2025北京海淀区高三（上）期中数学试题及答案

高中2025北京海淀高三（上）期中数学2025.11本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（A） （B） （C） （D）（2）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（A） （B） （C）-4 （D）4（3）已知向量，在正方形网格上的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（A）5 （B）6 （C）7 （D）8（4）设，且，则（A） （B） （C） （D）（5）函数（A）有最大值，也有最小值 （B）没有最大值，有最小值（C）有最大值，没有最小值 （D）没有最大值，也没有最小值（6）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（A）是偶函数 （B）（C）是奇函数 （D）（7）函数的图象可能是（A）（B）（C）（D）（8）已知角，是象限角，则“存在，使得”是“”的（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（9）我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求面积的方法，他把这种方法称为“三斜求积术”．如果把这种方法写成公式，就是，其中是三角形的三边，是三角形的面积．若，则（A）当时， （B）当时，（C）当时， （D）当时，（10）已知数列满足，，为的前项和，则下列结论错误的是（A）存在，使得成立（B）存在，使得且对任意成立（C）对任意，存在，使得成立（D）对任意奇数，存在和，使得成立第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）函数的定义域是______．（12）已知等差数列中，，且，则的公差_______（13）若向量，，则；________.（14）设函数若存在点在函数的图象上，则的一个取值为________，的最小值为________.（15）某社区内有一扇形草坪（如图），扇形的半径为60米，．甲从圆心出发，沿以每秒1米的速度向慢走，同时乙从出发，沿以每秒米的速度向慢跑．若经过秒，甲和乙所在位置分别为和，记的长度为米给出下列四个结论：①当时，；②函数在区间上单调递增；③方程在区间上恰有一个根；④若函数在处取得最小值，则其中所有正确结论的序号是______．三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题14分）已知函数．（Ⅰ）求函数的单调递增区间；（Ⅱ）若，，且是函数的一个零点，直线是曲线的一条对称轴，求的值．（17）（本小题14分）已知数列的前项和为，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的通项公式；（Ⅲ）若的各项都为正数，记，求．（18）（本小题14分）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得唯一确定，求：（Ⅰ）曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）函数的单调区间．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（19）（本小题14分）某城市公园计划将园内三角形区域（如图）建造为多功能区，其中米，米，．（Ⅰ）求的长度；（II）公园拟在边上设置休息点（与，不重合），同时将，，修建为三种不同功能的AI智慧步道，其每米造价分别为0.1万元，0.2万元，0.3万元．记，三段AI智慧步道的造价总和记为（单位：万元）。（i）将表示为的函数；（ii）若不超过48万元，求的最大值．（只需写出结论）

（20）（本小题14分）已知函数有两个极值点．记，．（Ⅰ）若点在直线上，求的值；（Ⅱ）若函数的图象上存在点，使得是以为顶点的等腰三角形，求的取值范围．（21）（本小题15分）给定正整数，已知是一个行列的数表，其中．若数表同时满足如下三个性质，则称数表具有性质：①对任意，有；②对任意，且，有；③对任意，有．（Ⅰ）判断数表是否具有性质，并说明理由；（Ⅱ）若数表具有性质，求的最小值；（Ⅲ）若数表具有性质，记，求的最大值（表示集合中最大的数，表示集合中的元素个数）。

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）A（2）D（3）A（4）D（5）B（6）B（7）C（8）C（9）B（10）D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11） （12）（13）（14）（答案不唯一）（15）=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）因为所以，因为的单调递增区间为，令，所以，所以函数的单调递增区间为.（Ⅱ）令，，因为，所以.再令，，因为，所以，所以.（17）（共14分）解：（Ⅰ）因为，令，化简得.所以，或.（Ⅱ）当时，，，所以，当时，，所以.因为，所以，所以，所以是首项为，公比为的等比数列，所以，当时，，所以.（Ⅲ）因为，所以，所以.（18）（共14分）解：（Ⅰ）选择条件=2\*GB3②因为，所以.所以，所以，所以，又，所以曲线在点处的切线方程即.选择条件=3\*GB3③因为，所以，所以.所以，所以，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为，即.（Ⅱ）函数的定义域为，因为，令，得，，当变化时，的变化情况如下表：2无定义极大值无定义极小值函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（19）（共14分）解：（Ⅰ）在三角形中，由余弦定理，代入，得到，解得.（Ⅱ）因为，所以在三角形中，由正弦定理所以，，又所以，其中.(=2\*romanii)的最大值为.（20）（共14分）解：（Ⅰ）因为，当时，，函数无极值当时，令，，所以的变化情况如下表极大值极小值又点在直线上，所以，所以.（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）得，，所以线段的中点为设，因为△是以为顶点的等腰三角形，所以，所以又，，所以，即.设，所以函数存在零点.因为，令，解得，所以的变化情况如下表极大值所以.因为时，由可得，所以存在零点当且仅当.解得所以的取值范围是.法二：由（Ⅰ）得，，所以线段的中点为设，因为△是以为顶点的等腰三角形，所以，所以又，，所以，即.设，所以函数存在零点.因为，令，解得，