矩形课件2025-2026学年数学人教版八年级下册

21.3.1矩形

矩形的性质定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形性质：矩形除具有平行四边形的性质，还具有四个角都是直角，对角线相等这两个特殊性质证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°. 在△ABC和△DCB

中，

∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC＝DB. 【推导】如图，四边形ABCD是矩形，对角线

AC

与

DB

相交于点O.求证：AC＝DB. 如图，在矩形ABCD中，延长BC到点E，延长CB到点F，使BF＝CE，AE，DF交于点G.求证：

GE＝GF.证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°. ∵BF＝CE，∴BF＋BC＝CE＋BC.∴CF＝BE. 在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF(SAS).∴∠E＝∠F.∴GE＝GF. 解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，

OA＝AC，OB＝BD＝4，

∴OA＝OB. 又∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形．

∴AB＝OB＝4.(RJ八下P69例1·改编)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，BD＝8，求AB的长．

(RJ八下P70T1·改编)一个矩形的一条对角线长为20，两条对角线相交所成的角中有一个为120°.求这个矩形的面积．∴∠AOB＝60°，AC＝BD，OA＝OC，

OB＝OD，∠ABC＝90°，

∴OA＝OB＝AC＝10. ∴△AOB是等边三角形．

∴AB＝OA＝10.∴BC＝. ∴S矩形ABCD＝BC·AB＝. 解：如图，在矩形ABCD中， ∠AOD＝120°，AC＝20. 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

如图，在△ABC

中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线，若BD＝6cm，则AC＝_______cm. 12如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，两条直角边BC和AC的边长分别为6和8，则斜边AB上的中线CD的长为_______．51.如图，在△ABC中，AC⊥BC，D是边AB的中点，BD＝4，则CD的长为

()A．3B．4C．5D．8B2.写出一条矩形特殊于平行四边形的性质：____________________________．

3.如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，∠AOD＝110°，则∠OAD的度数是_______．

两条对角线相等(答案不唯一)35°解：是．理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AC＝BD. 又∵AC∥DE，

∴四边形ACED是平行四边形．∴AC＝DE. ∴BD＝DE. ∴△DBE是等腰三角形．

4.(RJ八下P70T2)如图，四边形ABCD是矩形，点E在BC的延长线上，DE∥AC.△DBE是等腰三角形吗？试说明理由．5.如图，矩形ABCD的面积为128cm2，对角线AC，BD相交于点O1，以AB，AO1为邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交于点O2，同样以AB，AO2为邻边作平行四边形ABC2O2，……依此类推，则平行四边形ABC5O5的面积为()A.1cm2B．4cm2C．64cm2D．512cm2

B解：∵BF，CE是△ABC的高，

∴∠BFC＝∠BEC＝90°. ∵D是△ABC的边BC上的中点，

∴DE＝BC，DF＝BC. ∴DE＝DF. 又∵H是FE的中点，∴DH⊥EF. 6.如图，D是△ABC的边BC上的中点，BF，CE是△ABC的高，连接FE，H是FE的中点，试说明DH⊥EF. 7.(面积法·思想方法)如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12，对角线AC，BD相交于点O，P是线段AD上任意一点，且PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为()A.

B． C．

D．C

矩形的判定如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，F在边CD上，CF＝AE，连接BF.求证：四边形BFDE是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD. 又∵CF＝AE，∴DF＝BE. 又∵DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形．

∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°.∴四边形BFDE是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，即AF∥ED. 又∵DF∥EA，

∴四边形AEDF是平行四边形．

∵AE⊥DC，∴∠E＝90°.∴四边形AEDF是矩形．

如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC交DC的延长线于点E，过点D作DF∥EA交BA的延长线于点F.求证：四边形AEDF是矩形．解：它是一个矩形．理由如下：

∵两组对边分别相等，

∴四边形ABCD是平行四边形．

又∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形．(RJ八下P70情境·改编)如图，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求(即门框是否为矩形)，在确保两组对边分别相等的前提下，若测量出对角线AC，BD的长度相等，它是一个矩形吗？为什么？

解：它是一个矩形．理由如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝OC，BO＝OD. ∵∠1＝∠2，∴OB＝OC. ∴AO＝OC＝BO＝OD.∴AC＝BD. ∴四边形ABCD是矩形．

(RJ八下P78T1)如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，且∠1＝∠2.它是一个矩形吗？为什么？∴∠CAB＝∠MAB，∠CBA＝∠NBA，∠DAB＝∠PAB. ∵a∥b，如图，A，B分别为直线a，b上任意一点，并且a∥b，连接AB，分别作两组同旁内角的平分线，分别相交于点C，D，求证：四边形ACBD是矩形．

证明：如图，∵AC，BC，AD分别平分∠MAB，∠NBA，∠PAB，∴∠MAB＋∠NBA＝180°. ∴∠CAB＋∠CBA＝(∠MAB＋∠NBA)＝90°. ∴∠C＝90°. ∵∠PAB＋∠MAB＝180°，∴∠CAB＋∠DAB＝90°，即∠CAD＝90°.同理∠D＝90°.∴四边形ACBD是矩形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD. ∴∠ABC＋∠BCD＝180°. ∵BH，CH分别平分∠ABC与∠BCD，

∴∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠BCD. (RJ八下P71例2·改编)如图，▱ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形．∴∠HBC＋∠HCB＝(∠ABC＋∠BCD)

＝×180°

＝90°.∴∠H＝90°. 同理∠AEB＝∠F＝90°.∴∠HEF＝∠AEB＝90°. ∴四边形EFGH是矩形．

1.依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是()A2.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AE＝CF，添加一个适当的条件，使四边形BEDF是矩形，这个条件可以是______________________．

BD＝EF(答案不唯一)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC. ∵E是边CD的中点，∴DE＝CE. ∵△ABE是等边三角形，

∴EA＝EB.∴△ADE≌△BCE(SSS). ∴∠D＝∠C. ∵AD∥BC，∴∠D＋∠C＝180°.∴∠D＝90°.∴四边形ABCD是矩形．

3.如图，在▱ABCD中，E是边CD的中点，△ABE是等边三角形．求证：四边形ABCD是矩形．

证明：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE. ∵E是线段AD的中点，∴AE＝DE. 又∵∠AEF＝∠DEB，

4.(RJ八下P71T3)如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.求证：四边形ADCF是矩形．∴△FAE≌△BDE(AAS).∴AF＝BD. ∵D是线段BC的中点，∴BD＝CD.∴AF＝CD. 又∵AF∥CD，∴四边形ADCF是平行四边形．∵AB＝AC，BD＝CD，∴∠ADC＝90°. ∴四边形ADCF是矩形．

证明：∵AP，AQ分别是∠NAC和∠MAC的平分线，∴∠CAD＝∠NAC，∠CAB＝∠MAC. 又∵∠NAC＋∠MAC＝180°，

∴∠CAD＋∠CAB＝(∠NAC＋∠MAC)＝90°，

即∠BAD＝90°. ∵CB⊥AQ，CD⊥AP，∴∠ABC＝∠ADC＝90°＝∠BAD.∴四边形ABCD是矩形．

5.如图，A是直线MN上一点，AP，AQ分别是∠N