函数的应用（一）

第三章

函数的概念与性质3.4

函数的应用（一）丨必备知识解读知识点

解答函数应用题的基本思想与步骤

CA.15

B.40

C.25

D.130

例2

某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，成本价为25元，在生产过程中平均每生产一件产品有

0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计了两套方案对污水进行处理，并准备实施．方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费为2元，每月排污设备损耗费为30

000元.方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．假设生产出的产品能全部销售出厂，问：（1）工厂每月生产3

000件产品时，你作为厂长，在不污染环境又节约资金的前提下应选择哪种方案?通过计算加以说明．

（2）若工厂每月生产6

000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢?

方法帮丨关键能力构建题型1

一次函数模型的实际应用问题例3

商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只定价20元，茶杯每只定价5元，该商店现推出两种优惠活动：（1）买一只茶壶赠送一只茶杯；

题型2

二次函数模型的实际应用问题

【学会了吗|变式题】

（1）将利润表示为关于年产量的函数；

（2）年产量是多少时，企业所得利润最大？

题型3

幂函数模型的实际应用问题

【学会了吗|变式题】

题型5

分段函数模型的实际应用问题

CA.5小时

B.6小时

C.7小时

D.8小时

（2）当2024年产量为多少千部时，企业所获利润最大？并求出最大利润．

【学会了吗|变式题】

（2）当年产量为多少时，企业所获年利润最大？并求最大年利润．

题型6

图象信息应用题

（2）若认定市场售价减去种植成本为纯收益，则何时上市能使黄瓜纯收益最大?

练习帮·习题课1.(浙江省温州市期末)某市的电费收费实行峰平谷标准，如下表所示：时间段电价峰期平期谷期

√

CA.20

B.30

C.40

D.60

304045506030150

BA.35，225

B.40，300

C.45，350

D.45，400

CA.1

500万元

B.2

100万元

C.2

200万元

D.3

800万元

BCD

图3.4-1

学习效果最佳．要使得学生学习效果最佳，则教师安排核心内容的时间段为_______．（写成区间形式）

（2）该茶社去哪家茶具店购买茶壶花费较少？

（2）求鱼群年增长量的最大值；

（2）使用若干年后对于该设备的处理方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，以20万元的价格处理该设备；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，以60万元的价格处理该设备；问哪种方案较为合理？并说明理由．

（1）若一次喷洒2个单位的该消毒剂，则有效杀毒时间可达多久？

探究一一次函数、二次函数模型的应用例1在一次会展期间某企业向展销商销售一种商品,根据市场调查,每件商品售价x(单位:元)与销量t(单位:万件)之间的函数关系如图所示,又知供货价格与销量成反比,比例系数为50.(注:每件产品利润=售价-供货价格)(1)求售价20元时的销量及此时的供货价格;(2)当销售价格为多少时总利润最大,并求出最大利润.反思感悟

(1)一次函数模型的重要特征是均匀变化,且满足条件的点在一条直线上,求解时可设一次函数模型为y=kx+b,利用待定系数法建立方程(组)求k,b.(2)二次函数模型的解析式为g(x)=ax2+bx+c(a≠0).在函数建模中,它占有重要的地位.在根据实际问题建立函数解析式后,可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法结合函数的定义域求最值.变式训练1两个城市之间用一列火车作为交通车.已知该车每次拖4节车厢,一日能来回16次,如果每次拖7节车厢,则每日能来回10次.(1)若每日来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数,求此一次函数解析式;(2)在(1)的条件下,每节车厢能载乘客110人,问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多?并求出每天最多运营人数.解

(1)设每日来回y次,每次挂x节车厢,由题意设y=kx+b.由已知可得解得k=-2,b=24.∴y=-2x+24(x>0,x∈N*).(2)设每日火车来回y次,每次挂x节车厢,设每日可营运S节车厢.则S=xy=x(-2x+24)=-2x2+24x=-2(x-6)2+72.所以当x=6时,Smax=72节.此时y=12,故每日最多运营人数为110×72=7

920(人).探究二分段函数模型的应用例2某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?分析利润=销售收入-总的成本.由于本题中的销量只能为500件,但生产的数量不确定,所以模型确定为分段函数模型.解

(1)当0<x≤5时,产品全部售出,当x>5时,产品只能售出500件.所以,(2)当0<x≤5时,f(x)=-x2+4.75x-0.5,所以当x=4.75时,f(x)有最大值,f(x)max=10.781

25.当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75.故当年产量为475件时,当年所得利润最大.反思感悟

(1)分段函数主要是每一段的变化规律不全相同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的取值范围,特别是端点值.(2)分段函数的最大值是各段最大值中最大的,分段函数的最小值是各段最小值中最小的.变式训练2甲厂根据以往的生产销售经验得到下面有关生产销售的统计规律:每生产产品x(单位:百台),其总成本为G(x)(单位:万元),其中固定成本为2.8万元,并且每生产1百台的生产成本为1万元(总成本=固定成本+生产成本),销售收入

假定该产品产销平衡(即生产的产品都能卖掉),根据上述统计规律,请完成下列各题:(1)写出利润函数y=f(x)的解析式(利润=销售收入-总成本);(2)甲厂生产多少台该产品时,可使盈利最多?解

(1)由题意得G(x)=2.8+x.(2)∵函数f(x)在区间(5,+∞)上单调递减,∴f(x)<8.2-5=3.2(万元).当0≤x≤5时,函数f(x)=-0.4(x-4)2+3.6,当x=4时,f(x)有最大值为3.6.故当工厂生产4百台时,可使盈利最大为3.6万元.探究三幂函数模型的应用例3(黑龙江齐齐哈尔八中等校高一期中)为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入资金200万元,搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入资金20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜.根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与各自的资金投入a1,a2(单位:万元)满足

a2+120.设甲大棚的资金投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收入为f(x)(单位:万元).(1)求f(50)的值;(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的资金投入,才能使总收入f(x)最大.变式训练3某民营企业生产A,B两种产品,根据市场调查和预测,A产品的利润与