初中数学八年级下册《角平分线》核心素养学历案设计

初中数学八年级下册《角平分线》核心素养学历案设计

一、教学基本信息

（一）课题：角平分线

（二）授课年级：初中二年级（八年级）

（三）教材版本：北京师范大学出版社义务教育教科书数学八年级下册第一章三角形的证明第4节

（四）课时安排：2课时（第一课时：角平分线的性质定理与判定定理；第二课时：三角形三条角平分线的交点性质及综合应用）

二、教材分析

本节内容是初中几何证明体系的核心枢纽。从知识脉络看，角平分线承接了全等三角形、等腰三角形的证明方法，又为后续学习圆、相似三角形及内心、内切圆奠定逻辑基础。北师大版教材以“猜想—操作—证明—应用”为主线，将合情推理与演绎推理深度融合。本节教材编排了两个“做一做”、三个“想一想”及一个“尺规作图”，凸显过程性学习。教材通过将角平分线置于轴对称背景中，渗透图形变换思想，并为后续学习线段垂直平分线提供类比蓝本。本节承载的数学思想包括转化思想（将线段相等转化为角相等）、模型思想（角平分线+垂线段构造全等）、互逆思想（性质与判定互为逆定理），是培养学生几何推理能力的绝佳载体。

三、学情分析

知识储备层面：学生已经掌握了三角形全等的四种判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），能够进行规范的几何推理书写；具备基本的尺规作图能力（作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角）；对轴对称现象有直观感知。能力层面：八年级学生正处于由实验几何向论证几何过渡的关键期，能够通过折叠、测量等操作发现结论，但将操作结论转化为符号化证明仍是部分学生的障碍；对于互逆命题的理解尚处于萌芽阶段；辅助线的构造意识较弱，尤其是将“距离”转化为垂线段、利用截长补短构造全等存在认知跨度。心理层面：学生对有明确操作步骤的内容兴趣浓厚，但对纯形式化证明易产生畏难情绪，需借助几何画板动态演示及变式训练降低认知负荷。

四、核心素养目标

（一）数学抽象：经历将纸片折叠、几何画板度量等活动，从“折痕”“点到边的距离”等具体对象中抽象出角平分线的性质与判定定理，体会几何命题的来源与本质。

（二）逻辑推理：能运用角平分线的性质与判定进行一步推理及多步综合推理；能独立完成性质定理、判定定理及三角形角平分线共点性的证明，养成步步有据的推理习惯。

（三）数学建模：识别实际问题（如选址、路径规划、对称设计）中的角平分线模型，将现实问题转化为“点到角两边距离相等”的数学模型并求解。

（四）几何直观：通过尺规作图、动态图形演示，形成对角平分线作为“到角两边距离相等的点的集合”的空间观念；能根据题意准确添加垂线段、截长补短等辅助线。

（五）数学运算：在涉及角平分线、垂线段长度计算的综合题中，能准确进行代数式运算及方程求解。

（六）科学态度与创新意识：在小组合作探究三角形角平分线交点的过程中，经历猜想、反驳、验证、证明的全过程，培养批判性思维与严谨求实的科学态度。

五、教学重难点

【重点】角平分线的性质定理与判定定理的本质理解及规范应用；尺规作图作已知角的平分线。标注【非常重要】【高频考点】。

【难点】角平分线判定定理的证明思路（辅助线构造）；三角形三条角平分线交于一点的证明方法（二次使用性质、转化到同一顶点）；在复杂图形中识别角平分线模型并综合运用全等三角形知识解决问题。标注【难点】【综合应用】。

六、教学方法与准备

教法：基于问题链的探究式教学法、变式教学法、支架式教学法。学法：动手操作—观察猜想—演绎证明—变式迁移四步学习法。教学准备：教师端：几何画板动态课件（预设角平分线性质验证、三角形角平分线交点动画）、微课资源（尺规作图步骤详解）、分层作业电子文档；学生端：每人一张透明硫酸纸、直尺、圆规、三角板、彩色笔；小组端：锐角、直角、钝角三角形纸板各一套。

