋转角后，可得点．根据上述材料回答以下问题：（1）求曲线绕原点按逆时针方向旋转后曲线方程；（2）探索角满足什么条件时，方程（）对应的曲线经过旋转后所得曲线方程中的系数为；（3）曲线，点为曲线上任意一点，过点且与曲线在点处切线垂直的直线分别交直线，直线于，两点，线段的中点为.当点运动时，记点的轨迹为曲线，判断曲线是什么曲线并给出相应说明.【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）曲线的轨迹为去除顶点的双曲线，理由见解析.【解析】【分析】（1）设绕着原点按逆时针旋转角后得到点，根据旋转坐标公式代入计算即可；（2）将代入方程，然后再分当和讨论即可；（3）取，将曲线按逆时针旋转，得到变换后得曲线方程，再联立切线方程与曲线方程得到线段中点，则得到其轨迹方程.【