高中数学分层练习（中档题）平面向量（20题）

平面向量

一、单选题

1.已知向量P，“满足：恸=2,（万一办"=-2,则号在「上的投影向量为（）

A.B.（2,-2）C.（-V2,V2）D.（1,-1）

2.若3,坂是两个单位向量，|22+闸=|£-24，则向量z与向量加的夹角的余弦值（）

A.0B.gC.1D.-1

3.已知向量2d满足|2-刈=痴+5|,|Z|=G出|,则向量）与Z+B的夹角的余弦值等于（）

A.0B.；C.也D.正

222

4.已知直角梯形ABC。中，AB//CD,AB±AD,A8=2CQ=2A£）=2,点M在线段BC

UIWUUU

上，且8c=2BM，则（）

A.—B.1C.!D.2

22

5.在VA3C中，角A,从C的对边分别为a2,c,C=],若碗=（。一指,。一人），/；=（«-/?,c+x/6）,

且而//方，则V4BC的面积为（）

A.3B.蛀

2

C.—D.373

2

6.已知4=（2,1）石=（-3,4）,若表示向量力+4〃,-35忑的有向线段首尾相接能构成三角形,

则向量^为（）

A.（-15,31）B.（15,-31）C.（3,7）D.（-3,-7）

7.若非零向量d,B满足同=2忖，且向量B在向量往上的投影向量是-5心则向量d与5的

夹角为（）

n-2几_5n一

A.-B.—C.—D.兀

636

8.已知直线/:尔+）­〃-1=0与圆C:（x-2『+y2=4相交于M、N两点，则|断+的的

最大值为（）.

A.2GB.2>/2C.4D.-y

9.已知在正方形A8CQ中，AC与8。相交于点QE为AC的中点，与CO相交于点尸,M

为"'的中点，若瓦/=春月+〃4万，则4+2〃的值为()

12

A.1B.—C.—D.—1

63

10.在VAAC中，AB-2,AC-3,RD-DC,AE-2EB.若4方+B=2A豆+〃4?,则4+〃

的值为()

A.之

12

二、填空题

11.已知。为单位向量.囚=(1。0),若卜-3同=1,则占在6上的投影向量的坐标为.

12.已知向量下=(cosO,sin。)4=(-6,1),则悔-同的最大值为.

13.已知单位向量B，^满足@+3+1=0，则.

14.已知G与b为单位向量，且满足(5己+与_1.+3方)，则。与方的夹角.

15.已知正方形A8C。的边长为2,且屈=比方,荏丽=2，则义=.

16.设4=(1,-2),b=(x,y),若f+)2=16,则，.石的最大值为.

17.在VA4C中，。为边3c的中点，中线A。上有一点。满足丽=—2而，且

|BC|=4,BXCA=32,则§户C户二.

18.已知向量痴的夹角为且同=1,W=6,则a+可=.

19.如图，在VA8C中，BD=2DC，AE=mAB^/=〃祝，〃?>0,〃>0,若。，E,

/三点共线，则〃?+〃的最小值为.

20.已知锐角V/WC的内角人仇C的对边分别为。也c.若向量所=(a-〃,sinC),

"=(c-&"sirL4+sinB),且加=几双2工0),c=2,则拜A=;VA3C的面积的取值范

围为.

《平面向量》参考答案

题号1234567891()

答案DADACDBBDC

1.D

U1I

【分析】根据题意结合数量积可得pq=2,再结合投影向量的定义运算求解.

【解析】由题意可知；|力=0,

因为(p-q)•q=p,q-q=-2»即〃-g-4=-2，可得pq=2.

所以“在万上的投影向量为［登）mu

P=P=(h-l).

故选：D.

2.A

【分析】根据数量积的性质得到%+班，然后整理得（海）=90。，最后求余弦值

即可.

【解析】由题意得=卜一3，即4H+4a­b+W=k|一4〃•。+4忖,

即11=0,所以&&=900,cos（Z用=0.

故选：A.

3.D

【分析】利用已知可求得小①+方=3|仃，卜+5卜2同，进而利用向量的夹角公式可求

cos〈d,d+〃〉.

【解析】因为-〃|=|£+5|,两边平方得一2〃1+分~=a"+2a•5+，所以4$=0，

a-(a+b)=a2+a-b=3\b\2I2dhib2=2同,

3|6|2

所以cos〈a,"+6〉=一遭

砸+H2GIW—2,

故选：D.