七、教学实施过程

第一课时：角平分线的性质定理与判定定理

（一）创境启思，引入新知【约6分钟】

教师播放一组生活与建筑中的对称画面：北京天坛圜丘坛台阶的中轴线、折叠式剪纸窗花的展开过程、高速公路出口分叉车道的实线标识。画面定格在一把木工角尺与一块待加工的木板前。教师描述实际问题：木工师傅需要在一块木板的边缘精确地画出一个角的平分线，以便对称地安装榫头。他手边只有直尺和圆规，你能帮他设计一个方案吗？学生根据小学经验会回答“用量角器”，教师追问：如果木板边缘是曲面，或者角的两边长度很大，量角器无法放置，怎么办？此时学生认知产生冲突，渴望一种仅用直尺和圆规就能完成作图的方法。教师顺势板书课题：角平分线。本环节渗透数学源于生活又服务于生活的价值观，标注【基础】。

（二）操作探思，发现性质【约15分钟】

教师分发透明硫酸纸，要求学生在纸上任意画一个角∠AOB，并将纸片对折，使角的两边OA与OB完全重合，展开后折痕记为射线OC。教师提问1：折痕OC与∠AOB有什么关系？学生齐答：平分这个角。教师肯定并指出：OC就是∠AOB的角平分线。提问2：在角平分线OC上任取一点P，分别过点P向角的两边作垂线，垂足为D、E。再次将纸片按原折痕对折，观察线段PD与PE会怎样？学生动手折叠，清晰看到PD与PE完全重合，因此猜想PD=PE。教师利用几何画板演示：在角平分线上拖动点P，度量PD与PE的长度，数据始终相等，验证了猜想具有一般性。此时教师引导学生将文字命题转化为已知、求证，并画出规范图形。已知：如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E。求证：PD=PE。学生独立尝试书写证明，教师巡视，收集典型错误（如误用SSA、未指明直角三角形）。一名中等水平学生板演：在△POD与△POE中，∠POD=∠POE，∠PDO=∠PEO=90°，OP=OP，∴△POD≌△POE（AAS），∴PD=PE。教师追问：还有不同的证明方法吗？有学生补充：连接DE，利用等腰三角形三线合一，但此法需先证OD=OE，反而更复杂。教师肯定不同思路并优化板书，强调符号语言的规范性：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE。归纳性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。教师特别强调“距离”特指垂线段的长度，非任意斜线段。本环节标注【非常重要】【高频考点】。

（三）逆思辨思，获得判定【约12分钟】

教师引导学生回顾原命题与逆命题的关系，提出问题：将性质定理的条件与结论互换，即“到角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，这句话正确吗？学生先凭直觉判断，部分学生认为正确，也有学生提出质疑：如果点在角的外部呢？教师肯定质疑，引导学生完善命题：必须在角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。学生分组画图、写已知、求证。已知：如图，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE，点P在∠AOB内部。求证：点P在∠AOB的平分线上。此处是本节课的第一个思维分水岭。教师不直接给出辅助线，而是启发：要证明一条射线是角平分线，本质是证明两个角相等，目前我们有哪些工具？学生回顾：全等三角形对应角相等、等腰三角形三线合一。教师追问：现在图形中有全等三角形吗？学生发现没有，需要构造。如何构造？连接OP是最自然的思路。学生继续证明：在Rt△POD与Rt△POE中，PD=PE，OP=OP，∴Rt△POD≌Rt△POE（HL），∴∠POD=∠POE，即OP平分∠AOB。教师板书判定定理及其符号语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上。教师强调：性质与判定是互逆定理，性质用于已知平分推线段相等，判定用于已知线段相等推平分。本环节标注【非常重要】【高频考点】。

（四）例题深思，内化原理【约14分钟】

教师呈现例1：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且BD=CD。求证：EB=FC。学生独立思考30秒后，教师引导分析思路：要证EB=FC，它们分别位于Rt△BDE和Rt△CDF中，只需证这两个直角三角形全等。已知BD=CD，还缺一组边或一组角。由AD平分∠BAC及DE⊥AB、DF⊥AC，利用性质可得DE=DF。因此Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），从而EB=FC。学生独立书写完整过程，教师展示一位学生的书写并点评几何语言严谨性。紧接着呈现变式1：将原题中的条件“BD=CD”与结论“EB=FC”互换，即已知AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，EB=FC，求证BD=CD。学生模仿证明，发现仍需先证DE=DF，再证Rt△BDE≌Rt△CDF，得BD=CD。变式2：如图，若将AD延长，交BC于点G，其他条件不变，图中还有哪些线段相等？学生小组交流，发现除了DE=DF，还有AE=AF（可由△ADE≌△ADF得到），以及利用面积法可得AB与AC的关系。教师适时渗透“角平分线+垂线段”的基本图形，并引导学生总结：凡遇角平分线及向角两边作垂线，优先联想距离相等。本环节标注【热点】【综合应用】。

