2025北京朝阳区高三（上）期中数学试题及答案

高中2025北京朝阳高三（上）期中数学2025.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题40分和非选择题110分第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）若全集，，，则（A） （B）（C） （D）（2）已知角的终边经过点，则（A） （B）（C） （D）（3）已知向量满足，，则=（A） （B）（C） （D）（4）下列不等式中正确的是（A） （B）（C） （D）（5）设，则“”是“”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（6）在等差数列的每相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则（A） （B）（C） （D）（7）若方程在区间（）上有解，则（A） （B）（C） （D）（8）在中，,，是的中点，将沿折起，使得所在平面与所在平面垂直，则此时点与点的距离为（A） （B）（C） （D）（9）若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（A） （B）（C） （D）（10）某生物种群数量在一个有限的环境中增长时，由于资源和空间等因素的限制，该种群数量与时间之间的关系可以由函数刻画，其中常数表示该种群数量的初始值，常数()表示该种群环境容纳量，常数表示内禀增长率，函数的图象如下图所示．给出下列三个结论：①函数的导函数有最大值；②存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形；③对于任意的，有成立．其中所有正确结论的序号是（A）① （B）①②（C）②③ （D）①②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）已知复数满足，则的共轭复数________．（12）函数的定义域是________．（13）如图，在正方形中，，，点为和的交点．若为钝角，写出符合条件的一组的值为________，________．（14）如图，在长方体中，，，过点的平面分别交棱于．已知四边形为菱形，且，则________；长方体被平面所截得上下两部分体积之比为________．（15）已知数列的前项和为，，且．给出下列四个结论：=1\*GB3①；=2\*GB3②是递增数列；=3\*GB3③，，使得当时，；=4\*GB3④，，使得当时，总有．其中所有正确结论的序号是________．三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题13分）已知函数．（Ⅰ）求的最小正周期，并求的图象的对称轴方程；（Ⅱ）若函数在区间上无最小值，求实数的取值范围．（17）（本小题14分）如图，在四棱锥中，与均为等腰直角三角形，，．（Ⅰ）若为的中点，证明：平面；（Ⅱ）若平面，．（ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值；（ⅱ）求点到平面的距离．（18）（本小题13分）在中，．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若点在边上，且，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，并求的长．条件①：；条件②：；条件③：的面积为．注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（19）（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数的单调性．（20）（本小题15分）已知函数．（Ⅰ）求在区间上的最大值；（Ⅱ）若函数，求证：在区间上有且只有一个极大值点；（Ⅲ）若，写出的取值范围．（只需写出结论）

（21）（本小题15分）设为正整数，若集合满足如下三个条件，则称具有性质：①都是元素个数为的数集；②对任意，集合的元素个数均为1；③．（Ⅰ）若集合具有性质，写出集合；（Ⅱ）若集合具有性质，判断是否存在使得，并说明理由；（Ⅲ）若集合具有性质，求的最大值．（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A （2）C （3）B （4）D （5）A（6）B （7）C （8）C （9）A （10）B二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12） （13）（答案不唯一）（14）4; （15）①③=4\*GB3④三、解答题（共6小题，共80分）（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）由已知得．所以函数的最小正周期为．令，得．所以的图象的对称轴方程是． 9分（Ⅱ）因为，所以．因为函数在区间上无最小值，所以．所以．所以实数的取值范围为． 13分（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）取的中点，连接．因为分别为的中点，所以且．在四边形中，因为，所以．因为是等腰直角三角形，且．因为是等腰直角三角形，且．所以．所以且．所以四边形是平行四边形．所以．又因为平面，平面，所以平面． 6分（Ⅱ）因为平面，所以．又，如图建立空间直角坐标系．又因为，所以．所以．设平面的法向量为．由得令，则．（ⅰ）又因为，所以平面．所以是平面的法向量．设平面与平面的夹角为，则．所以平面与平面夹角的余弦值为． 12分（ⅱ）设点到平面的距离为．所以．所以点到平面的距离为． 14分（18）（本小题13分）解：（Ⅰ）由正弦定理及，得．因为，所以．所以，即，化简得．因为，所以．所以．又，且，所以．所以． 5分（Ⅱ）选择条件②：因为，即，所以．由为钝角和，得．因为，所以．在中，由正弦定理，得．由，，，得．在中，由得．所以．选择条件③：由的面积为，得，解得．在中，由余弦定理得，解得．由正弦定理，得．由为钝角和，得．所以．在中，由得．所以． 13分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）当时，，，所以，又，，所以曲线在点处的切线方程为，即． 5分（Ⅱ）函数的定义域为，．（1）当时，，令，得．与的变化情况如下表：+-↗极大值↘所以的单调递增区间为；单调递增减区间为．（2）当时，令，得或．与的变化情况如下表：+-+↗极大值↘极小值↗所以的单调递增区间为；单调递增减区间为．（3）当时，，所以在上单调递增．（4）当时，令，得或．与的变化情况如下表：+-+↗极大值↘极小值↗所以的单调递增区间为；单调递增减区间为．综上，当时，的单调递增区间为；单调递增减区间为．当时，的单调递增区间为；单调递减区间为．当时，的单调递增区间为；无单调递减区间．当时，的单调递增区间为；单调递增减区间为． 15分（20）（本小题15分）解：（Ⅰ），令，得，因为，所以．当时，，在区间上单调递增；当时，，在区间上单调递减．所以在区间上的最大值为． 5分（Ⅱ）因为，所以．设，则．当时，，所以在区间上单调递减．又，，所以存在唯一使．所以．当时，，在区间上单调递增，当时，，在区间上单调递减，所以为的极大值点，即在区间上有且只有一个极大值点． 12分（Ⅲ）． 15分（21）（本小题15分）解：（Ⅰ）． 4分（Ⅱ）不存在，理由如下：假设存在使得．不妨设，设，．由①②可知，互不相同．由③可知，存在集合与的交集不为，且由②可知，集合与的交集中有且仅有一个元素，不妨设集合为，且，故．由②可知，的元素个数均为1，且均不为或，所以集合或，或，或．由于互不相同，集合至少包含4个元素，与①矛盾．所以不存在使得． 9分（Ⅲ）设集合具有性质．在中存在一个集合，其中至少有两个元素分别属于其他集合，否则，若中的每一个集合中至多有一个元素属于其他集合，则与②或③矛盾．不妨设该集合为，设元素分别属于其他集合，除了集合之外，设包含元素的集合有个，分别记为，设集合包含元素．当时，若，则，与②矛