4.A

【分析】建立如图所示直角坐标系，设“（X,），），利用向量共线求出点M，再利用向量的

答案第3页，共10页

数量积求解即可.

【解析】依题意，在坐标系中表示直角梯形A3CO,4(0,0),8(2,0),D(0,-l),

BC=(-1-1),设〃(用江

因为品=2戡，所以(-1,-1)=2(工-2,亦即，。1

2y=-1

所以mi所以加二

,BM=，-

1z/)<-22?

-----331_1

所以AA/4M=^x+--

2)442,

【分析】由向量平行的坐标表示结合余弦定理可得必=6,再由三角形的面积公式求解即可;

【解析】因历=卜一遍,4—Z?),“=(4-尻0+#)，且石〃日，

所以(a—b『=(c—#)卜+6)，化为/+〃2一°2二2必一6.

a2+b2-c2_2ab-6_1

所以C哈解得〃/?=6.

2ablab~2

，岫inC，6x旦述.

所以SAM

2222

故选：C.

6.D

【分析】由题意有3Z+4B-3加+2=0,结合已知向量坐标及线性运算的坐标表示求向量"

【解析】由题设3办好=(-6,19),-3各=(9,-12),

由向量3/+4/；,-3氏0的有向线段首尾相接能构成三角形,

所以3Z+4方-3万+2=。，则1=(-3,-7).

故选：D

7.B

答案第4页，共10页

【分析】运用投影向量的公式，结合数量积运算即可.

ah-1.

【解析】6在。上投影向量而.〃=一］。，

ahI己11i2

mF4411

则M/力r\丽cib二函；F1

2

由于«石”［（）川，.・.他9=年，

故选：B.

8.B

【分析】先求出直线/所过的定点A,

方法一：取MN中点3,易得|西+,|=2］函进而可得出答案.

方法二：设函、国夹角为0,将|CV/+CN］平方，结合数量积的运算律及余弦定理化简

即可得解.

【解析］由/:〃坟+）'_m_］=0,得/〃（工_1）+）」］=0,

1=0x=I

令＜，解得

y-1=01)'=1t

所以直线/过定点4（1,1）,

由（%一2）2+），2=4得圆心C（2,0）,半径r=2

方法一：如图，取MN中点8,

答案第5页，共10页

y

CM+C7V=2|CT|<2|c%|=2>/2,

当且仅当A8两点重合时取等号,

所闵右必I网的最大值为2&.

方法二：（平方法）设两、函夹角为0,

两+西*=（而『+2两访+（国丫=4+4+2画]|网cos。

=8+8cos<9=8+8瓯•画°”:零一芈L

1[2|CA/|-|GV|,

（4+4-1^*,,2

=8+8-------鼻——-=16-|M^|',

当C4与MN垂直时，|MW|最小，并且最小值为24前=2夜，

此时|CA/+CT/=8,KP|CM+C/V|=2五.

Imax1•max

故选：B.

9.D

【分析】结合图形，由平面向量的加法法则求解即可；

【解析】如图所示，因为4c与8。相交于点。，所以。为8。的中点,

又因为E为8C的中点，所以b为△£）口?的重心，所以。£=2庄,

又因为M为。尸的中点，所以£＞河=M£=在，

所以由=c/5+加=cD+；=c75+；（od+c£）

答案第6页，共10页

_1__1_2___1—2-1一

=-DC+-DC+-CE=——DC+-CB=——AB——AD.

333636

2|

所以=一所以义+2〃=7.

36

故选：D.

10.C

【分析】由。为4c的中点得到A方=：（4b+/），再由=即可求解;

JJ

【解析】因为丽=配，所以。为4c的中点，所以人力=（（人月+AC）.

又荏=2万，所以从£=:而，所以屈二m+通工屈-北，

所以赤+屈=g（而+前）+|而_/=,而

712

所以4=2,〃=一彳，所以4+〃=彳.

623

故选：C

II.,0,0

【分析】根据模与向量的关系求出7/；的值，再根据Z在另上的投影向量公式求出答案即可.

