2022-2023学年江苏无锡市高二（下）期末数学试卷

2022-2023学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．（5分）设集合A＝{x|﹣6＜x＜0}，B＝{x|x2+3x﹣10≤0}，则A∪B＝（）A．（﹣6，2] B．[﹣5，0） C．[﹣2，0） D．（﹣5，2]2．（5分）已知一次降雨过程中，某地降雨量L（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可近似表示为L=10t，则在t＝40minA．2mm/min B．1mm/min C．12mm/min D3．（5分）若P（X≤m）＝a，P（X≥n）＝b，其中n＜m，则P（n≤X≤m）＝（）A．a+b B．1﹣a﹣b C．a+b﹣1 D．1﹣ab4．（5分）函数f（x）＝x（ex﹣e﹣x）的图象大致是（）A． B． C． D．5．（5分）某工厂为研究某种产品的产量x（单位：吨）与所需某种原料y（单位：吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据如下表：x/吨3467y/吨2.534m根据表格中的数据，得出y关于x的经验回归方程为ŷ=0.7x+a．据此计算出样本点（4，3）处的残差为﹣0.15，则表格中A．5.9 B．5.5 C．4.5 D．3.36．（5分）一批产品中有一等品若干件，二等品3件，三等品2件，若从中任取3件产品，至少有1件一等品的概率不小于1112A．3件 B．4件 C．5件 D．6件7．（5分）已知函数f（x）＝alnx+x2，在区间（0，2）上任取两个不相等的实数x1，x2，若不等式f(x1)-f(A．[﹣8，+∞） B．（﹣∞，﹣8] C．[0，+∞） D．（﹣∞，0]8．（5分）已知函数f（x）＝x2+3，若存在区间[a，b]⫋（0，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+1），k（b+1）]，则实数k的取值范围为（）A．（0，3） B．[2，+∞） C．（2，3] D．（2，3）二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）若x5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则（）A．a0＝1 B．a2＝a3 C．a1+a2+…+a5＝31 D．a1﹣2a2+3a3﹣4a4+5a5＝80（多选）10．（5分）已知a+2b＝ab（a＞0，b＞0），则下列结论正确的是（）A．ab的最小值为2 B．a+b的最小值为3+22C．1a+1D．4a2（多选）11．（5分）从装有2个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出一球，摸出的球不再放回．记“第一次摸出的是红球”为事件A1，“第一次摸出的是蓝球”为事件B1，“第二次摸出的是红球”为事件A2，“第二次摸出的是蓝球”为事件B2．则下列说法正确的是（）A．P(AB．P(BC．P（B2|A1）+P（A2|B1）＝1 D．P(（多选）12．（5分）记函数f（x）＝x3﹣sinx的图象为Γ，下列选项中正确的结论有（）A．函数f（x）的极大值和极小值均有且只有一个 B．有且仅有两条直线与Γ恰有两个公共点 C．不论实数k为何值，方程f（x）＝k（x+1）一定存在实数根 D．Γ上存在三个点构成的三角形为等腰三角形，且这样的等腰三角形个数有限三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上．13．（5分）（x-1x）6的展开式中，常数项为14．（5分）某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈n（n＝0，1，2，⋯，1000）人的概率记为Pn，则当Pn取最大值时，n的值为．15．（5分）不等式(12)x-116．（5分）将四个“0”和四个“1”按从左到右的顺序排成一排，这列数有种不同排法；若这列数前n（n＝1，2，3，4）个数中的“0”的个数不少于“1”的个数，则这列数有种不同排法．（用数字作答）四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|log2（x+1）＜1}，B＝{x||x﹣b|＜a}，且B为非空集合．（1）当b＝2时，A∩B＝∅，求实数a的取值范围；（2）若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，求实数b的取值范围．