河南省商丘市华大新高考联盟2026届高三下学期4月联考模拟预测数学试卷（含答案）

河南商丘市华大新高考联盟2026届高三4月联考模拟预测数学试卷一、单选题1．记数列的前项和为，若，则当取最小值时，（

）A．2 B．3 C．4 D．52．的虚部为（

）A． B． C． D．3．已知全集，集合，则的真子集个数为（

）A．3 B．7 C．15 D．314．已知一组数据1，2，4，6，8，10，的上四分位数为，则的值可能是（

）A．3 B．5 C．7 D．95．若双曲线：（，）的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程为（

）A． B． C． D．6．已知实数，满足，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知平面向量，，若，且，的终边不关于轴对称，则（

）A． B． C． D．8．已知体积为的圆锥的母线与底面的夹角为60°，若体积为的带蓝色颜料的小球在该圆锥内滚动，则在滚动的过程中，圆锥的内侧面（不含底面）被染成蓝色区域的面积为（

）A． B． C． D．二、多选题9．如图，已知四棱锥，其中底面为正方形，平面，为线段的中点，与交于点，，，则（

）

A．平面 B．平面C．二面角的余弦值为 D．直线与所成的角为10．已知函数，若的解集为或，则（

）A．B．在上单调递增C．的图象的对称中心的纵坐标为D．不等式的解为11．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，，是椭圆上不同的两点，为坐标原点，则（

）A．B．以为直径的圆与以为直径的圆内切C．若点，能够关于直线对称，则D．若，则的面积的取值范围为三、填空题12．将编号为1、2、3、4、5的5个小球放入编号为1、2、3、4、5的5个盒子中，每个盒子中仅放1个球，则至少2个小球的编号与盒子的编号一致的概率为______.13．已知数列和分别是公差为的等差数列和公比为的等比数列，且，若数列的前5项和与数列的前4项和相等，则______.14．若函数，其中，则曲线的对称中心的坐标为______.四、解答题15．研究机构对某省内所有“985工程”院校专业毕业十年的毕业生的年薪情况进行调研，所得数据统计如图所示，已知.(1)求，的值；(2)以频率估计概率，若在所有被调研的毕业生中随机抽取4人，记年薪在万元的人数为，求的分布列以及数学期望.16．在中，角，，所对的边分别为，，，且，.(1)求的值以及的面积；(2)已知点在线段上，若，且，求的值.17．如图，在四棱台中，四边形为梯形，，，，点在线段上，且平面.(1)求的值；(2)若平面与平面间的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.18．已知抛物线：（）的焦点为，直线与抛物线交于，两点，当直线的倾斜角为120°且，，三点共线时，.(1)求抛物线的方程；(2)若直线过点，点在抛物线上，且，关于直线对称，求；(3)已知直线与抛物线的准线交于点，且直线不过点，探究：是否为的外角平分线，并说明理由.19．已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫作把点绕点逆时针方向旋转角得到点.(1)将曲线（）绕坐标原点逆时针旋转后，所得曲线是某个函数的图象，求实数的取值范围.(2)已知曲线：.（ⅰ）求证：曲线关于直线对称.（ⅱ）已知直线：，探究：是否存在，，使得直线在曲线的上方，若存在，分别写出，满足的条件；若不存在，请说明理由.参考答案1．C2．C3．B4．D5．A6．B7．D8．B9．ABD10．ABD11．ABD12．13．7614．15．（1）依题意可知组距为，则，解得.（2）依题意可知年薪在万元之间的概率为，随机变量服从二项分布，即；则，，，，.分布列如下表所示.01234故.16．（1）由正弦定理得，，故.因为，，所以，则，故，，所以，.（2）如图，，

故.在中，由正弦定理得，，在中，由正弦定理得，，又因为，所以，故，所以.所以,所以,因为，所以,所以.17．（1）如图，连接，因为，所以，，，四点共面.因为平面，平面平面，平面，故，故四边形是平行四边形，所以.易知，因为，所以，所以.（2）如图，以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，由，得，故.，，设为平面的法向量，则，即，令，则，故平面的一个法向量为，故直线与平面所成角的正弦值.18．（1）当直线的倾斜角为且，，三点共线时，直线：，联立则.设，，故，则，故抛物线的方程为.（2）设直线，联立，得，则，，.设，则解得，，则，解得，则，则.（3）直线的斜率为，直线的方程为，代入并整理得，令得，，则.焦点的坐标为，直线的方程为，整理得，则点到直线的距离，同理，点到直线的距离，由及直线与抛物线的位置关系，可得直线是的外角平分线.19．（1）将和绕坐标原点顺时针旋转后，分别得到，，当时，，故问题转化为曲线与直线有且仅有一个交点，令，则，当时，由切线不等式可知，当且仅当时，等号成立，故当时，；当时，因为，故，当且仅当时，等号成立．综上所述，实数的取值范围是．（2）（i）设点在曲线上，则，所以，因为点关于直线对称的点为，所以曲线关于直线对称．（ii），将曲线绕坐标原点顺时针旋转后得到曲线，由旋转公式可得,则代入曲线得，整理得，显然，故曲线的方程为．因为，所以，令，则，令，得，，因