【解析】向二|1|=|,

由题可得：区-何=’卜一回『=J（万）2-2""+"动

=y]\+2-2\/2a-b-1♦可得。5»

__a・〃y^2£•

则a在人上的投影向量为下^=《"。=

故答案为:

12.4

答案第7页，共10页

【分析】首先表示出2,的坐标，再根据向量模的坐标表示、三角恒等变换公式及余弦函

数的性质计算可得.

【解析】因为4=(cosasin0)f百，1),

所以2%一5=2(cose,sine)-h外,l)=(2cos3+G,2sin6-l),

所以忸一万卜J(2cos0+J3)+(2sin0—

=j4cos26+4>/5cose+3+乙sin2。-4sin6+1

=j8+8cos(9+J

所以当0+t=2E,&wZ,即0=q+2E«wZ时忸—可取得最大值，且忸—同”「4.

故答案为：4

13.--

2

【分析】由题意作图，根据平面向量线性运算的几何意义，结合数量积的定义式，可得答案.

【解析】由题意，作等腰V/tAC,且人A=AC=1,记BC的中点为。，连接人£),如下图：

设布=£,AC=i，

由图可知A方=g(A月+A0)=《(£+'=-；6,

由坂为单位向量，贝川而卜

在等腰VA8C中，易知AD1BC,

An1

在RtA>4O8中，sin«=—=-,则N8=30’，即N8AC=120,

AB2

所以D=A瓦=|祠•k4-cos//MC=—g.

故答案为：-;.

14.—/-^

33

【分析】根据向量垂直，却可得cos-d/-=-g,即可求解.

答案第8页，共10页

【解析】因为％与G为单位向量，则同=1,忖=1,

又(5@+B)_LR+35),

.•.(5。+5)・3+35)=5|万『+16不5+3|5|2=0,

r-1

/.8+16cos♦a,b♦=0,则cos@6〉=—,

2

又值出〉＜0,可，所以G与/；的夹角为华.

故答案为：Y-

15.-/0.5

2

【分析】由平面向量的线性运算及数量积运算即可求解.

【解析】由题意，CE=XCD，则瓦=(1-团反

所以荏=而+屁=而+(1—/1)成，~BD=~BA+~AD=AD-DC^

所以荏.初=［而+(1_为阿•闻-咐

=AD+(\-A-\)ADDC-(\-^DC

=4-4(1-A)=2,

解得否;.

故答案为：y.

16.475

答案第9页，共10页

【分析】由已知，利用三侑换元即可求得7万的最大值.

【解析】:乙=(1,-2),/?=(x,>'),:.ab=x-2y,

又/+),2=[6,=4cosy=4sin0,

贝Itz/?=4cos^-2x4sin<9=4cos^-8sin^

=42+8。cos(e+p)=4>/^cos(e+e),其中tan(p=2,

因为cos(e+°)的最大值为1,

所以13的最大值为4百.

故答案为：46.

17.12

【分析】运用向量数量积的运算，结合向量三角形法则直接计算即可.

【解析】在V48C中，因为。是边8c的中点，

所以丽京=(而+方)[①+方)=(而+方)]一册十方上方2—丽2,

又|叫二三明=2,丽a=32,所以用丁/『=32+2。=36,所以AZ)=6.

乂因为加二-2而，所以|四=4,

所以而•行=(而+所卜而+而)=尸+丽).(丽・丽)

=DP2-BD=42-22=12«

故答案为：12.

18.V13

【分析】借助向量模长与数量积的关系以及向量的数量积公式计算即可得.

【解析】悭+B卜J(2d+5)=,4同2+4同.忖.8$(1,5)+恸

=,F+4X1X百x*+(同=713.

答案第10页，共10页

故答案为：\/\3.

19,淮

3

【分析】结合图形由平面向量的基本定理可得上1+±2=3,再利用基本不等式的乘“1”法可得

mn

答案.

【解析】由访=2方已得而一诉二2（/一而），[^AD=\AB^AC=^-AE^^AF,

'/333m3〃

•・•。，E,尸三点共线，

12,

..----+----=],

3m3〃

1z/12'\1八〃2〃。、3+2&

：.ni+n=-（tn+n）—+—=-3+—+——>-----------,

3mnJ3v,nn73

当且仅当，〃=比里，〃=叵吆时取等号，

33

所以〃什〃的最小值为小逑.

3

故答案为：3+2立

3

20.-（1，2）

4

【分析】由坐标