18．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝4x﹣2x+1．（1）求x＜0时，f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）＞0的解集．19．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收货时各随机抽取了50个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其箱产量如下表所示．养殖法箱产量箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法3020新养殖法1535（1）根据小概率α＝0.005的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关；（2）现需从抽取的新、旧网箱中各选1箱产品进行进一步检测，记X为所选产品中箱产量不低于50kg的箱数，求X的分布列和期望．附：P（χ2≥7.897）＝0.005，χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+20．（12分）已知函数f（x）＝x（x﹣c）2．（1）若函数f（x）在x＝2处有极大值，求实数c的值；（2）若不等式f（x）≤8对任意x∈[0，2]恒成立，求实数c的取值范围．21．（12分）某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的5%，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼．（1）为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为23，求甲在一轮比赛中至少打了五局并获胜的条件下，前3（2）经过一段时间的体能训练后，该校进行了体能检测，并从高二年级1000名学生中随机抽取了40名学生的成绩作分析．将这40名学生体能检测的平均成绩记为μ，标准差记为σ，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布N（μ，σ2）．已知μ＝74，σ＝7，请估计该校高二年级学生体能检测是否合格？附：若随机变量ξ～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ＜ξ≤μ+3σ）≈0.9973．22．（12分）已知函数f（x）＝xex，g（x）＝lnx．（1）若直线y＝kx与函数y＝g（x）的图象相切，求实数k的值；（2）若不等式f（x）﹣g（x）＞ax+1对定义域内任意x都成立，求实数a的取值范围．

2022-2023学年江苏省无锡市高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．（5分）设集合A＝{x|﹣6＜x＜0}，B＝{x|x2+3x﹣10≤0}，则A∪B＝（）A．（﹣6，2] B．[﹣5，0） C．[﹣2，0） D．（﹣5，2]【解答】解：B＝{x|x2+3x﹣10≤0}＝{x|﹣5≤x≤2}，则A∪B＝{x|﹣6＜x＜0}∪{x|﹣5≤x≤2}＝{x|﹣6＜x≤2}．故选：A．2．（5分）已知一次降雨过程中，某地降雨量L（单位：mm）与时间t（单位：min）的函数关系可近似表示为L=10t，则在t＝40minA．2mm/min B．1mm/min C．12mm/min D【解答】解：∵L'=1∴在t＝40min时的瞬时降雨强度为14故选：D．3．（5分）若P（X≤m）＝a，P（X≥n）＝b，其中n＜m，则P（n≤X≤m）＝（）A．a+b B．1﹣a﹣b C．a+b﹣1 D．1﹣ab【解答】解：因为P（X≤m）＝a，P（X≥n）＝b，n＜m，所以P（n≤X≤m）＝P（X≤m）﹣P（X＜n）＝P（X≤m）﹣（1﹣P（X≥n））＝a﹣（1﹣b）＝a+b﹣1．故选：C．4．（5分）函数f（x）＝x（ex﹣e﹣x）的图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：f（﹣x）＝﹣x（e﹣x﹣ex）＝x（ex﹣e﹣x）＝f（x），函数是偶函数，排除选项A、D．x→+∞时，f（x）→+∞的速度更快，排除C．故选：B．5．