高中数学人教A版必修2例题、课后习题及变式题-基本立体图形

8.1基本立体图形

例1将下列各类几何体之间的关系用Venn图表示出来：

多面体，长方体，棱柱，棱锥，棱台，直棱柱，四面体，平行六面体.

解：如图81-9所示.

图8.19

练习

1.观察图中的物体，说出它们的主要结构特征.

(1)(2)(3)(4)

2.判断下列命题是否正确，正确的在括号内写正确，错误的写错误.

1.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体.()

2.四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体.()

3.填空题

2.一个几何体由7个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他各面都是全等的

矩形，则这个几何体是.

3.一个多面体最少有个面，此时这个多面体是.

4.设计一个平面图形，使它能折成一个直三棱柱.

例2如图8.1-15(1),以直角梯形力的下底力8所在直线为轴，其余三边旋转一周形

成的面围成一个几何体.说出这个几何体的结构特征.

解：几何体如图8.1-15(2)所示，其中。垂足为£

A

这个几何体是由圆柱和圆锥力E组合而成的.其中圆柱BE的底面分别是04和。E,侧

面是由梯形的上底C。绕轴力8旋转形成的；圆锥力石的底面是0E,侧面是由梯形的边

力。绕轴力8旋转而成的.

练习

1.观察图中的物体，说出它们的主要结构特征.

3.如图，以三角形4BC的一边力8所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几

何体.说出这个几何体的结构特征.

4.观察我们周围的物体，说出这些物体所表示的几何体的主要结构特征.

习题8.1

复习巩固

1.如图，在长方体48CO-4用GR中，指出经过顶点。的棱和面.

【答案】DA,DC,DD[,平面力8C。、平面4。。/,平面CDRG.

【解析】

【分析】

根据图像直接写出过点D的三条棱和三个平面.

【详解】经过顶点。的棱有。4。。,QR,经过顶点。的面有平面44CQ、平面

ADD4,平面CQQG.

【点睛】本题考查过点的直线和平面，属于基础题.

2.如图，下列几何体中为棱柱的是.（填写序号）

(1)(2)(3)(4)

(5)(6)(7)

【答案】(1)(3)(5).

【解析】

【分析】

根据棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边

形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.进行判断即可二

【详解】观察图形得：“有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个

四边形的公共边都互相平行”的几何体有：

①③⑤，只有它们是棱柱，

故答案为：①③©

【点睛】本题主耍考查r棱柱的结构特征,属于基础题.

3.充满气的车轮内胎可由下面某个图形绕对称轴旋转而成，这个图形是()

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：由已知可得选项C绕对称轴旋转才能形成充满气的车轮内胎,

故选C.

考点：空间几何体.

4.如图，判断下列几何体是不是台体，并说明为什么.

1%

【答案】见解析

【解析】

【分析】

根据台体的定义判断即可.

【详解】解：（1）不是台体，因为该几何体的“侧棱”的延长线不是相交于一点，故

不是台体；

（2）（3）也不是台体，因为不是由平行于棱锥和圆锥底面的平面截得的几何体，截

面与底面不平行；

【点睛】本题考查台体的定义，属于基础题

5.如图，说出图中两个几何体的结构特征.

【答案】（1）由圆锥和圆台组合而成的简单组合体.（2）由四梭柱和四棱锥组合而

成的简单组合体.

【解析】

【分析】

根据图形将其分解成几个常见几何体并将其归类处理，即可得出结论.

【详解】解：几何体（I）是圆台上拼接了一个与圆台上底同底的圆锥；

几何体（2）是长方体上拼接了一个同底的四棱锥：

【点睛】本题考查常见几何体的组合结构特征，需要根据图形将其分解成几个常见

几何体并将其归类处理.

综合运用

6.判断下列命题是否正确，正确的在括号内写正确，错误的写错误.

6.一个棱柱至少有5个面.（）

【答案】正确

【解析】

【分析】根据棱柱的结构特征判断.

【详解】棱柱的结构特征：①、两底面互相平行；②、侧面是平行四边形；③、侧

棱互相平行且相等；

而底面多边形的边数最少为3,此时棱柱为三棱柱，所以棱柱至少有5个面.故说法

正确.

故答案为：正确

7.平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形.（）

【答案】正确

【解析】

【分析】根据平行六面体的结构特征判断.

【洋解】底面是平行四边形，侧棱和底面垂直的的棱柱称为平行六面体，平行六面

体中相对的两个面是全等的平行四边形，满足平行六面体的特征，所以正确.

故答案为：正确

8.有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥.（）

【答案】V

【解析】

【分析】结合棱锥的定义即可判断•

【详解】棱锥的所有侧面均为交于一点的三角形，底面为多边形，所以有一个面是

四边形的棱锥一定是四棱锥.

故答案为：V

9.正极锥的侧面是全等的等腰三角形.（）

【答案】正确

【解析】

【分析】根正棱铢的定义判断即可

【详解】因为正棱铢的测棱都相等，R底面是正多边形,

所以正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，

故答案为：正确

10.如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是

【答案】D

【解析】

【分析】

根据模型中相邻的面折成长方体以后仍相邻，即可作出判断.

【详解】解：D折成的长方体有两组对面是黑色的.一组对面是白色的.

故选：D.

【点睛】本题考查了图形的折叠，考查空间想象能力是此类题目的目的.

11.如图，长方体'被一个平面截成两个几何体，其中

E，//*C'//R7.请说出这两个几何体的名称.

【答案】一个几何体为五棱柱48匹£/-0。6，//，另一个几何体为三棱柱

EFB-HGC.

【解析】

【分析】

根据棱柱的定义可以判断两部分均为棱柱.