（五）作图践思，技能达成【约10分钟】

教师提问：现在我们回到木工师傅的问题，不用量角器，仅用直尺和圆规如何作一个角的平分线？学生尝试设计，部分学生能回忆起小学接触过的“菱形对角线平分内角”思路，但语言表述不清。教师播放微课：尺规作图作已知角的平分线。步骤分解：1.以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点M、N；2.分别以点M、N为圆心，以大于½MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；3.作射线OC，则OC即为∠AOB的平分线。学生模仿作图，教师巡视，发现典型错误：半径取小于½MN导致两弧无交点；画弧时圆规尖滑动；所作射线不过点O。教师逐一纠正，并追问：为什么以大于½MN为半径？学生通过尝试发现，若半径等于或小于½MN，两弧要么相切要么相离，无法得到交点。教师进一步启发：你能用学过全等三角形的知识解释作图原理吗？学生小组讨论后回答：连接CM、CN，由作图可知OM=ON，CM=CN，OC=OC，∴△OMC≌△ONC（SSS），∴∠MOC=∠NOC，即OC平分∠AOB。教师总结：尺规作图本质是以全等三角形为理论依据。本环节标注【基础】【必考】。

（六）小结测思，反馈矫正【约8分钟】

教师组织学生绘制本节课的思维导图：一个定义（角平分线）、两个定理（性质、判定）、一种作图（尺规作图）。并强调性质是“由线推距”，判定是“由距推线”。当堂检测共5道题，时限5分钟：1.判断：到角两边距离相等的点一定在这个角的内部。（×，需强调“内部”）2.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，写出图中所有相等的线段。3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若BC=10，BD=6，则点D到AB的距离为____。4.已知△ABC，用尺规作△ABC的三个内角的平分线（只保留作图痕迹）。5.已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AP平分∠BAC。学生独立完成后小组互批，教师统计正确率，针对第5题中辅助线的添加进行点拨。本环节标注【基础】【高频考点】。

第二课时：三角形角平分线及综合应用

（一）回顾引思，激活经验【约4分钟】

教师投影展示上节课学生的优秀思维导图，带领学生快速回顾性质、判定及尺规作图。指名两名学生到黑板前，一人叙述角平分线性质定理的文字语言及符号语言，另一人板演尺规作图作一个钝角的平分线。教师针对钝角顶点处画弧可能出现的误区（弧需与两边延长线相交）进行强调。随后提出问题：将角平分线放入三角形中，三条角平分线会相交于一点吗？如果相交，这一点有什么特殊性质？学生猜想，答案不一。本环节标注【基础】。

（二）探究悟思，证明定理【约18分钟】

学生分组活动：每组三个三角形纸板（锐角、直角、钝角），学生分别作出每个三角形的三条角平分线，观察交点位置。组内汇总发现：无论哪种三角形，三条角平分线都交于三角形内部一点；锐角三角形交点严格在内，直角三角形交点在内且靠近直角顶点，钝角三角形交点在内靠近最大角顶点。教师用几何画板动态演示：拖动三角形顶点改变形状，三条角平分线始终交于一点，这一点称为三角形的内心。此时教师提出核心挑战：你能证明这个结论吗？学生感到困难，教师引导学生分解目标：要证三条角平分线交于一点，常规思路是先证两条角平分线交于一点，再证第三条角平分线经过该点。师生共同写出已知：如图，△ABC中，AD、BE分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，AD与BE相交于点I。求证：CI平分∠ACB。教师启发：证明一条射线是角平分线，现在有哪些方法？学生答：判定定理。教师追问：使用判定定理需要什么条件？学生：点I到∠ACB两边的距离相等。教师继续追问：如何构造距离？学生：过I向三角形的三边作垂线段。此时学生豁然开朗。一名学生代表板演：过点I分别作IF⊥AB于F，IG⊥BC于G，IH⊥AC于H。∵I在∠BAC的平分线上，IF⊥AB，IH⊥AC，∴IF=IH。同理，I在∠ABC的平分线上，IF⊥AB，IG⊥BC，∴IF=IG。∴IG=IH。又∵IG⊥BC，IH⊥AC，∴I在∠ACB的平分线上，即CI平分∠ACB。教师板书结论：三角形的三条角平分线交于一点，且这点到三角形三边的距离相等。教师介绍内心的概念，并指出该距离即内切圆半径。随后安排即时练习：已知△ABC的内心为I，若∠A=80°，求∠BIC的度数。学生独立完成，交流解法：利用内心定义及三角形内角和，得∠BIC=90°+½∠A=130°。教师推广：∠BIC=90°+½∠A，并类比引出两外角平分线交角公式。本环节标注【难点】【综合应用】。