（5分）某工厂为研究某种产品的产量x（单位：吨）与所需某种原料y（单位：吨）的相关性，在生产过程中收集了4组对应数据如下表：x/吨3467y/吨2.534m根据表格中的数据，得出y关于x的经验回归方程为ŷ=0.7x+a．据此计算出样本点（4，3）处的残差为﹣0.15，则表格中A．5.9 B．5.5 C．4.5 D．3.3【解答】解：根据样本（4，3）处的残差为﹣0.15，即3﹣（0.7×4+a）＝﹣0.15，可得a＝0.35，即回归直线方程为ŷ又由样本数据的平均数为x=得0.7×5+0.35=2.5+3+4+m4，解得故选：A．6．（5分）一批产品中有一等品若干件，二等品3件，三等品2件，若从中任取3件产品，至少有1件一等品的概率不小于1112A．3件 B．4件 C．5件 D．6件【解答】解：设该批产品共有n件，n＞5，n∈N*，从中任取3件产品，均不是一等品的概率为C5则至少有1件一等品的概率为1-由题意1-C53Cn3≥1112，即n（n﹣1）（n﹣2）≥则该批产品中一等品至少有10﹣5＝5件．故选：C．7．（5分）已知函数f（x）＝alnx+x2，在区间（0，2）上任取两个不相等的实数x1，x2，若不等式f(x1)-f(A．[﹣8，+∞） B．（﹣∞，﹣8] C．[0，+∞） D．（﹣∞，0]【解答】解：由f(x1)-f(x2)x1-所以f'(x)=ax+2x≥0在（0，2）上恒成立，即a≥﹣2x2故a≥（﹣2x2）max，所以a≥0．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝x2+3，若存在区间[a，b]⫋（0，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+1），k（b+1）]，则实数k的取值范围为（）A．（0，3） B．[2，+∞） C．（2，3] D．（2，3）【解答】解：∵函数f（x）＝x2+3开口向上且对称轴为x＝0，∴f（x）＝x2+3在（0，+∞）上单调递增，∵存在区间[a，b]⫋（0，+∞），使得f（x）在[a，b]上的值域为[k（a+1），k（b+1）]，则有a2+3=k(a+1)b2+3=k(b+1)，即方程x2﹣kx+3﹣k＝0∴(-k)2-4(3-k)＞0∴k的取值范围为（2，3）．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）若x5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，则（）A．a0＝1 B．a2＝a3 C．a1+a2+…+a5＝31 D．a1﹣2a2+3a3﹣4a4+5a5＝80【解答】解：∵x5＝[1+（x﹣1）]5＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a5（x﹣1）5，其中a0，a1，a2，…，a5为实数，∴令x＝1，可得a0＝1，故A正确．再根据a2=C52，a3=C53，可得a2在所给的等式中，令x＝2，可得1+a1+a2+…+a5＝32，∴a1+a2+…+a5＝31，故C正确．在所给的等式中，两边同时对x求导数，可得5x4＝a1+2a2（x﹣1）+…+5a5（x﹣1）4，再令x＝0，可得0＝a1﹣2a2+3a3﹣4a4+5a5，故D错误．故选：ABC．（多选）10．（5分）已知a+2b＝ab（a＞0，b＞0），则下列结论正确的是（）A．ab的最小值为2 B．a+b的最小值为3+22C．1a+1D．4a2【解答】解：对于A，由a+2b＝ab（a＞0，b＞0）得2a+1b=1，则1=当且仅当a＝4，b＝2取等号，故A错误；对于B，a+b=(a+b)(2当且仅当2ba=ab，即对于C，∵a+2b＝ab（a＞0，b＞0），∴a=2b∴1a+1对于D，∵a+2b＝ab（a＞0，b＞0），∴a=2b∴4a∵b＞1，∴0＜1b＜1，则当1b=12，即b故选：BD．（多选）11．（5分）从装有2个红球和3个蓝球的袋中，每次随机摸出一球，摸出的球不再放回．记“第一次摸出的是红球”为事件A1，“第一次摸出的是蓝球”为事件B1，“第二次摸出的是红球”为事件A2，“第二次摸出的是蓝球”为事件B2．则下列说法正确的是（）A．P(AB．P(BC．P（B2|A1）+P（A2|B1）＝1 D．P(【解答】解：由题意P(A事件A2有两种情况，①第一次摸出红球，第二次摸出红球；②第一次摸出蓝球，第二次摸出红球，则P(A2)=P(B1B∵P(B2|∴P(B2|∵P(A2|故选：AD．（多选）12．（5分）记函数f（x）＝x3﹣sinx的图象为Γ，下列选项中正确的结论有（）A．