【详解】几何体£五8'-〃6。’,根据原几何体为长方体有：面EFB'P而HGC',其余

各面（侧面）均为平行四边形且相邻平行四边形的公共边平行，所以为三棱柱.

几何体ABFEA'-DCGHD'，根据原几何体为长方体有：面力BFEAP面DCGH）,

其余各面（侧面）均为平行四边形且相邻平行四边形的公共边平行，所以为五棱柱.

【点睛】本题考查棱柱的概念，判断几何体是棱柱，屈于基础题.

12.如图，以0/8。。的一边力8所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一

个几何体，画出这个几何体的图形，并说出其中的简单几何体及有关的结构特征.

C

H

【答案】见解析

【解析】

【分析】

画出满足条件的旋转体，进而可分析出几何体的结构特征.

【详解】这个几何体的图形如图，下半截是一个圆锥，上半截是一个圆柱挖去一个

圆锥的组合体.

【点睛】本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握各种旋转体的几何特征，是解答的

关键.属于基础题.

拓广探索

13.下列命题是否正确？若正确，请说明理由；若错误，请举出反例.

（1）有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱：

（2）有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台.

【答案】（1）错误，反例见解析，（2）错误，反例见解析

【解析】

【分析】

根据棱柱和棱台的定义进行判断.

【详解】（1）错误，还必须满足满足相邻平行四边形的公共边平行，反例如图①.

（2）错误，还必须满足侧棱的延长线交于一点，反例如图②.

【点睛】本题考杳棱柱和棱台的概念和性质，属于基础题.

变式练习题

14.下列空间图形中是棱台的为.（填序号）

【答案】③

【解析】

【分析】根据棱台的定义和性质判定.

【详解】由棱台的定义知，棱台的上底面必须与下底面平行，且侧棱延长后交于同

一点.图①中侧棱延长后不能交于同一点，图②中上底面不平行于下底面，故图①和

图②都不是棱台.图③符合楼台的定义与结构特征.

故答案为：③

15.下列说法中正确的是（）

A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

B.在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对

的面不一定可当作它的底面

C.棱柱的侧面都是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

D.在棱柱的面中，至少有两个面互相平行

【答案】D

【解析】

【分析】根据棱柱的结构特征依次分析各选项即可得答案.

【详解】解：对于A,正六棱柱的两个相对的侧面互相平行，但不是棱柱的底面，

故错误；

对于B,平行六面体中任意两个相对的面一定可以当作它的底面，故错误；

对于C,平行六面体的恻面都是平行四边形，底面也是平行四边形，故错误；

对于D,棱柱中至少有两个底面互相平行，故正确.

故选：D

16.观察下图，分别判断①中的三棱镜和②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的

平面，其中能作为棱柱底面的分别有几对.

【答案】图①中有1对，图②中有4对互相平行的平面；图①中有1对，图②中有

1对可以作为棱柱的底面.

【解析】

【分析】根据三棱柱和六棱柱的性质计数即可.

【详解】根据三棱柱的性质，只有两个底面是互相平行的，根据正六棱柱的性质，

可知图②中有四对互相平行的平面,但能够作为棱柱的底面的都是只有一对,分别

是ABC-A^C^WABCDEF-A'B'CD'E'F'.

17.画一个六面体：

（1）使它是一个四棱柱；

2）使它是由两个三棱锥组成的；

（3）使它是五棱锥.

【答案】（1）图象见解析

（2）图象见解析（3）图象见解析

【解析】

【分析】根据四棱柱、三棱锥、五棱锥的定义作图.

（1）两个面（四边形）互相平行，其余各面都是平行四边形；

（2）共底面的两个三棱锥，顶点在这个底面的两侧，注意凸多面体形状;

（3）底面是五边形的棱锥.

【小问1详解】

如图①所示.

图①

【小问2详解】

如图②所示.

图②

【小问3详解】

如图③所示.

图③

18.下列命题中正确的个数是.

①圆柱的轴经过上、下底面的圆心；

②圆柱的母线长都相等，并且都等于圆柱的高；

③平行于圆柱底面的平面截圆柱所得的截面是和底面全等的圆；

④经过圆柱轴的平面截圆柱所得的截面是矩形，这个矩形的一组对边是母线，另一

组对边是底面圆的直径；

⑤一个等腰直角三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一周所形成的两个圆锥是

相同的两个圆锥：

⑥圆锥顶点与底面圆周上.任意一点的连线是圆锥的母线.

【答案】6

【解析】

【分析】山圆柱的概念可判断①②③④，利用圆锥的概念判断⑤⑥.

【详解】由圆柱的结构特征可知，圆柱的轴经过上、下底面的圆心，故①正确；

圆柱的母线长都相等，并旦都等于圆柱的高，故②正确；

平行于圆柱底面的平面截圆柱所得的截面是和底面全等的圆，故③正确：

经过圆柱轴的平面截圆柱所得的截面是矩形，这个矩形的一组对边是母线，另一组

对边是底面圆的直径，故④正确：

由旋转体的定义可知，一个等腰直角三角形分别绕其两条直角边所在直线旋转一周

所形成的两个圆锥是相司的两个圆锥，故⑤正确；

由圆锦的结构特征可知，圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线，故

⑥正确.

故答案为：6.

19.指出图中三个空间图形的构成.

【答案】答案见解析.

【解析】

【分析】根据几何体的结构特征依次分析说明即可.

【详解】解：图①中的空间图形是由一个圆锥和一个四棱柱组合而成的，其中上面

是圆锥，下面是四棱柱.

图②中的空间图形是由一个圆锥挖去一个四棱柱而得到的，其中四棱柱内接于圆锥.

图③中的空间图形是由一个球挖去一个三棱锥而得到的，其中三棱锥内接于球.

20.直角梯