（三）例题拓思，攻克综合【约16分钟】

教师呈现例2：如图，在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD、CE交于点O。求证：AC=AE+CD。学生读题后陷入沉思，教师引导学生观察线段AC与AE、CD的位置关系，启发思考：要证明一条线段等于两条线段的和，常用什么方法？部分学生回忆起“截长补短”。教师追问：截长还是补短？哪个更方便？学生在图中尝试：在AC上截取AF=AE，连接OF。若能证明CD=CF，则AC=AF+FC=AE+CD。如何证明CD=CF？需证△CDO≌△CFO。教师引导学生分析条件：由AD平分∠BAC，CE平分∠ACB，及∠B=60°，可推出∠AOC=120°，则∠AOE=∠COD=60°。由截取作法易证△AEO≌△AFO（SAS），得∠AOE=∠AOF=60°，则∠COF=60°，所以∠COD=∠COF=60°。又OC=OC，还需一组角相等？学生发现需证∠OCD=∠OCF，而这正是CE平分∠ACB的直接条件。因此△CDO≌△CFO（ASA），得CD=CF。至此结论成立。教师板书详细证明过程，并强调每一步推理的依据。随后呈现变式：若将条件“∠B=60°”改为“∠B=2∠ACB”，其他条件不变，AC与AE、CD仍有上述关系吗？学生课后探究。例2结束后，教师再出示一道坐标系中的角平分线问题：已知A（2，0），B（0，2），C（0，0），求∠BAC的平分线所在直线的解析式。引导学生将角平分线性质与坐标、距离公式结合，实现数形融合。本环节标注【热点】【压轴题型】。

（四）分层练思，差异发展【约10分钟】

A组基础巩固：1.教材习题1.9第1题（直接利用内心性质求角度）；2.已知三角形三边距离相等的一点必是____。3.判断：三角形内心到三个顶点的距离相等。（×）B组能力提升：1.如图，在四边形ABCD中，BC＞AB，AD=CD，BD平分∠ABC。求证：∠A+∠C=180°。教师提示：角平分线遇线段相等，常向两边作垂线，构造全等。2.在△ABC中，I是内心，若∠BIC=120°，求∠A的度数。C组拓展探究：阅读材料，了解角平分线定理（比例线段）及其证明方法（面积法），尝试用该定理重新证明三角形角平分线交于一点。各层次学生根据自身水平选择相应练习，教师巡视，个别辅导。本环节标注【分层】【素养】。

（五）网络建思，升华认知【约5分钟】

教师引导学生以小组为单位，将两节课的知识串联成网：一条主线（角平分线的定义→性质→判定→应用），两个模型（单角平分线模型、双角平分线模型），三种思想（转化、互逆、模型），四个基本图形（垂线段双全等、内心与三边、截长补短、坐标系垂直）。学生完善自己的思维导图，并交换补充。教师随机抽取一组展示，并追问：你认为角平分线与之前学习的哪一部分知识联系最紧密？学生回答：全等三角形、轴对称。教师肯定并预告：接下来我们将学习中线的性质，它与角平分线有相似的探究路径，请同学们课后类比预习。最后布置作业。

八、板书设计

第一课时黑板布局：左板核心区书写“角平分线性质定理：∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD=PE。”及“角平分线判定定理：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上。”中板画图区：展示折叠法示意图及尺规作图步骤分解图。右板例题区：保留例1及其变式的完整证明板书，红色粉笔标注关键推理步骤。

第二