函数f（x）的极大值和极小值均有且只有一个 B．有且仅有两条直线与Γ恰有两个公共点 C．不论实数k为何值，方程f（x）＝k（x+1）一定存在实数根 D．Γ上存在三个点构成的三角形为等腰三角形，且这样的等腰三角形个数有限【解答】解：由f（x）＝x3﹣sinx，则f′（x）＝3x2﹣cosx，当x∈[0，1]时，y＝3x2，y＝﹣cosx均为单调递增函数，所以f′（x）在x∈[0，1]单调递增，由于f′（0）＝﹣1＜0，f′（1）＝3﹣cos1＞0，故存在唯一的实数x0∈（0，1），使得f′（x0）＝0，而当x∈（0，x0），f′（x）＜0，x∈（x0，1），f′（x）＞0，又当x＞1，f′（x）＝3x2﹣cosx＞3x2﹣1＞0，故f（x）在（0，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，故当x＝x0时，f（x）取极小值，又f（﹣x）＝﹣x3+sinx＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，由对称性可知当x＝﹣x0时，f（x）取极大值，故A正确，根据f（x）的单调性和奇偶性，作出f（x）的大致图象如下：故经过极值点且与x轴平行的直线，及在极值点附近与曲线相切，与曲线另一侧相交的直线均与f（x）点图象有两个交点，故B错误，由于当x趋于+∞时f（x）趋于+∞，且f（x）为奇函数，直线y＝k（x+1）恒过定点（﹣1，0），f（﹣1）＝﹣1+sin1＜0，所以y＝k（x+1）与f（x）的图象恒有交点，故f（x）＝k（x+1）恒有根，故C正确，对于D，任意经过原点且与f（x）相交的直线OA，过弦OA中点作垂线交于f（x）于点B，则三角形AOB即为等腰三角形，这样的三角形有无数多个．故D错误．故选：AC．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在答题卡相应位置上．13．（5分）（x-1x）6的展开式中，常数项为【解答】解：∵Tr+1＝（﹣1）r•C6∴由6﹣3r＝0得r＝2，从而得常数项C6r＝15，故答案为：15．14．（5分）某药厂研制一种新药，针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈n（n＝0，1，2，⋯，1000）人的概率记为Pn，则当Pn取最大值时，n的值为800．【解答】解：该新药针对某种疾病的治愈率为80%，随机选择1000名患者，经过使用该药治疗后治愈n（n＝0，1，2，⋯，1000）人的概率记为Pn，则PnPn+1≤Pn且Pn﹣1≤Pn，C1000可得0.21000-n≥0.8n+10.8n又n＝0，1，2，⋯，1000，则n＝800则当Pn取最大值时，n的值为800．故答案为：800．15．（5分）不等式(12)x-14＞【解答】解：作出y=(12)xx＞1时，y=(12)x-14单调递减，y＝ln（x∈（1，2）时，y=(12)x-14＞0，x∈（2，+∞）时，y=(12)x-14＜0，由图可知，当(12)x-14＞则不等式(12)x-故答案为：（1，2）．16．（5分）将四个“0”和四个“1”按从左到右的顺序排成一排，这列数有70种不同排法；若这列数前n（n＝1，2，3，4）个数中的“0”的个数不少于“1”的个数，则这列数有25种不同排法．（用数字作答）【解答】解：对于第一空：在8个位置中选出4个，安排4个“0”，剩下4个位置安排4个“1”即可，则有C84对于第二空：若这列数前n（n＝1，2，3，4）个数中的“0”的个数不少于“1”的个数，则第1个数必须为0，若第2个数为“0”，则在后面6个位置中选2个安排“0”，有C62若第2个数为“1”，则第三个数必为“0”，在后面5个位置中选2个安排“0”，有C52故共有15+10＝25个排列．故答案为：70，25．四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）已知集合A＝{x|log2（x+1）＜1}，B＝{x||x﹣b|＜a}，且B为非空集合．（1）当b＝2时，A∩B＝∅，求实数a的取值范围；（2）若“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，求实数b的取值范围．【解答】解：（1）由题意可得：A＝{x|log2（x+1）＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，B为非空集合，则B＝{x||x﹣b|＜a}＝{x|b﹣a＜x＜a+b}，a＞0，当b＝2时，B＝{x|2﹣a＜x＜2+a}，因为A∩B＝∅，所以2+a≤﹣1或2﹣a≥1，解得0＜a≤1，故实数a的取值范围（0，1]．（2）若“a＝1”，则B＝{x|b﹣1＜x＜1+b}，“a＝1”是“A∩B≠∅”的充分条件，则{x|﹣1＜x＜1}∩{x|b﹣1＜x＜1+b}≠∅，所以﹣1＜b﹣1＜1或﹣1＜b+1＜1或b-解得﹣2＜b＜0或0＜b＜2或b＝0，即﹣2＜b＜2，所以实数b的取值范围（﹣2，2）．18．（12分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝4x﹣2x+1．（1）求x＜0时，f（x）的解析式；（2）求不等式f（x）＞0的解集．【解答】（1）解：f（x）是定义在R上的奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），当x＜0时，﹣x＞0，则f（﹣x）＝4﹣x﹣2﹣x+1，所以，f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣4﹣x+2﹣x+1．（2）当x＝0时，f（0）＝0．当x＞0时，f（x）＝4x﹣2x+1＝2x（2x﹣2）＞0，可得2x＜0或2x＞2，解得x＞1；当x＜0时，f（x）＝﹣4﹣x+2﹣x+1＝2﹣x（2﹣2﹣x）＞0，可得0＜2﹣x＜2，解得﹣1＜x＜0．综上所述，不等式f（x）＞0的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）．19．（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收货时各随机抽取了50个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其箱产量如下表所示．养殖法箱产量箱产量＜50kg箱产量≥50kg旧养殖法3020新养殖法1535（1）根据小概率α＝0.005的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关；（2）现需从抽取的新、旧网箱中各选1箱产品进行进一步检测，记X为所选产品中箱产量不低于50kg的箱数，求X的分布列和期望．附：P（χ2≥7.897）＝0.005，χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n＝a+【解答】解：（1）零假设H0：箱产量与养殖方法无关，根据列联表数据可得：χ2所以依据小概率值α＝0.005的独立性检验，H0不成立，即认为箱产量与养殖方法有关．（2）根据题意可知X＝0，1，2．又P(X=0)=30P(X=1)=30P(X=2)=20所以X的分布列为：X012P95027501450所以E(X)=0×20．（12分）已知函数f（x）＝x（x﹣c）2．（1）若函数f（x）在x＝2处有极大值，求实数c的值；（2）若不等式f（x）≤8对任意x∈[0，2]恒成立，求实数c的取值范围．【解答】解：（1）f'当f′（x）＝0，即x=c3或x＝c时，函数f（由题意，函数f（x）在x＝2处有极大值，所以c＞0，所以，x∈(-∞，c3)时，f′（x）＞0，x∈(c3，c)时，f′（x）＜0，x∈（c，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）在区间（c，+∞）上单调递增；所以当x=c3时，f（x）取得极大值，此时c3=2，（2）若c≤0，x∈[0，2]时，f′（x）＞0，f（x）在区间[0，2]上单调递增，f(x)max=f(2)=2(2-c)2≤8，解得所以c＝0符合题意；若c3≥2即c≥6，由（1）可知，f（x）在区间[0，所以f(x)max=f(2)=2(2-c)2≤8，解得所以c≥6，不合题意；若c3＜2即0＜c＜6，由（1）可知，f（x）在区间[0，2]所以只需f(c3)≤8f(2)≤8，即c3(c3-c)综上所述：0≤c≤332，即实数21．（12分）某校拟对全校学生进行体能检测，并规定：学生体能检测成绩不低于60分为合格，否则为不合格；若全年级不合格人数不超过总人数的5%，则该年级体能检测达标，否则该年级体能检测不达标，需加强锻炼．（1）为准备体能检测，甲、乙两位同学计划每天开展一轮羽毛球比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用七局四胜制（一方获胜四局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